Q1:× — 熱は「移動するエネルギー」であって、物体が溜め込む量ではない(溜まっているのは内部エネルギー)。小さな熱湯より大きな水槽のぬるま湯の方が多くの熱を放出できることもある — 温度と熱量の区別が本章のスタートライン。

Q2:(c) — T = t+273 より 0 ℃ = 273 K。目盛りの幅は同じで、原点だけがずれている(だから温度差は共通)。

Q3:○ — 比熱 =「1 g を 1 K 動かすのに要る熱」なので、大きいほど温度が動きにくい。水(4.2)が気候を穏やかにする理由(B6-2)。

Q4:(b) — 加えた熱はすべて融解(結合をほどく仕事)に使われ、温度計は止まる。「熱を加える = 温度が上がる」ではない、が潜熱の核心。

Q5:○ — 熱の移動の向きは温度差だけが決める(質量や熱容量は無関係)。逆向きに自然に流れることはない — 第3章(熱力学)で法則として再登場する。

解答
① T = 27+273 = 300 K
② T = 100+273 = 373 K

ポイント +273 の一手のみ — ただし以後の熱の計算(特に第2章の気体)では絶対温度が主役になるので、この換算を反射にしておく。

解答
① t = 300−273 = 27 ℃
② t = 0−273 = −273 ℃

ポイント 絶対零度は「熱運動が最小になる温度の下限」— これより低い温度は存在しない。Kには負の値がない、という目盛りの意味まで。

解答
ΔT = 50−20 = 30 ℃ = 30 K

ポイント 温度差は ℃ と K で同じ数値(原点のずれは引き算で消える)— Q = mcΔT の ΔT にはどちらの目盛りの差を入れてもよい、という実務上の重要ポイント。

解答
Q = CΔT = 84×10 = 8.4×10² J

ポイント 熱容量 C は「その物体まるごとを 1 K 動かす値段」— 物体固有の量(質量と材質の両方で決まる)。

解答
C = Q/ΔT = 500/2.5 = 2.0×10² J/K

ポイント 熱容量の逆算(測定の式)。単位 J/K が「1 K あたり何 J か」を語っている — 単位を読めば式は復元できる。

解答
Q = CΔT = 150×(60−20) = 6000 = 6.0×10³ J

ポイント 容器・熱量計はいつも「熱容量 C」で登場する(材質いろいろの複合体だから比熱でなく丸ごとの値で)— A6 で水と組む前の顔合わせ。

解答
Q = mcΔT = 100×4.2×(80−20) = 100×4.2×60 = 25200 = 2.5×10⁴ J

ポイント 熱の基本式 Q = mcΔT — 「質量 × 比熱 × 温度差」の3点セット。数値が大きくなるので ×10ⁿ 表記と有効数字2桁を徹底。

解答
Q = 200×0.45×15 = 1350 = 1.4×10³ J

ポイント 同じ温度上昇でも、水(4.2)の約 1/9 の熱で済む — 金属は"軽い"(比熱が小さい)。フライパンがすぐ熱くなる理由。

解答
c = Q/(mΔT) = 2300/(300×20) = 0.38 J/(g·K)

ポイント 比熱の逆算(実測値 0.39 とほぼ一致)。「与えた熱・質量・温度変化の3つを測れば材質が分かる」— A6-2 の熱量計測定の予告。

解答
C = mc = 150×4.2 = 630 = 6.3×10² J/K

ポイント C = mc が2つの量の橋 — 「1 g あたり(比熱)」に質量を掛ければ「まるごと(熱容量)」になる。

解答
① C = 90+200×4.2 = 90+840 = 930 = 9.3×10² J/K
② Q = 930×5.0 = 4650 = 4.7×10³ J

ポイント 熱容量は足し算できる(容器も水も同じ 5.0 K 動くから)— 「水+容器」を1つの物体として扱う技は、熱量計の計算(A6)の下ごしらえ。

解答
Q 一定なら ΔT ∝ 1/c:
ΔT(鉄)/ΔT(水) = 4.2/0.45 = 9.33 ≒ 約 9.3 倍

ポイント 「同じ熱なら、比熱の逆比で温度が動く」— 昼の砂浜(すぐ熱い)と海水(ぬるいまま)の差の正体。この逆比の感覚が B6-2(海風・陸風)につながる。

解答
図示(熱の収支表):最終温度を t とする。
失う側(湯):100×4.2×(80−t)/得る側(水):200×4.2×(t−20)
熱量の保存:100×(80−t) = 200×(t−20)(4.2 は両辺で約分)
80−t = 2(t−20) → 3t = 120 → t = 40 ℃

ポイント 同じ物質どうしなら比熱が約分で消える — 残るのは「質量の重みつき平均」。質量 1:2 なので、答えは 20 ℃ 側に 2 倍寄った 40 ℃(80 と 20 を 2:1 に内分)— 検算にもなる読み方。

解答
300×(90−50) = m×(50−30)
12000 = 20m → m = 6.0×10² g

ポイント 未知数が「質量」に変わっただけで、式は同じ1本 — 保存則の式はどの文字についても解ける(逆算の型)。湯の温度降下 40 K に対し水の上昇は 20 K:質量は温度変化の逆比。

解答
失う側(金属):200×c×(100−25)/得る側(水):100×4.2×(25−20)
15000c = 2100 → c = 0.14 J/(g·K)

ポイント 熱量保存を比熱の測定器として使う型(混合法)。金属は 75 K も下がったのに水は 5 K しか上がらない — 比熱の小ささ(0.14:鉛の値に近い)が温度変化の非対称に現れている。

解答
得る側は「水+容器」のセット:熱容量 = 250×4.2+210 = 1260 J/K
1260×(t−20) = 150×4.2×(80−t)
1260(t−20) = 630(80−t) → 2(t−20) = 80−t → 3t = 120 → t = 40 ℃

ポイント 容器も温度が上がる = 容器も熱を得る — 容器の分を忘れると答えがずれる(実験で理論値と合わない典型原因)。「水+容器」を熱容量の足し算(A4-2)で1つの物体にしてしまうのが定石。

解答
得る側:(100×4.2+42)×(30−20) = 462×10 = 4620 J
失う側:200×c×(90−30) = 12000c
12000c = 4620 → c = 0.385 ≒ 0.39 J/(g·K)

ポイント これが熱量計による比熱測定の完全な形(A3-3+容器)。得られた 0.39 J/(g·K) は銅の値 — 「比熱から材質を推定する」ところまでが理科の読み。測定式の一般形と誤差の向きは B5 で。

解答
湯が失った熱:100×4.2×(80−38) = 17640 J
水が得た熱:200×4.2×(38−20) = 15120 J
逃げた熱 = 17640−15120 = 2520 ≒ 2.5×10³ J

ポイント 「失った熱 = 得た熱+逃げた熱」— 保存の式を"収支のずれ"の測定に使う場面替え。理想(40 ℃)より低い実測(38 ℃)という向きも、熱が逃げたことと整合している。

解答
Q = mL = 100×3.3×10² = 3.3×10⁴ J

ポイント 温度が変わらないのに熱がいる — 3.3×10⁴ J は同じ 100 g の水を約 79 K も温められる量。融解熱の"高額さ"が、氷がゆっくりとける理由。

解答
Q = mL = 50×2.3×10³ = 1.15×10⁵ ≒ 1.2×10⁵ J

ポイント 蒸発熱は融解熱のさらに約 7 倍 — 「沸騰してから全部蒸発するまで」が長い理由。逆向き(凝縮)では同じ熱を放出する:やけどで蒸気が危険な理由でもある。

解答
融解:50×330 = 16500 J
温度上昇:50×4.2×20 = 4200 J
合計:16500+4200 = 20700 ≒ 2.1×10⁴ J

ポイント 「とかす熱(mL)+温める熱(mcΔT)」の2段払い — 状態変化と温度変化は別々の項として足す。グラフ(加熱時間と温度)なら、0 ℃ の水平部分+右上がりの直線、という形。

解答
失われた運動エネルギーがすべて熱に:
Q = (1/2)mv² = (1/2)×2.0×5.0² = 25 J

ポイント 第1巻・第5章で「帳簿の外へ出た」エネルギーの行き先がここ — 力学的エネルギーの減少分 = 発生した熱。力学と熱は1つのエネルギー勘定でつながっている。

解答
必要な熱:Q = 200×4.2×60 = 50400 J
時間:t = 50400/500 = 100.8 ≒ 1.0×10² s

ポイント 仕事率(第1巻・第5章)との合流:Q = Pt。「500 W = 毎秒 500 J」と単位を読み下せば、割り算1回。実際は熱が逃げるのでもう少しかかる(A6-3 の視点)。

解答
mgh = mcΔT より ΔT = gh/c(質量が約分)
ΔT = 9.8×50/(4.2×10³) = 490/4200 = 0.1167 ≒ 0.12 K

ポイント ジュールが新婚旅行先の滝で確かめようとしたと伝わる名場面の計算 — 50 m 落ちてもたった 0.12 K。水の比熱の大きさと、熱に対して力学的エネルギーが"少額"であることの両方が見える。比熱の単位が kg 基準(4.2×10³)に変わっている点も要注意。

解答
Q = mcΔT
熱容量は「1 K あたりに要る熱」だから C = mc

ポイント c は物質の個性(1 g あたり)、C は物体の個性(まるごと)— 「比」熱の名の通り、c は質量で割って規格化した量。単位 J/(g·K) と J/K の違いに全部書いてある。

解答
同じ ΔT に対して必要な熱は Q = m₁c₁ΔT+m₂c₂ΔT = (m₁c₁+m₂c₂)ΔT
よって全体の熱容量 C = m₁c₁+m₂c₂

ポイント 熱容量は足し算(同じ温度で動くかたまりなら)— A4-2・A6 の「水+容器」セット化の理論的な根拠。抵抗の直列(第3巻)のような単純な加成性。

解答
ΔT = Q/(mc) より、Q・m が共通なら ΔT ∝ 1/c:
ΔT₁:ΔT₂ = c₂:c₁(比熱の逆比)

ポイント A4-3(水と鉄)の一般化 — 「同じ熱なら、比熱の小さい方が大きく動く」。てこの逆比(第1巻・第3章)と同じ"シーソー"の感覚。

解答
熱量の保存:m₁c₁(t₁−t) = m₂c₂(t−t₂)
m₁c₁t₁−m₁c₁t = m₂c₂t−m₂c₂t₂
t = (m₁c₁t₁+m₂c₂t₂)/(m₁c₁+m₂c₂)

ポイント 最終温度は「熱容量(mc)を重みにした加重平均」— 数学第1巻の内分点の公式と同じ形。だから必ず t₂ < t < t₁(2点の間)に落ちる:解いた後の検算基準そのもの。

解答
c が共通なら約分されて t = (m₁t₁+m₂t₂)/(m₁+m₂)
さらに m₁ = m₂ なら t = (t₁+t₂)/2(ちょうど中間の温度)

ポイント A5-1(1:2 の混合で 2:1 の内分)はこの式の実例。「等量の湯と水はちょうど真ん中」— 日常の風呂の湯加減の直感が、保存則の特別な場合だったと分かる。

解答
得る側は「水+容器」(熱容量 m₂c+C):
m₁c(t₁−t) = (m₂c+C)(t−t₂)
t = {m₁c t₁+(m₂c+C)t₂}/{m₁c+m₂c+C}

ポイント B2-1 の m₂c₂ を m₂c+C に置き換えただけ — 容器は「水の仲間に混ぜた重り」。C → 0 で B2-2 に戻る ○(極端検算)。A6-1 はこの式の数値代入例。

解答
失う側(水):Mc(t₁−t')
得る側(氷):とける mL+とけた水が 0 ℃ から t' まで温まる mct'
Mc(t₁−t') = mL+mct'
Mct₁−mL = (M+m)ct'
t' = (Mct₁−mL)/{(M+m)c}

ポイント 氷側の熱は「mL+mcΔT の2段払い」(A7-3 の受け取り側版)— とけた後は"質量 m の水"として仲間入りする(分母が M+m)ことも見落とさない。

解答
t' ≧ 0 ⇔ Mct₁−mL ≧ 0
m ≦ Mct₁/L

ポイント 「水が差し出せる熱(最大 Mct₁:0 ℃ まで下がりきった場合)で、氷の請求書 mL を払えるか」— 分子の意味を言葉で言えれば、不等式は暗記不要。

解答
氷が残る場合、氷と水が共存するので最終温度は 0 ℃。
水が 0 ℃ まで下がる間に出せる熱 Mct₁ が、氷をとかすのに全額使われる:
Mct₁ = m'L → m' = Mct₁/L

ポイント 「氷が残る ⇔ 全体は 0 ℃」の翻訳が場合分けの軸(共存 = 状態変化の途中 = 温度一定:概念チェック Q4)。B3-2 の境界値 m = Mct₁/L で、ちょうど全部とけて 0 ℃ — 3問がひと続きの物語になっている。

解答
mgh = mcΔT → ΔT = gh/c(質量によらない)

ポイント A8-3(滝)の一般式。m が消えるのは「エネルギーも熱容量も質量に比例」だから — 第1巻で g が消えた場面たち(自由落下の同時性など)と同じ約分の物語。

解答
発生する熱は (1/2)mv²、そのうち物体に入るのは α(1/2)mv²:
α×(1/2)mv² = mcΔT → ΔT = αv²/(2c)

ポイント 摩擦熱は両方の面に分配される(床にも逃げる)— 現実の補正 α を1文字で背負わせる、モデル化の練習。α = 1 が理想の上限。

解答
仕事 = Pt がすべて熱に:Pt = McΔT
ΔT = Pt/(Mc)

ポイント ジュールの羽根車実験の式そのもの — 「仕事(力学)で温度(熱)が上がる」ことを定量化し、熱がエネルギーの一形態だと示した歴史的一撃。A8-2(ヒーター)と同じ形(P の中身が電気か力学かの違いだけ)。

解答
得る側(水+熱量計):(mc_w+C)(t−t₂)
失う側(金属):m'c(t₁−t)
等しいとおいて
c = (mc_w+C)(t−t₂)/{m'(t₁−t)}

ポイント A6-2 の測定を1本の公式に。実験レポートの「計算式」欄はこの形 — 分子が"受け取った熱"、分母が"金属の質量×温度降下"という意味構造ごと覚える。

解答
小さくなる。
熱が逃げると、水側の上昇が小さくなり(t が低めに出る)、分子 (t−t₂) は小さく、分母 (t₁−t) は大きくなる — どちらの効果も c を過小評価する向きにはたらくから。

ポイント 誤差問題は「式のどの文字がどちらにずれるか」を追うだけ — 感覚でなく式で答える。実際の実験値が文献値より小さく出がちな主因がこれ。

解答
小さくなる。
実際の投入温度は t₁ より低いのに、計算では t₁ を使う — 分母の (t₁−t) を実際より大きく見積もることになり、c は過小評価される。

ポイント B5-2 と同じ結論だが経路が違う(今度は分母だけ)。「どの測定値が、式のどこに、どう効くか」— 共通テストの実験考察問題の型がここで完成する。

解答
伝導:物体内を高温側から低温側へ、分子の熱運動が順に伝わる(例:金属スプーンの柄が熱くなる)。
対流:あたためられた液体・気体が軽くなって上昇し、流れが熱を運ぶ(例:風呂の湯の上だけ熱い、エアコンの空気の循環)。
放射:光(赤外線など)としてエネルギーが直接届く。間に物がなくても伝わる(例:太陽の熱、たき火の前面の熱さ)。

ポイント 3形式の判定基準は「何が熱を運ぶか」— 物質の中を(伝導)、物質が動いて(対流)、光が(放射)。真空を越えられるのは放射だけ(太陽 → 地球)。

解答
水(海)は比熱が大きく、陸(岩・砂)は小さい。昼、同じ日射を受けても陸の方が先に高温になる(B1-3 の逆比)。
陸上の空気があたためられて軽くなり上昇(対流)→ その跡へ海側から空気が流れ込む — これが海から陸へ吹く海風。夜は逆に陸が先に冷え、風向きも逆(陸風)になる。

ポイント 「比熱の差 → 温度差 → 対流」の3段論法 — 気象が Q = mcΔT で説明できる代表例。夜の逆転まで言えると論述として完成。

解答
水は比熱が非常に大きく、同じ質量で多くの熱を蓄えられ、温度変化がゆるやか — 長時間あたたかさを保つ湯たんぽ、大量の熱を受け取っても沸きにくい冷却水に適する。
放出する熱:Q = McΔT = 1.0×4.2×10³×(80−30) = 2.1×10⁵ J

ポイント 2.1×10⁵ J は 100 W の電熱を約 35 分ぶん — 「お湯 1 L」が立派なエネルギー貯蔵庫であることの定量化。性質(論述)と数値(計算)を1問で往復する、実戦的な締め。

解答
① 200×(t−20) = 100×(80−t) → 2t−40 = 80−t → t = 40 ℃(アイ = 40)
② Q = 200×4.2×(40−20) = 16800 ≒ 1.7×10⁴ J(ウ = 1、エ = 7)
③ 等量(200 g どうし)なら中間の温度:t = 50 ℃(オカ = 50)
④ 熱が外へ逃げれば到達温度は下がる:(b)(キ = (b))

ポイント
• ③は式を立て直さなくても「等量ならちょうど真ん中」(B2-2)で即答 — 構造で答える共テの時間術。
• ④の誤答(a)(c)は「もっともらしい言い換え」— 比熱は物質固有で混ぜても変わらない、蒸発はむしろ熱を奪う、と消去の根拠まで言えるように。

解答
① Q₁ = 500×4.2×(100−20) = 168000 ≒ 1.7×10⁵ J(ア = 1、イ = 7)
② t = Q₁/P = 1.68×10⁵/(1.0×10³) = 168 ≒ 1.7×10² s(約 3 分)(ウ = 1、エ = 7)
③ Q₂ = mL = 500×2.3×10³ = 1.15×10⁶ ≒ 1.2×10⁶ J(オ = 1、カ = 2)
④ Q₂/Q₁ = 1.15×10⁶/1.68×10⁵ ≒ 6.8 → 約 7 倍:(b)(キ = (b))

ポイント
• 「沸くまで 3 分、干上がるまでさらに 20 分」— 蒸発熱の巨大さを時間で体感する設計。やかんの空だきがすぐには起きない(が確実に危険な)理由。
• ④は割り算の概算(1.15/0.168 ≒ 7)で択べば十分 — 選択肢の間隔が広いときは有効数字より速さ。

解答
① 失う側(水)= 得る側(氷の融解+とけた水の昇温):
200c(40−t) = mL+mct
② m = 50:840(40−t) = 50×330+210t
33600−840t = 16500+210t → 1050t = 17100 → t = 16.3 ≒ 16 ℃
③ 全体が 0 ℃(t = 0)のとき:200c×40 = mL
m = 200×4.2×40/330 = 33600/330 = 101.8 ≒ 1.0×10² g
④ m = 150 g > 102 g なので氷は残り、最終温度は 0 ℃。
とける量は③と同じ計算で m' = 33600/330 ≒ 102 g
残る氷 = 150−102 = 48 g

ポイント
• ④で「保存の式に t を残したまま解こうとして詰まる」のが典型的な失敗 — 氷が残るなら t = 0 と先に確定させ、未知数を「とけた質量」に切り替える(B3-3)。
• 検算:②の 16 ℃ は 0 ℃ と 40 ℃ の間 ○/③の境界に近い m ほど最終温度は 0 ℃ に近づく(m = 50 で 16 ℃)○ — 答えの並びが物語として整合しているかを見る。

Q1:(b) — シャルルの法則が「原点を通る比例」になるのは絶対温度の目盛りだけ。セ氏で 20 ℃ → 40 ℃ は「2 倍」ではない(293 K → 313 K)。熱の計算の最頻出事故。

Q2:○ — ボイルの法則 PV = 一定:V が 1/2 なら P は 2 倍。分子の側から見れば「壁への衝突が 2 倍の頻度になる」から(B4)。

Q3:(b) — 圧力は無数の分子の衝突の力積の平均(第1巻・第6章の「平均の力」そのもの)。静的な押し合いではなく、絶え間ない砲撃。

Q4:× — 2 倍になるのは平均運動エネルギー((3/2)kT ∝ T)。速さは v² が 2 倍 → √2 倍。「エネルギーは T に比例、速さは √T に比例」の使い分け。

Q5:(c) — 理想気体の U = (3/2)nRT は絶対温度だけの関数。「温度が同じなら、圧縮されていても膨張していても U は同じ」— 第3章(熱力学第一法則)の議論の土台になる最重要事実。

解答
図示:ピストンに、大気が押す力 P₀S(下向き)、重力 mg(下向き)、気体が押す力 PS(上向き)。
つり合い:PS = P₀S+mg
P = P₀+mg/S = 1.0×10⁵+2.0×9.8/(2.0×10⁻³) = 1.0×10⁵+9.8×10³ ≒ 1.1×10⁵ Pa

ポイント 気体の圧力はピストンのつり合い(第1巻・第3章)が決める — 「大気圧+ピストンの重さの分担 mg/S」。この1手が気体問題の入口のすべて。

解答
つり合い:PS = P₀S → P = P₀ = 1.0×10⁵ Pa

ポイント 水平(または軽いピストン)なら重力の項が消えて大気圧そのもの — 「圧力一定(定圧)」の装置の代表がこの形。シャルルの法則の舞台になる。

解答
つり合い:PS+mg = P₀S(気体とピストンの重力が下、大気が下から支える)
P = P₀−mg/S = 1.0×10⁵−9.8×10³ ≒ 9.0×10⁴ Pa

ポイント 逆さにすると符号が反転:P = P₀−mg/S — 気体は大気圧より低くてもピストンを支えられる(大気が下から押し上げてくれるから)。図を描けば符号は間違えない。

解答
P₁V₁ = P₂V₂:1.0×10⁵×3.0×10⁻³ = P₂×1.0×10⁻³
P₂ = 3.0×10⁵ Pa

ポイント ボイルの法則(温度一定で PV = 一定)。体積 1/3 → 圧力 3 倍 — P-V グラフでは双曲線(反比例)の上を動く。

解答
2.0×10⁵×4.0 = 5.0×10⁴×V₂
V₂ = 16 L

ポイント 比の式なので V は L のままでよい(両辺で単位がそろっていれば約分される)— SI 換算が必須なのは状態方程式(A5)のとき、という使い分け。

解答
2.0×10⁵×1.0 = 1.0×10⁵×V₂ → V₂ = 2.0 cm³

ポイント 「水深 10 m でおよそ大気圧 1 つ分の水圧が加わる」— 気泡は浮かぶにつれてふくらむ。ダイビングで息を止めて浮上してはいけない理由(肺の空気が膨張する)の物理。

解答
絶対温度に直す:300 K → 400 K。
V₁/T₁ = V₂/T₂:6.0×10⁻³/300 = V₂/400
V₂ = 8.0×10⁻³ m³

ポイント まず +273 — 27 ℃ と 127 ℃ を「約 5 倍」と読んだら大事故(実際は 400/300 = 4/3 倍)。シャルルの法則は絶対温度の比例(概念チェック Q1)。

解答
3.0/300 = 4.0/T₂ → T₂ = 400 K = 127 ℃

ポイント 逆算(体積 → 温度)。答えは K で出るので、℃ には最後に −273 — 換算は入口と出口の2回だけにまとめると事故が減る。

解答
体積 2 倍 ⇔ 絶対温度 2 倍:273 K → 546 K
546−273 = 273 ℃

ポイント 「0 ℃ の気体を 273 ℃ にすると体積 2 倍」— 数字の偶然ではなく、絶対温度(273 K → 546 K)の比例の反映。℃ の目盛りで見ると比例に見えない、という Q1 の教訓の実例。

解答
P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂:1.0×10⁵×3.0/300 = P₂×2.0/400
1.0×10³ = P₂/200 → P₂ = 2.0×10⁵ Pa

ポイント P・V・T がすべて変わるときの万能式。左辺の値(PV/T = 1.0×10³)を先に確定してから右辺を解く、2段構えが計算事故を防ぐ。

解答
2.0×10⁵×6.0×10⁻³/300 = 1.5×10⁵×V₂/450
4.0 = V₂×1.5×10⁵/450 → V₂ = 4.0×450/(1.5×10⁵) = 1.2×10⁻² m³

ポイント 「温めながら減圧」— 両方が膨張の向きにはたらき、体積は 2 倍に。定性の予想(増えるはず)→ 計算 → 一致確認の3拍子を型にする。

解答
体積一定なので P/T = 一定:
2.4×10⁵/300 = P₂/360 → P₂ = 2.9×10⁵ Pa

ポイント V 一定の特別形 P/T = 一定(ゲイ・リュサックの関係)— 「走行後にタイヤの空気圧が高く表示される」実際の現象。密閉スプレー缶を熱してはいけない理由も同じ式。

解答
PV = nRT より
P = nRT/V = 2.0×8.3×300/(8.3×10⁻³) = 6.0×10⁵ Pa

ポイント 絶対値(何 Pa か)を問われたら状態方程式の出番 — 比の式(ボイル・シャルル)では出せない。単位は P [Pa]・V [m³]・T [K] の SI セットで。

解答
n = PV/(RT) = 1.0×10⁵×2.49×10⁻²/(8.3×300) = 2490/2490 = 1.0 mol

ポイント 逆算で mol を数える — 「常温・大気圧で 1 mol は約 25 L(2.5×10⁻² m³)」という量感も持ち帰る(0 ℃ なら 22.4 L)。目に見えない分子 6.0×10²³ 個の"かさ"。

解答
T = PV/(nR) = 8.3×10⁴×3.0×10⁻²/(1.0×8.3) = 2490/8.3 = 3.0×10² K(300 K)

ポイント 状態方程式は P・V・n・T のどれについても解ける4元の関係式 — 3つ測れば残り1つが決まる。「気体の温度計」(P と V から T を読む)の原理でもある。

解答
(1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)×(R/N_A)×T = (3/2)×8.3/(6.0×10²³)×300
= (3/2)×1.38×10⁻²³×300 ≒ 6.2×10⁻²¹ J

ポイント R/N_A(= ボルツマン定数 k ≒ 1.4×10⁻²³ J/K)は「分子 1 個あたりの気体定数」。6.2×10⁻²¹ J — 極小だが、6.0×10²³ 個集まれば A7 の内部エネルギー(数千 J)になる。

解答
① 平均運動エネルギー ∝ T:2 倍(≒ 1.2×10⁻²⁰ J)
② ⟨v²⟩ が 2 倍なので √⟨v²⟩ は √2 倍(約 1.4 倍)

ポイント 概念チェック Q4 の計算版 — 「エネルギーは T、速さは √T」。温度を上げても速さは思ったほど増えない(4 倍の温度でやっと 2 倍)。

解答
√⟨v²⟩ = √(3RT/M) = √(3×8.3×300/(4.0×10⁻³)) = √(1.87×10⁶)
≒ 1.4×10³ m/s

ポイント 常温のヘリウム原子は秒速約 1.4 km(音速の 4 倍)で飛び回っている — 気体の分子は想像を絶する俊足。M の単位が kg/mol(4.0 g/mol → 4.0×10⁻³)である点が最頻出の事故。

解答
U = (3/2)nRT = (3/2)×2.0×8.3×300 = 7.5×10³ J

ポイント 内部エネルギー = 全分子の運動エネルギーの合計(単原子理想気体)。A6-1 の 6.2×10⁻²¹ J × 分子数(2 mol = 1.2×10²⁴ 個)≒ 7.5×10³ J — ミクロとマクロの帳尻が合う。

解答
ΔU = (3/2)nRΔT = (3/2)×1.0×8.3×100 = 1245 ≒ 1.2×10³ J

ポイント ΔU = (3/2)nRΔT — 変化を問われたら差の式で一発。「どう温めたか(定積か定圧か)」によらず、温度差だけで決まる(Q5)ことが第3章の議論の要になる。

解答
T = U/{(3/2)nR} = 3735/(1.5×8.3) = 3735/12.45 = 3.0×10² K(300 K)

ポイント 内部エネルギーは「温度の別名」(単原子理想気体では 1 対 1 対応)— U を測れば T が分かる、逆もまた然り。

解答
等温線上では PV = 一定:1.0×10⁵×4.0×10⁻³ = 2.0×10⁵×V
V = 2.0×10⁻³ m³

ポイント 等温線は双曲線(PV = 一定の反比例)。原点から遠い等温線ほど高温(PV = nRT が大きい)— グラフの"標高"が温度、という読み方を身につける。

解答
V ∝ T:V = 3.0×500/300 = 5.0 L

ポイント シャルルの法則のグラフ的表現 — 原点(0 K)を通る直線。実在の気体は途中で液化するが、直線を左へ延長した切片が「絶対零度 −273 ℃」の発見につながった。

解答
P ∝ T:P = 1.5×10⁵×200/300 = 1.0×10⁵ Pa

ポイント 定積では P/T = 一定(A4-3 と同じ関係のグラフ版)。「グラフのどの軸が固定されているか」を最初に確認 — P-V、V-T、P-T の3枚を行き来できれば状態変化は絵で考えられる(第3章の準備)。

解答
① 図示:ピストンに PS(上)、P₀S+mg(下)。つり合いより P = P₀+mg/S
② PS+mg = P₀S より P = P₀−mg/S

ポイント A1 の一般式。「気体が重りを背負うか、大気に支えてもらうか」で符号が決まる — 公式暗記でなく、毎回ピストンの力の図から 1 行で出すのが安全。

解答
ピストンのつり合い(ばねは縮んでいるのでピストンを気体側へ押す):
PS = P₀S+kx → P = P₀+kx/S

ポイント ばね(第1巻・第3章)がピストンの力持ちに加わっただけ — 「圧力の決定はつねに力のつり合い」という原理は登場人物が増えても不変。x が変われば P も変わる(気体の変化と連動する:第3章の応用へ)。

解答
ピストンの運動方程式(上向き正、加速度 a):
PS−P₀S−mg = ma → P = P₀+m(g+a)/S

ポイント つり合いが運動方程式(第1巻・第4章)に格上げされた形 — 見かけの重力 g+a に置き換えたと読んでもよい(第1巻・第7章の慣性力)。a = 0 で B1-1 ①に戻る ○。

解答
倒すと圧力は P₀ に変わる(B1-1 ② でなく水平:重力の項が消える)。温度一定なのでボイル:
(P₀+mg/S)V₁ = P₀V₂
V₂ = (P₀+mg/S)V₁/P₀ = (1+mg/(P₀S))V₁

ポイント 「装置の向きを変える」= 圧力の条件が変わる合図 — まず新しい P をつり合いで確定してから、ボイルで V へ。倒すと圧力が下がるので膨張(V₂ > V₁)という定性検算も。

解答
水底の圧力:P₁ = P₀+ρgh。ボイル・シャルル:
(P₀+ρgh)V/T₁ = P₀V'/T₂
V' = (P₀+ρgh)T₂V/(P₀T₁)

ポイント A2-3(温度一定)の完全版 — 圧力は減り(膨張)、水面が温かければ温度でも膨張。h → 0 で V' → (T₂/T₁)V(シャルル)、T₂ = T₁ で A2-3 の形 ○ — 2つの極端検算で式を信頼する。

解答
体積一定なので P/T = 一定:P = P₀T/T₀
栓が飛ばない条件:P₀T/T₀ ≦ kP₀
T ≦ kT₀

ポイント 「限界 = 等号」(第1巻から続く条件翻訳の型)。P₀ が消えて温度の比だけが残る — 定積では圧力と絶対温度が完全に連動しているから。

解答
n mol の質量は nM。PV = nRT より n = PV/(RT)。
ρ = nM/V = PM/(RT)

ポイント 密度は「圧力に比例、絶対温度に反比例」 — 温かい空気は軽い(気球・上昇気流)、山の上の空気は薄い、が1本の式で言える。B3-3 の部品。

解答
PV = nRT より n = PV/(RT)。P・V・T が同じなら n も同じ。
分子数 N = nN_A も同じ — 気体の種類(分子の質量)は式のどこにも現れないので、同温・同圧・同体積なら同数 ∎

ポイント 理想気体の状態方程式に「分子の個性」が入っていないこと自体が、アボガドロの法則の言い換え — 「気体の振る舞いは個数で決まり、種類によらない」。

解答
外気の密度 ρ₀ = PM/(RT₀)、気球内の密度 ρ = PM/(RT)。
浮力 − 中の空気の重さ = (ρ₀−ρ)Vg
= (PVMg/R)×(1/T₀−1/T)

ポイント 熱気球の揚力の式 — T > T₀ で正(浮く側)、T = T₀ で 0 ○。この余り分でゴンドラと人(重さ W)を持ち上げる:(ρ₀−ρ)Vg ≧ W が飛行条件、まで言えれば実戦仕様。

解答
① 弾性衝突で v_x → −v_x。分子の運動量変化は −2mv_x なので、壁が受ける力積は 2mv_x(第1巻・第6章)
② 壁 A に戻るまでの往復距離は 2L → 衝突の時間間隔 2L/v_x。時間 t での回数 = v_x t/(2L)
③ 力積の合計 = 2mv_x×v_x t/(2L) = mv_x²t/L。平均の力 = これ ÷ t = mv_x²/L

ポイント 「1 回の力積 × 頻度 = 平均の力」— 衝突のドラマを時間で均す、第1巻・第6章の平均の力の考え方がそのまま気体の心臓部になる。

解答
N 個の平均の力の合計:F = Nm⟨v_x²⟩/L = Nm⟨v²⟩/(3L)
P = F/L² = Nm⟨v²⟩/(3L³)
PV = (1/3)Nm⟨v²⟩ ∎(V = L³)

ポイント 等方性 ⟨v_x²⟩ = ⟨v²⟩/3 は「x・y・z に特別な向きはない」の数式化。マクロな量 PV が、ミクロな量(分子の質量と速さ)だけで書けた — この 1 行が熱と力学の架け橋。

解答
PV = (2/3)N×(1/2)m⟨v²⟩ と PV = nRT = (N/N_A)RT を比べて
(2/3)N×(1/2)m⟨v²⟩ = (N/N_A)RT
(1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)(R/N_A)T
絶対温度とは:分子の平均運動エネルギーの指標(に比例する量)。

ポイント 温度計の針の正体が「分子の運動の激しさ」だと判明する瞬間 — 熱学の概念(T)が力学の量(運動エネルギー)に翻訳された。絶対零度 = 熱運動が最小、の意味もここで腑に落ちる。

解答
単原子分子理想気体の内部エネルギーは、全分子の運動エネルギーの合計:
U = N×(1/2)m⟨v²⟩ = N×(3/2)(R/N_A)T = (N/N_A)×(3/2)RT
U = (3/2)nRT ∎

ポイント 「1 個あたり (3/2)kT × N 個」の掛け算だけ — U が絶対温度だけの関数である理由(Q5)がこの導出に書いてある。(3/2) の由来は空間の3次元(x・y・z に (1/2)kT ずつ)。

解答
(1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)(R/N_A)T より ⟨v²⟩ = 3RT/(mN_A) = 3RT/M
√⟨v²⟩ = √(3RT/M) ∎

ポイント 分子 1 個の質量 m を、測れる量 M(モル質量)に mN_A = M で翻訳するのが最後の一手。「√T に比例、√M に反比例」— 温度と身軽さの綱引き。

解答
√⟨v²⟩ ∝ 1/√M(同温)なので
水素:酸素 = √(32/2.0):1 = √16:1 = 4:1(水素が 4 倍速い)

ポイント 軽い分子ほど俊足 — 水素・ヘリウムが地球の重力を振り切って宇宙へ逃げやすい(大気にほとんど残っていない)理由。第1巻・第8章の脱出速度と分子の速さがつながる小話。

解答
温度 T は共通・一定。全物質量が保存する:
P₁V₁/(RT)+P₂V₂/(RT) = P(V₁+V₂)/(RT)
P = (P₁V₁+P₂V₂)/(V₁+V₂)

ポイント コックを開いても分子の総数は不変 — 保存するのは圧力でも体積でもなく mol(PV の和)。結果は「体積を重みにした圧力の加重平均」:第1章 B2-1(混合温度)と同じ顔の式。

解答
P₂ = 0 を代入して
P = P₁V₁/(V₁+V₂)

ポイント 真空への膨張(自由膨張)— 気体は仕事をせず(押す相手がいない)、温度も変わらない(第3章で再登場する重要な設定)。V₂ → 0 で P → P₁ ○。

解答
温度が違っても mol の保存は使える:
P₁V₁/(RT₁)+P₂V₂/(RT₂) = PV₁/(RT₁)+PV₂/(RT₂)
P = (P₁V₁/T₁+P₂V₂/T₂)/(V₁/T₁+V₂/T₂)

ポイント 温度がバラバラでも「PV/T の和が保存」— V/T を重みにした加重平均に一般化される。T₁ = T₂ で B6-1 に戻る ○。2容器問題の最終形態で、難関大の定番。

解答
① ボイル:1.0×10⁵×30 = P×20 → P = 1.5×10⁵ Pa(ア = 1、イ = 5)
② 内圧 1.5×10⁵ Pa > 大気圧 1.0×10⁵ Pa — 差がピストンを外へ押す:(b)(ウ = (b))
③ 定積(P/T = 一定):1.0×10⁵/300 = P/360 → P = 1.2×10⁵ Pa(エ = 1、オ = 2)
④ 定圧(V/T = 一定):30/300 = V/360 → V = 36 cm³(カキ = 36)
⑤ 平均運動エネルギーは (3/2)kT — 温度が上がる操作だけで増える:(b)(ク = (b))

ポイント
• ⑤が本問の核心:①の圧縮では圧力が上がっても温度が同じなら分子は速くならない(衝突の頻度が増えただけ)。「圧力の上昇」の原因が"速さ"か"頻度"かを見分ける、分子運動論の目。
• ②の誤答(a)は分子数保存(閉じ込めた気体)に反する — 消去の根拠まで言語化。

解答
① ピストンのつり合い:P₁ = P₀+mg/S
② 状態方程式:P₁V₁ = nRT₀ → V₁ = nRT₀/(P₀+mg/S) = nRT₀S/(P₀S+mg)
③ ピストンが自由 → 圧力一定。シャルルより温度 2 倍で体積 2 倍:ΔV = V₁
d = ΔV/S = nRT₀/(P₀S+mg)
④ ΔU = (3/2)nR(2T₀−T₀) = (3/2)nRT₀
⑤ 水平では P₂ = P₀。温度 T₀ でボイル(または状態方程式):
P₀V₂ = nRT₀ → V₂ = nRT₀/P₀ > V₁(圧力が下がった分だけ膨張)

ポイント
• ③の「ゆっくり温める」は「つねに圧力一定(準静的)」の合図 — ピストンが自由な限り、加熱中も P₁ のまま。
• ④は「どう温めたか」を一切使わない(ΔU は温度差だけ:Q5)— 第3章で「加えた熱」と「した仕事」を分けるとき、この事実が効いてくる。

解答
① 水深 h の圧力 = 大気圧+水柱の圧力:P₁ = P₀+ρgh
② 温度一定なのでボイル:P₁V₁ = P₀V₂
V₂ = (P₀+ρgh)V₁/P₀
③ P₁ = 1.0×10⁵+1.0×10³×9.8×10 = 1.0×10⁵+0.98×10⁵ ≒ 2.0×10⁵ Pa
④ V₂/V₁ = P₁/P₀ ≒ 約 2.0 倍
⑤ 浮力 = ρV g(第1巻・第3章)で、上昇するほど V が増える(②)から、浮力はしだいに大きくなる。

ポイント
• 「水深 10 m ≒ 大気圧 1 つ分」(0.98×10⁵ ≒ 1.0×10⁵)は覚えて損のない量感 — 10 m 潜るごとに圧力が約 1 気圧ずつ積み増す。
• ⑤で「膨張 → 浮力増 → さらに加速」という正のフィードバックまで読めると、気泡が水面近くで急に速く・大きくなる観察と物理がつながる。

Q1:(a) — 膨張 = ピストンを押しのけて動かす = 正の仕事。W = PΔV の ΔV > 0。圧縮なら気体は仕事を「される」側(W < 0)。

Q2:○ — V 一定なら W = PΔV = 0。第一法則 Q = ΔU+0 — 加えた熱が全額温度上昇に回る、最も効率のよい温め方。

Q3:(b) — 温度一定 ⇔ ΔU = 0(第2章 Q5)。第一法則より Q = W — 吸った熱をそっくり仕事に変換しながら膨張する。

Q4:○ — Q = 0 なので ΔU = された仕事(> 0)。仕事が直接 U(温度)になる — 自転車の空気入れが熱くなる、ディーゼルエンジンの着火の原理。

Q5:(a) — 定圧では膨張の仕事 nRΔT を余計に払うぶん、Q が多く要る(C_P = C_V+R:マイヤーの関係)。定積は仕事代ゼロの「直行便」。

解答
W = PΔV = 1.0×10⁵×2.0×10⁻³ = 2.0×10² J

ポイント W = PΔV の単位:Pa×m³ = (N/m²)×m³ = N·m = J ○ — 圧力と体積の積が仕事(エネルギー)になる、を単位が保証している。

解答
W = PΔV = 2.0×10⁵×(3.0−5.0)×10⁻³ = −4.0×10² J
(気体は外部から 4.0×10² J の仕事をされた)

ポイント 圧縮では ΔV < 0 → した仕事は負 — 「負の仕事をした = 仕事をされた」の言い換えをためらわないこと。符号は膨張・圧縮の翻訳装置。

解答
定圧では W = PΔV = nRΔT:
W = 1.0×8.3×(400−300) = 8.3×10² J

ポイント 体積が与えられなくても、定圧なら W = nRΔT で温度差から直行できる(状態方程式 PV = nRT の差をとった式)。定圧変化の隠し武器。

解答
図示:P-V 図で高さ 2.0×10⁵、幅 3.0×10⁻³ の長方形。
W = 面積 = 2.0×10⁵×3.0×10⁻³ = 6.0×10² J

ポイント 「した仕事 = P-V グラフの下の面積」— v-t の面積 = 変位(第1巻)、F-x の面積 = 仕事(第1巻・第5章)に続く"面積シリーズ"の熱力学版。

解答
グラフの下の台形の面積:
W = (1.0+3.0)×10⁵/2×(6.0−2.0)×10⁻³ = 2.0×10⁵×4.0×10⁻³ = 8.0×10² J

ポイント 圧力が変わる過程でも面積なら一発(平均の圧力 × ΔV と読んでもよい)。「W = PΔV は定圧専用、面積は万能」の使い分け。

解答
正味の仕事 = 囲まれた長方形の面積:
W = (2.0−1.0)×10⁵×(5.0−2.0)×10⁻³ = 3.0×10² J

ポイント 1周(サイクル)の正味の仕事 = 囲む面積(往きの膨張の面積から帰りの圧縮の面積を引いた残り)。時計回りなら正(熱機関)、反時計回りなら負(冷蔵庫・ヒートポンプ)。

解答
Q = ΔU+W より ΔU = Q−W = 500−200 = +300 J(増加)

ポイント 第一法則は家計簿:収入 Q(500 円)から支出 W(200 円)を引いた残りが貯金 ΔU(300 円)。3つの量の符号を確認してから引き算。

解答
W = Q−ΔU = 300−300 = 0
仕事がゼロ ⇔ 体積が変わっていない:定積変化

ポイント 収支から変化の種類を逆推理する問題 — 「W = 0 → 定積」「ΔU = 0 → 等温」「Q = 0 → 断熱」の対応表は双方向に使う。

解答
気体がした仕事 W = −400 J、吸収した熱 Q = −100 J。
ΔU = Q−W = −100−(−400) = +300 J(増加:温度は上がった)

ポイント 「された・放出」はすべて負号で Q・W に背負わせてから公式へ — 言葉を符号に翻訳すれば式は1本のまま。圧縮の仕事の一部が熱として逃げ、残りが温度上昇になった収支。

解答
定積なので W = 0
ΔU = (3/2)nRΔT = (3/2)×1.0×8.3×100 = 1245 ≒ 1.2×10³ J
Q = ΔU+W = 1.2×10³ J

ポイント 3点セットの表の埋め方の見本:W = 0 を最初に書く → ΔU は温度差から → Q は第一法則で。この3手順がすべての変化に通用する。

解答
Q = (3/2)nRΔT:830 = (3/2)×2.0×8.3×ΔT = 24.9ΔT
ΔT ≒ 33 K

ポイント 定積の熱は全額が温度に化けるので、逆算も1本道。(3/2)nR = 24.9 J/K がこの気体の「熱容量」(第1章の C と同じ役割)。

解答
Q = (3/2)×2.0×8.3×(−50) = −1245 J
放出した熱は 1.2×10³ J

ポイント 冷却は ΔT < 0 → Q < 0(放熱)。答えるときは「放出した熱は+の値で、放出と明記」— 符号と日本語の橋渡しまでが解答。

解答
W = nRΔT = 1.0×8.3×100 = 8.3×10² J
ΔU = (3/2)nRΔT = 1.2×10³ J(1245 J)
Q = ΔU+W = 1245+830 = 2075 ≒ 2.1×10³ J

ポイント 定圧の3点セット:W:ΔU:Q = 2:3:5(nRΔT を単位に 1:1.5:2.5)。この比を覚えれば、1つ分かれば全部出る。

解答
W/Q = nRΔT/{(5/2)nRΔT} = 2/5 = 40 %
ΔU/Q = 3/5 = 60 %

ポイント 定圧では必ず 4 割が仕事、6 割が温度(単原子)— nRΔT が約分されて比だけが残る。「加えた熱の一部しか温度にならない」のが定積との違い(Q5)。

解答
Q = (5/2)nRΔT:4150 = (5/2)×2.0×8.3×ΔT = 41.5ΔT
ΔT = 1.0×10² K(100 K)

ポイント 係数 (5/2) を使うか (3/2) を使うか — 「定圧か定積か」の判定が答えを 5:3 で変える。問題文の「圧力一定」「ピストンは自由」の一言を見逃さない。

解答
等温なので ΔU = 0
Q = ΔU+W = 0+600 = 600 J(吸収)

ポイント 等温膨張は「吸った熱をそのまま仕事に垂れ流す」変化 — U が温度だけの関数(第2章 Q5)だからこそ成り立つ収支。膨張し続けるには熱の補給が必須。

解答
断熱なので Q = 0。気体がした仕事 W = −500 J。
ΔU = Q−W = 0−(−500) = +500 J
ΔU = (3/2)nRΔT より ΔT = 500/12.45 ≒ +40 K(上昇)

ポイント された仕事がまるごと温度になる — 空気入れのポンプが熱くなる、ディーゼルエンジンが圧縮だけで着火する、の定量版。Q4 の計算バージョン。

解答
Q = 0 より ΔU = −W = −249 J
ΔT = −249/{(3/2)×8.3} = −20 K(20 K 低下)

ポイント 断熱膨張は自分の U を切り崩して仕事をするので冷える — 上昇気流が冷えて雲になる、スプレー缶が冷たくなる、の正体。「膨張 = 冷える」は断熱のときの合言葉。

解答
C_V = (3/2)R = (3/2)×8.3 ≒ 12 J/(mol·K)
C_P = (5/2)R = (5/2)×8.3 ≒ 21 J/(mol·K)

ポイント モル比熱は「1 mol 版の比熱」(第1章の c の親戚:Q = nCΔT)。差はちょうど R = 8.3 — マイヤーの関係の数値確認。

解答
Q = nC_PΔT = 2.0×(5/2)×8.3×30 = 1245 ≒ 1.2×10³ J

ポイント Q = nCΔT は第1章の Q = mcΔT と同じ文法(質量 → mol)。「定圧なら C_P、定積なら C_V」— 比熱が変化の仕方で違うのが気体の特徴。

解答
マイヤーの関係 C_P = C_V+R:
C_P = 21+8.3 = 29.3 ≒ 29 J/(mol·K)

ポイント C_P−C_V = R は気体の種類によらない(B3-3 で証明)— 差の R は「定圧のとき余計に払う膨張の仕事代」で、分子の構造と無関係だから。ちなみに C_V = 21 ≒ (5/2)R は2原子分子(空気など)の値。

解答
e = W/Q_in = 300/1000 = 0.30(30 %)
Q_out = Q_in−W = 1000−300 = 7.0×10² J

ポイント 熱機関の掟:吸収 = 仕事+排熱(1周で ΔU = 0 だから)。効率 30 % は自動車エンジン級 — 7 割は捨てている、という現実の数字感覚。

解答
Q_in = W/e = 500/0.25 = 2.0×10³ J
Q_out = 2000−500 = 1.5×10³ J

ポイント 効率の式の逆算 — 「仕事の 4 倍の熱を食わせる必要がある」。e が小さいほど燃料は仕事の何倍も要る、という設計の視点。

解答
e = 2.4×10⁴/8.0×10⁴ = 0.30(30 %)
毎秒の排熱 = 8.0×10⁴−2.4×10⁴ = 5.6×10⁴ J

ポイント 効率は「毎秒あたり」で割っても同じ(時間が約分)— 仕事率の言葉(第1巻・第5章)と接続。毎秒 5.6×10⁴ J の排熱を処理するのがラジエーターの仕事。

解答
気体がピストンを押す力:F = PS
した仕事:W = Fd = PSd
体積変化は ΔV = Sd だから W = PΔV ∎

ポイント W = PΔV は「力 × 距離」(第1巻・第5章)の化粧直しにすぎない — 圧力 × 面積で力に戻し、距離を掛けただけ。新しい物理は入っていない。

解答
定圧 P のもとで、変化の前後の状態方程式:
変化前 PV₁ = nRT₁、変化後 PV₂ = nRT₂
辺々引いて P(V₂−V₁) = nR(T₂−T₁)
よって W = PΔV = nRΔT ∎

ポイント 「状態方程式の差をとる」— 定圧という条件が P を共通因数にしてくれる。温度計だけで仕事が分かる、実用的な言い換え。

解答
した仕事とされた仕事は互いに逆符号:W₀ = −W。
Q = ΔU+W の W を −W₀ に置き換えると Q = ΔU−W₀、すなわち ΔU = Q+W₀ — 同じ式の移項にすぎない ∎
どちらも「気体のエネルギーの増加(ΔU)= 入ってきたエネルギーの合計(熱 Q+された仕事 W₀)」というエネルギー保存を述べている。

ポイント 2つの流儀は符号の約束の違いだけ — 試験では問題文の定義(「した」か「された」か)を最初に確認し、自分の使う形を1つ宣言してから解き始めるのが事故防止。

解答
定積:ΔV = 0 より W = 0
ΔU = (3/2)nRΔT、第一法則より Q = ΔU = (3/2)nRΔT

ポイント 「仕事代ゼロ、全額貯金」— 表のいちばん簡単な行。ΔU の式はどの変化でも共通であることを、ここで再度心に刻む。

解答
W = nRΔT(B1-2)、ΔU = (3/2)nRΔT
Q = ΔU+W = (5/2)nRΔT
分配:ΔU:W = 3:2(6 割が温度、4 割が仕事)

ポイント A5 の数値群の一般形。「5 のうち 3 が中へ、2 が外へ」— (5/2)、(3/2)、1 という係数の並びを、比 3:2 の物語として記憶する。

解答
等温:ΔU = 0 → Q = W(吸収した熱がそのまま仕事になる)
断熱:Q = 0 → ΔU = −W(した仕事の分だけ U が減る)
断熱膨張では W > 0、よって ΔU < 0 — 外へ仕事をした代金を、熱の補給なしに自分の内部エネルギーから支払うため、温度が下がる。

ポイント 4変化のうち2つは「片方がゼロ」という極端の変化 — ゼロの欄を先に書けば、第一法則が残りを自動で決める(解法チャートの手順3・4)。

解答
定積では Q = ΔU = (3/2)nRΔT。
定義 Q = nC_VΔT と比較して C_V = (3/2)R ∎

ポイント モル比熱は定義(Q = nCΔT)と3点セットの係数比較で出る — 暗記でなく毎回 30 秒で再構成できる形。

解答
定圧では Q = (5/2)nRΔT。定義 Q = nC_PΔT と比較して C_P = (5/2)R
差をとると C_P−C_V = (5/2)R−(3/2)R = R(マイヤーの関係) ∎

ポイント 差の R の正体は「定圧のとき余計に払う膨張の仕事 nRΔT」— 数式の差に物理の物語(仕事代)が対応している。

解答
どんな変化でも ΔU = nC_VΔT(U は温度だけの関数だから、定積で測った C_V がそのまま使える)。
定圧変化に第一法則を適用:
Q = ΔU+W = nC_VΔT+nRΔT
一方 Q = nC_PΔT だから nC_PΔT = n(C_V+R)ΔT
C_P−C_V = R ∎(単原子でなくても成立)

ポイント 証明のどこにも「単原子」を使っていない — (3/2) という値は分子の構造で変わるが、差の R は膨張の仕事の分で普遍。A7-3(2原子分子)が成り立つ理由の完全版。

解答
グラフの下の台形の面積:
W = (P₁+P₂)(V₂−V₁)/2

ポイント 「平均の圧力 × 体積変化」と読める形 — A2-2 の一般式。圧縮(V₂ < V₁)なら自動的に負になる、符号込みの面積。

解答
状態方程式 PV = nRT を U = (3/2)nRT に代入して
U = (3/2)PV ∎
P-V 図上では、PV = 一定の曲線(等温線)は「U が一定の線」でもある — 図上の位置(P、V)だけで U が読める。

ポイント U = (3/2)PV は複合過程(B5)・サイクル(B6)で ΔU を温度を経由せずに出せる強力な道具 — 「図の座標から直接エネルギー」。

解答
同じ点から同じだけ膨張させると:
等温では、温度を保つよう熱を吸収しながら膨張し、圧力は PV = 一定の分だけ下がる。
断熱では、熱の補給がなく温度も下がる(B2-3)ため、圧力は「体積増」と「温度減」の両方の理由で下がる。
よって断熱線の方が圧力の下がり方が大きく、傾きが急になる ∎

ポイント グラフの形を式でなく物理の因果で説明する練習 — 「断熱は等温より急」は P-V 図の読解で頻出の判定基準(どちらの線か選ばせる共テ設問)。

解答
U = (3/2)PV(B4-2)を使う。
A → B(定積):W = 0
ΔU = (3/2)(P₂−P₁)V₁ = Q(吸熱)
B → C(定圧):W = P₂(V₂−V₁)
ΔU = (3/2)P₂(V₂−V₁)、Q = ΔU+W = (5/2)P₂(V₂−V₁)(吸熱)
全体:W = P₂(V₂−V₁)
ΔU = (3/2)(P₂V₂−P₁V₁)
Q = (3/2)(P₂V₂−P₁V₁)+P₂(V₂−V₁)

ポイント 表を過程ごとに埋めてから縦に合計する — 全体の ΔU が「最初と最後の PV の差」だけで書けるのは、U が状態量だから(B5-3 の伏線)。

解答
経路2:A → (P₁、V₂)(定圧):W = P₁(V₂−V₁)/続く定積:W = 0
全体:W = P₁(V₂−V₁)(経路1の P₂(V₂−V₁) より小さい)
ΔU = (3/2)(P₂V₂−P₁V₁)(経路1と同じ)
分かること:始点と終点が同じなら ΔU は同じ、W(したがって Q も)は経路で異なる。

ポイント P-V 図で見れば一目:2つの経路の「下の面積」が違う(高い圧力で膨張する経路1の方が大仕事)。ΔU は座標(状態)だけで、W は道のりで決まる。

解答
U は P・V・T という「今の状態」だけで決まる状態量 — どんな道を通って来たかの記憶をもたない。
一方、W は「どの圧力で膨張したか」という過程(経路)の履歴で決まる経路の量であり、Q = ΔU+W も経路による。
まとめ:「変化の前後」だけで決まるのが状態量(U、P、V、T)、「変化のしかた」で決まるのが Q と W。

ポイント 力学の対応物:位置エネルギー(状態量)と摩擦の仕事(経路量)— 第1巻・第5章の保存力・非保存力の区別と同じ思想が、熱力学の骨格にもなっている。

解答
1 サイクルで ΔU = 0(元の状態に戻る)。第一法則を1周分で:
Q_in−Q_out = ΔU+W = W
W = Q_in−Q_out、e = W/Q_in = 1−Q_out/Q_in ∎

ポイント 「1周で ΔU = 0」がサイクルの合言葉 — 吸った熱と捨てた熱の差額だけが仕事になる。e = 1 には Q_out = 0 が必要(B6-2 へ)。

解答
もう1つの表現:「熱は、他に何の変化も残さずに、低温の物体から高温の物体へ自然に移ることはない」。
例:氷水に入れたジュースが勝手に熱くなることはない/冷蔵庫は電気で仕事をして初めて、庫内(低温)から室内(高温)へ熱をくみ上げられる。

ポイント 第一法則(エネルギーの量の保存)が禁じないことでも、第二法則(変化の向き)が禁じる — 「エネルギーは保存するのに、なぜ燃料は減るのか」への答えがここにある。

解答
① 正味の仕事 = 囲む長方形の面積:W = (P₂−P₁)(V₂−V₁)
② 吸熱は温度が上がる過程:A → B(定積加熱)と B → C(定圧加熱)
Q_AB = (3/2)(P₂−P₁)V₁、Q_BC = (5/2)P₂(V₂−V₁)
Q_in = (3/2)(P₂−P₁)V₁+(5/2)P₂(V₂−V₁)
③ e = (P₂−P₁)(V₂−V₁)/{(3/2)(P₂−P₁)V₁+(5/2)P₂(V₂−V₁)}

ポイント 手順の型:①面積 → ②吸熱過程の選別(温度が上がる過程:U = (3/2)PV で判定)→ ③割り算。e の分母が分子よりはるかに大きい(効率は数十 % 止まり)ことも式の形から見える — 実戦3-2 で数値化する。

解答
① 定積:Q = (3/2)×1.0×8.3×100 = 1245 ≒ 1.2×10³ J(ア = 1、イ = 2)
② W = nRΔT = 830 J(ウエオ = 830)
Q = (5/2)×8.3×100 = 2075 ≒ 2.1×10³ J(カ = 2、キ = 1)
③ 等温 ⇔ ΔU = 0:(b)(ク = (b))
④ 断熱膨張 ⇔ ΔU = −W < 0:(c)(ケ = (c))
⑤ W/Q = 2/5 = 40 %(コサ = 40)

ポイント
• ①と②:同じ ΔT = 100 K でも Q は 1.2×10³ J と 2.1×10³ J — 差の 830 J がちょうど②の仕事(マイヤーの関係の実演)。
• ④の断熱膨張の冷却は、共テで「雲のでき方」「ペットボトルの実験」の文脈で出る定番 — 現象と結びつけて。

解答
① T ∝ PV より、PV の値(J)は A:200、B:400、C:800、D:400。
T_A:T_B:T_C:T_D = 1:2:4:2
② U = (3/2)PV より U_A = 300 J、U_B = 600 J、U_C = 1200 J、U_D = 600 J。
A → B(定積):W = 0、ΔU = +300 J、Q = +300 J(吸熱)
B → C(定圧):W = 2.0×10⁵×2.0×10⁻³ = +400 J、ΔU = +600 J、Q = +1000 J(吸熱)
C → D(定積):W = 0、ΔU = −600 J、Q = −600 J(放熱)
D → A(定圧):W = 1.0×10⁵×(−2.0×10⁻³) = −200 J、ΔU = −300 J、Q = −500 J(放熱)
③ 正味の仕事 = 400−200 = 200 J
長方形の面積 = (2.0−1.0)×10⁵×(4.0−2.0)×10⁻³ = 200 J — 一致 ○
④ 吸熱の合計 Q_in = 300+1000 = 1300 J
e = 200/1300 ≒ 0.15(15 %)

ポイント
• 検算3連:ΔU の1周合計 = 300+600−600−300 = 0 ○/Q の1周合計 = 300+1000−600−500 = 200 = W ○/どの過程も「Q の符号 = 温度変化の向き」○ — 表が正しければ帳簿は三重に閉じる。
• 効率の分母は吸熱だけ(1300 J)— 放熱の 1100 J を引いてはいけない(それは W = 200 J を出すときに既に使った)。

解答
① ピストンのつり合い(外は真空):P₁S = kx₀ → P₁ = kx₀/S
② 縮み 2x₀ のつり合い:P₂ = 2kx₀/S(圧力は 2 倍)
ピストンは x₀ だけ動くので V₂ = V₁+Sx₀
③ P-V 図上で直線変化(圧力は kx/S の形で体積に比例して増える)。台形の面積:
W = (P₁+P₂)/2×(V₂−V₁) = (3kx₀/(2S))×Sx₀ = (3/2)kx₀²
ばねの弾性エネルギーの増加:(1/2)k(2x₀)²−(1/2)kx₀² = (3/2)kx₀² — 一致 ○(外が真空なので、した仕事の行き先はばねだけ)
④ ΔU = (3/2)(P₂V₂−P₁V₁) = (3/2){(2kx₀/S)(V₁+Sx₀)−(kx₀/S)V₁}
= (3/2)(kx₀/S)(V₁+2Sx₀) = (3/2)kx₀(V₁/S+2x₀)
⑤ Q = ΔU+W = (3/2)kx₀(V₁/S+2x₀)+(3/2)kx₀²
= (3/2)kx₀(V₁/S+3x₀)

ポイント
• ③の「2ルートの一致」がこの問題の心臓 — 仕事の定義(面積)とエネルギーの行き先(ばね)が同じ値を指す。力学第5章と熱力学が1つの帳簿で結ばれた瞬間。
• 圧力が一定でないので W = PΔV は使えない(平均圧力なら可)— 「定圧かどうか」を疑う癖が、この種の応用問題への入場券。

Q1:× — 媒質はその場で振動するだけ。海の波でウキが上下するだけで流されないのと同じ — 運ばれるのは「振動の形(とエネルギー)」であって物質ではない。波の定義そのもの。

Q2:(b) — 横軸が位置 x のグラフは「空間の写真」:読めるのは波長と振幅。周期・振動数は時間の情報なので、v が分からなければ出ない(v = fλ で橋渡し)。

Q3:○ — 音は空気の疎密が伝わる縦波。だから真空では伝わらない(媒質がない)。図で扱うときは「横波表示」に翻訳する(A5)。

Q4:(b) — 動けない端は、入射波を打ち消す反射波を返す(端の変位が常に 0 になるように)→ 上下反転。自由端はそのまま返す。この対が反射のすべて。

Q5:(b) — 節も腹も λ/2 間隔で並ぶ(節と腹の間が λ/4)。「定常波の1目盛りは λ/4」と覚えると第5章で威力を発揮する。

解答
v = fλ = 5.0×2.0 = 10 m/s

ポイント v = fλ:「1 秒間に f 個の波(1 個の長さ λ)を送り出す」— 長さ λ の車両を毎秒 f 両つなげた列車の速さ、とイメージすると忘れない。

解答
λ = v/f = 340/170 = 2.0 m

ポイント 音の速さ 340 m/s(常温)は覚えておく基準値。170 Hz(低い男声ほど)の波長は 2 m — 人の背より長い「見えない波」が部屋を満たしている。

解答
f = v/λ = 6.0/1.5 = 4.0 Hz
T = 1/f = 0.25 s

ポイント v・f(T)・λ は3点セット:2つ分かれば残りは自動。f と T は逆数の関係(f = 1/T)なので、実質は2つの独立な量。

解答
① A = 0.20 m、λ = 4.0 m(x = 0 から 4.0 m で波1つ分)
② T = λ/v = 4.0/2.0 = 2.0 s、f = 1/T = 0.50 Hz

ポイント 波形グラフの読みは「山→谷→山で1波長」。②のように、波形(空間)から時間の量(T、f)へ渡るときは必ず v が仲介する。

解答
山と山の間隔 = 波長:λ = 0.60 m
v = fλ = 5.0×0.60 = 3.0 m/s

ポイント 「山と山」「谷と谷」「密と密」の間隔はどれも λ そのもの — 同じ状態が繰り返す最短距離が波長の定義。

解答
山から隣の谷は半波長:λ/2 = 1.5 m
λ = 3.0 m

ポイント 「山→谷は λ/2」— 山→山(λ)との取り違えが最頻出ミス。グラフ問題では「どの2点の間隔か」を図に印をつけてから式へ。

解答
A = 0.10 m、T = 2.0 s、f = 1/T = 0.50 Hz

ポイント 横軸が t なら「1点の日記」— 読めるのは T と A。この点は単振動している(第1巻・第8章)— 波とは「単振動のリレー」でもある。

解答
λ = vT = 4.0×2.0 = 8.0 m

ポイント y-t グラフには波長の情報がない — v を掛けて初めて空間の量になる(λ = vT:1周期に進む距離)。

解答
① 周期(T = 0.20 s)と振幅
② λ = vT = 15×0.20 = 3.0 m

ポイント 「グラフから直接読めるか、計算が要るか」を仕分ける設問は共テの定番 — 横軸の種類 = 読める量の種類、という対応表を体に入れる(概念チェック Q2)。

解答
図示:波形を右へ少しずらす — P の位置には、左隣にあった波形(山の側)がやって来る。
P は上へ動く。

ポイント 「次の瞬間の波形 = 今の波形を進行方向へずらしたもの」— 媒質の動きの判定はこの1手のみ。「波が来る側(進行方向の後ろ)の変位が、次の自分」。

解答
(b) — 山は振動の折り返し点(単振動の端)なので、速さは 0。

ポイント 媒質は上下(縦波なら前後)に単振動 — 「端で速さ 0、中心(変位 0)で最速」(第1巻・第8章)がそのまま使える。「波の速さ v」と「媒質の速さ」は別物、という区別も本問の裏テーマ。

解答
波は左へ進むので、R には右隣の波形(谷の側)がやって来る。
R は下へ動く。

ポイント A4-1 と同じ波形でも、進行の向きが逆なら動きも逆 — 「波形だけでは媒質の動きは決まらない。向きとセットで初めて決まる」。矢印(進行方向)の確認を最初の儀式に。

解答
図示:各点の変位を x 方向の矢印に戻す — 山(x = 1.0)は右へ、谷(x = 3.0)は左へずれている。両側から寄られる x = 2.0 が密、両側へ逃げられる x = 0 が疎。
密:x = 2.0 m(右下がりの 0)/疎:x = 0(右上がりの 0)

ポイント 判定の合言葉「右下がりの 0 が密、右上がりの 0 が疎」— ただし丸暗記でなく、矢印を2〜3本描いて「寄る・逃げる」を一度自分で確認しておくこと(実戦4-2 で再現する)。

解答
速さ最大は変位 0 の点(単振動の中心):
x = 0、2.0 m(および 4.0 m)

ポイント 「密・疎の点(変位 0)こそ最速で動いている」— 変位が最大の山・谷は止まっている(A4-2)。縦波でも媒質の各点は単振動、という原理は不変。

解答
① λ = 340/440 = 0.772 ≒ 0.77 m
② 密と密の間隔 = 波長そのもの = 0.77 m

ポイント 音は「疎密の縞模様が 340 m/s で飛んでくる」現象 — 縞の間隔が λ。440 Hz(楽器のラの音)の縞は約 77 cm:身の回りの音の"サイズ感"。

解答
y = y₁+y₂ = 0.30+0.20 = 0.50 m

ポイント 重ね合わせの原理:合成波の変位 = 各波の変位の単純な和。波は互いに場所を譲らず、同じ点に同時に存在できる(粒子との決定的な違い)。

解答
① y = 0.30+(−0.30) = 0(どの点も変位 0)
② 消えていない — 直後に2つのパルスはすり抜けて、元の山と谷がそれぞれの向きへ現れる(波の独立性)。重なった瞬間も媒質は速度をもって動いている。

ポイント 「変位 0 の一瞬」に波のエネルギーは運動エネルギーとして媒質の速度の中に生きている — 見た目が平らでも波は死んでいない。独立性は「波はお互いを素通りする」という驚くべき性質。

解答
y = 0.20+(−0.10) = +0.10 m

ポイント 部分的な重なりでも計算は同じ「各点で符号つきの足し算」— 定常波(A8)の腹・節も、この足し算の繰り返しから生まれる。

解答
① 自由端反射は変位そのまま:山のまま返る。
② 端では入射波と反射波が重なる:0.20+0.20 = 0.40 m(振幅の2倍)

ポイント 自由端は思いきり振れる端 — 入射と反射が同符号で重なり、端は必ず「腹」になる。ロープの先端を軽い輪にして棒に通した実験のイメージ。

解答
① 固定端反射は上下反転:谷(深さ 0.20 m)になって返る。
② 入射(+)と反射(−)がつねに打ち消し合い、端の変位はつねに 0。

ポイント 「端が動けない」という条件が、反転した反射波を要請する(端で常に 0 になるのは、逆符号の波を返すときだけ)— 固定端 = 節、の理由がここにある。

解答
手順:①パルスを端の先まで素通りさせて描く(延長)②端で折り返す ③固定端なら上下も反転(端について点対称。自由端は折り返しのみ = 線対称)。
0.25 s で波は 2.0×0.25 = 0.50 m 進む → 先頭の 0.50 m 分が反射して戻っている:0.50 m(谷として)

ポイント 「延長 → 折り返し(→ 反転)」の3拍子が反射作図のすべて — 実際の波形は「まだ入射中の部分+すでに反射した部分」の重ね合わせで描く。

解答
① 腹では2つの波がつねに強め合う:2A = 0.20 m
② 節の間隔 = λ/2 = 1.0 m

ポイント 定常波の2大数値「腹は 2A、間隔は λ/2」。腹・節が交互に λ/4 刻みで並ぶ"ものさし"を頭に描く。

解答
節と腹の間隔 = λ/4 = 0.50 m → λ = 2.0 m
f = v/λ = 8.0/2.0 = 4.0 Hz

ポイント 「節⇔腹は λ/4、節⇔節は λ/2」の使い分け — 間隔から λ を逆算し、v = fλ へつなぐ。第5章(弦・気柱)の計算はすべてこの型の反復になる。

解答
固定端は節。節は λ/2 = 1.0 m 間隔:x = 0、1.0、2.0、3.0 m
腹はその中間:x = 0.50、1.5、2.5 m

ポイント 「固定端 = 節を起点に、λ/4 の目盛りを打つ」— 自由端なら腹を起点に同じ作業。端の種類 → 起点の種類、の翻訳が第5章の弦・気柱の"設計図"になる。

解答
波は 1 周期 T の間に、ちょうど 1 波長 λ だけ進む。
よって速さは v = λ/T。f = 1/T を使って v = fλ ∎

ポイント v = fλ は暗記物ではなく「1 周期に 1 波長」という波の定義の言い換え — 導出が 1 行で終わる公式こそ、意味ごと覚える価値がある。

解答
進む距離 = v×(T/4) = (λ/T)×(T/4) = λ/4
定常波の作図では、時刻を T/4 進めるごとに、2つの波形を互いに逆向きへ λ/4 ずつずらして重ねる — この「T/4 ⇔ λ/4」の対応が作図の目盛りになる。

ポイント 「時間の 1/4 = 空間の 1/4」— 周期と波長は v で結ばれた同じ長さの2つの顔。以後の作図・グラフ変換すべての基本レート。

解答
波が P から Q へ届くのに d/v かかるので、Q の振動は P より d/v 遅れる(同じ動きを d/v 後に再現する)。
d = λ のとき:遅れ = λ/v = T(ちょうど 1 周期)→ P と Q はつねに同じ動き(同位相)。
d = λ/2 のとき:遅れ = T/2 → P と Q はつねに逆の動き(一方が山なら他方は谷)。

ポイント 「λ 離れたら同じ、λ/2 離れたら逆」— この2行が、第6章(うなり・ドップラー)や第8章(干渉)の「強め合い・弱め合い」の原型になる。

解答
① 波は右へ進むので、原点には左隣(x < 0)の波形が来る。周期性より x = −λ/4 は谷 — 左隣は負。
原点は下へ動く。
② 原点の振動:0 → 谷(T/4)→ 0(T/2)→ 山(3T/4)。
最初に山になるのは t = 3T/4

ポイント 「波形を進行方向へずらす」1手で、その後の振動の全歴史が読める — y-x(1枚の写真)から y-t(日記)への翻訳。谷を経由してから山、という順路を飛ばさない。

解答
原点が直後に上へ動く ⇔ 右へ進む波では「左隣の変位が正」。
原点で y = 0、左が正・右が負となる波形は:
x = λ/4 に谷、x = 3λ/4 に山(x = 0、λ/2、λ で 0)

ポイント B2-1 の逆翻訳(日記 → 写真)。「原点が上へ動く波形」は 1 通りに決まる — 進行の向きが与えられて初めて、振動と波形が 1 対 1 になる(A4-3 の教訓の裏返し)。

解答
x = d の点は、x = 0 の点と同じ振動を d/v だけ遅れて行う(B1-3)。
よって y-t グラフは、x = 0 のグラフを時間軸の正の向きへ d/v だけ平行移動したものになる。

ポイント 「空間のずれ = 時間グラフの平行移動」— 波の問題は結局「同じ単振動の時差の勤務表」。d = λ で 1 周期ずれて元と重なる(見分けがつかない)ことも確認。

解答
約束:x 正の向きの変位を y 正としてグラフに描く。
右下がりに 0 を切る点では、左隣は y > 0(右へ変位)、右隣は y < 0(左へ変位) — 左の媒質は右へ、右の媒質は左へ、両側からこの点に寄って来る。
よってこの点が最も密になる ∎(右上がりの 0 では両側へ逃げるので疎)

ポイント 矢印を左右 1 本ずつ描けば 10 秒で再導出できる — 「右下がり = 密」を理由ごと携帯すること。上下(y)を左右(x)へ読み戻す往復が縦波のすべて。

解答
密の点は変位 0 なので速さは最大(単振動の中心)。
x 正の向きに進む波では、この点に次に来るのは左隣の波形(y > 0 = 右向きの変位) — 変位はこれから正になる。
よって密の点の速度は x 正の向き(波の進行方向)に最大 ∎

ポイント 「密の媒質は波と同じ向きに走っている」— 満員電車の押し合いが前へ伝わるイメージ。疎の点は逆に、進行方向と逆向きに最大の速さ。

解答
分子が寄り集まる密の点で圧力は最大、逃げ合う疎の点で最小。
圧力の変動が最も大きいのは密・疎になる点 = 変位 0 の点であり、変位の振幅が最大の点(山・谷)では圧力はほとんど変動しない。
両者は λ/4 だけずれて並んでいる。

ポイント 音波には「変位の波」と「圧力の波」という2つの顔があり、山がずれている(λ/4)— 第5章の気柱で「口(自由端)は変位の腹・圧力の節」と言えるようになる布石。

解答
手順:①入射波を端がないものとして端の先まで描く(延長)②延長部分を端の位置で折り返す(端について線対称)— これが反射波。
自由端では、入射波と反射波がつねに同符号で重なる(折り返しただけなので端では同じ変位)→ 端の変位はつねに 2 倍:端は腹になる ∎

ポイント 「線対称 = そのまま折り返し」が自由端。端は 2 波の満場一致の点 — 振幅 2A で振れる自由の象徴。

解答
手順:①延長 ②端で折り返し ③さらに上下を反転(全体として端について点対称)。
固定端では、入射波と反射波が端でつねに逆符号・同じ大きさ → 和はつねに 0:端は節になる。
逆に言えば、「端がつねに 0」という束縛条件を満たすために、反転した反射波が返る ∎

ポイント 「点対称 = 折り返して反転」が固定端。反転は壁の都合(動けない)が波に課した条件 — 原因と結果の向きまで言えれば論述は満点。

解答
波の速さ v は媒質の性質で決まる(張力・密度など)。反射は同じ媒質の中で起こるので v は不変。
振動数 f は波源の振動のリズムで決まり、反射しても 1 秒あたりの波の数は変わらないので f も不変。
よって λ = v/f も不変 ∎

ポイント 「v は媒質、f は波源」— 波の量の"管轄"を仕分ける重要な整理。第7章(屈折)で「媒質が変わると v と λ が変わり、f だけは変わらない」を言うための土台。

解答
方針:右へ進む波と左へ進む波を、T/4 ごとに互いに逆向きへ λ/4 ずつずらして描き(B1-2)、各時刻で足し合わせる。
すると、2つの波の山と谷がつねに出会う点では、どの時刻も和が 0 — 動かない(節)。
その中間の、山と山・谷と谷が出会う点では、和が +2A → 0 → −2A → 0 と振動する(腹)。
合成波はどちらへも進まず、その場で振動する — 定常波 ∎

ポイント T/4 刻み 4 枚の作図は一度は自分の手で — 「進む波+進む波 = 進まない波」という逆説が、足し算だけから生まれる瞬間を目撃する。

解答
節は「一方の波の山と他方の波の谷がつねに出会う点」。この出会いは、波形の周期性より半波長ごとに繰り返す。
よって節と節の間隔は λ/2 ∎(腹はその中間に、やはり λ/2 間隔で並ぶ)

ポイント 定常波の縞の周期は λ ではなく λ/2 — もとの波 1 波長の中に、節も腹も 2 つずつ入っている。

解答
固定端:反射波が反転して返るため、端ではつねに入射波と打ち消し合う → 端 = 節。
自由端:反射波がそのまま返るため、端ではつねに強め合う → 端 = 腹。
固定端から測って:節は x = 0、λ/2、λ、…(x = nλ/2)/腹は x = λ/4、3λ/4、…(x = λ/4+nλ/2)

ポイント 「端の種類 → 端の役(節か腹か)→ λ/4 の目盛りで配置」— この3手が第5章(弦・気柱の固有振動)の設計図のすべて。

解答
腹の媒質は振幅 2A、振動数 f(角振動数 ω = 2πf)の単振動:
v_max = (振幅)×ω = 2A×2πf = 4πAf

ポイント 定常波の各点は振幅の違う単振動の集まり(節 0 〜 腹 2A)— 第1巻・第8章の v_max = Aω がそのまま輸入できる。波の分野は力学の「再演」でもある。

解答
節の媒質はまったく動かない — 動かない点は隣に仕事をしない(力 × 速度 = 0)。
よってエネルギーは節を越えて流れることができず、節と節の間に閉じ込められて、運動エネルギーと(変形の)位置エネルギーの間を往復するだけになる。
進行波では全ての点が動き、エネルギーが波とともに一方向へ運ばれるのと対照的である。

ポイント 「エネルギーの通行止め = 節」— 定常波が"定常"でいられる理由。逆向きの 2 つの進行波が運ぶエネルギーが差し引きゼロ、という見方もできる。

解答
中点は 2 つの波源から等距離にある。同位相の波源から出た波は、同じ時間をかけて同じ変位で中点に到達する。
よって中点では 2 つの波がつねに同符号で重なり、必ず強め合う = 腹になる ∎

ポイント 「経路差 0 → つねに強め合い」— 距離の差が運命を決める、という第8章(干渉)の中心思想の最初の一滴。定常波は「向かい合う 2 波源の干渉縞」でもある。

解答
① A = 0.10 m(アイ = 10)、λ = 4.0 m(ウ = 4、エ = 0)
② T = λ/v = 4.0/2.0 = 2.0 s(オ = 2、カ = 0)、f = 1/T = 0.50 Hz(キク = 50)
③ 右へ進む波:x = 2.0 には左隣の波形(山の側、y > 0)が来る → 上へ:(a)(ケ = (a))
④ 谷は振動の折り返し点:速さ 0:(b)(コ = (b))
⑤ 0.50 s = T/4。波は λ/4 = 1.0 m 右へ進むので、x = 0 の変位は元の x = −1.0 m(周期性より谷)の値:
y = −0.10 m:(c)(サ = (c))

ポイント
• ⑤は「x = 0 は③と逆に下へ動き出す(左隣 x = −1.0 が谷)」→ T/4 後にちょうど谷、と振動の物語でも確認できる — 平行移動と定点観測、2 つの読みの一致が検算。
• ③④で「波の速さ 2.0 m/s」と「媒質の速さ」を混同しないこと — 別の量(A4-2)。

解答
① 右下がりに 0 を切る x = λ/2 が最も密(左隣は右向き変位、右隣は左向き変位 — 両側から寄るため)。
右上がりの x = 0(および λ)が最も疎(両側へ逃げるため)。
② 速さ最大は変位 0 の点:x = 0、λ/2(および λ)
③ 右へ進む波なので、x = λ/2 には左隣の波形(y > 0)が来る — 変位はこれから正(右向き)になる。
x 正の向き(波の進行方向)に速さ最大。
④ 密の点では左右から分子が寄り集まり、単位体積あたりの分子数が最大になるから(衝突が激しくなり圧力最大:第2章・分子運動論)。
⑤ 疎密のパターン全体が、波の速さ v で x 正の向きへ進んでいく(媒質は往復するだけで、密の"場所"が伝わる)。

ポイント
• ③の結論「密は進行方向へ走る」は、押し合いが前へ伝わる縦波の心臓部 — 疎の点は逆向きに最大、と対で覚える。
• ①〜⑤を通じて、媒質の変位・速度・圧力という 3 つの層が λ/4 ずつずれて同居している — 縦波を 3 枚のグラフで見る目が完成する。

解答
① 振幅 A、波長 λ、速さ v はいずれも入射波と同じ(同じ媒質・同じ波源:B4-3)。進む向きは x 軸の正の向き(折り返す)。反射の際、変位は上下反転する(固定端反射)。
② 固定端では入射波と反射波がつねに逆符号で打ち消し合い、変位はつねに 0 — 節。
③ 節は λ/2 間隔:x = 0、λ/2、λ、3λ/2、…(x = nλ/2、n = 0、1、2、…)
④ 腹は節の中間:x = λ/4、3λ/4、5λ/4、…(x = λ/4+nλ/2)、振幅は 2A
⑤ 節と節の間隔:λ/2
腹の媒質は、もとの波と同じ振動数で単振動する:周期 T = λ/v

ポイント
• ①で「変わらない量(A・λ・v・f)」と「変わる量(向き・変位の符号)」を仕分けてから始めるのが記述の作法 — 以降の設問はすべてこの仕分けの帰結。
• この問題の壁を「弦の固定端」に、x の範囲を「長さ L」に制限すると、そのまま第5章の弦の固有振動になる — 次章への橋そのもの。

Q1:(b) — 固定された端は動けない → 節(第4章 B5-3)。「動けない端 = 節、動ける端 = 腹」がこの章の全問題の出発点。

Q2:○ — v = √(S/ρ):張力 S を上げると波が速くなり、λ が同じ(同じ形)なら f = v/λ は高くなる。ギターのペグを巻くと音が上がる理由。

Q3:(b) — 壁に接した空気は壁の向こうへ動けない → 節。逆に開口端は外気と自由にやりとりできる → 腹。

Q4:○ — 開管は両端が腹で、半波長単位で何個でも入る → 整数倍すべて。閉管は「節と腹のペア(λ/4 の奇数個)」しか入らず奇数倍のみ — 両者の音色の違いの正体。

Q5:(b) — 空気の振動は管口で急に止まれず、少し外まではみ出す(開口端補正 Δx)。だから「管の長さ = λ/4」は近似で、精密には L+Δx = λ/4。

解答
図示:両端が節、中央に腹1つ — 弦の長さが半波長。
① L = λ/2 より λ = 2L = 1.6 m
② f = v/λ = 320/1.6 = 2.0×10² Hz

ポイント 基本振動の合言葉「λ = 2L」— 弦の中に半波長が1つ。まず絵(節・腹の配置)、次に λ、最後に f、の3段が弦・気柱の定跡。

解答
波長:λ = 2L = 1.0 m
v = fλ = 400×1.0 = 4.0×10² m/s

ポイント f と L から v を逆算 — 弦の上の波は音速(340 m/s)とは無関係の速さで走っている(v = √(S/ρ):A3)。「弦の波の速さ」と「音速」の混同に注意。

解答
腹1つ = 基本振動:λ = 2L = 1.2 m
v = 250×1.2 = 3.0×10² m/s

ポイント 「腹が1つ」という絵の情報から振動の種類(基本)を判定してスタート — 問題文の図・言葉を「n がいくつか」に翻訳するのが第一手。

解答
腹3つ → 半波長が3個:L = 3×(λ/2)
λ = 2L/3 = 0.60 m
f = 240/0.60 = 4.0×10² Hz(λ = 0.60 m)

ポイント λₙ = 2L/n(n = 腹の数) — 「弦に半波長が n 個入る」を式にしただけ。n が増えるほど λ は短く、f は高い(n 倍振動 = 基本の n 倍)。

解答
① f₃ = 3f₁ = 450 Hz
② 腹は 3 つ
③ 節は両端を含めて 4 つ

ポイント 弦の固有振動数は f₁ の整数倍の"はしご"(150、300、450、…)。腹 n 個・節 n+1 個の数え方は、絵を描けば間違えない(端の節を忘れずに)。

解答
200 Hz と 300 Hz は連続する倍振動(間がないので)。
その差が基本振動数:f₁ = 300−200 = 1.0×10² Hz
(200 Hz = 2倍振動、300 Hz = 3倍振動)

ポイント 「連続する固有振動数の差 = 基本振動数」— はしごの段差から1段目を推理する、入試好みの逆問題。検算:100 の整数倍に 200 と 300 が乗り、間(たとえば 250)は乗らない ○。

解答
v = √(S/ρ) = √(90/(1.0×10⁻³)) = √(9.0×10⁴) = 3.0×10² m/s

ポイント v = √(S/ρ) — 単位の検算:√(N ÷ kg/m) = √(kg·m/s² × m/kg) = √(m²/s²) = m/s ○。「張り(S)が駆動、重さ(ρ)が慣性」という構造は v の式の定番の顔。

解答
① v ∝ √S:2 倍
② λ は同じ(同じ形)なので f = v/λ も 2 倍

ポイント 「4 倍で 2 倍」— √ のスケーリング即答(第1巻から続く型)。チューニングで音を1オクターブ上げるには張力 4 倍が要る、というギター弦の現実。

解答
v² = S/ρ より ρ = S/v² = 80/(2.0×10²)² = 80/(4.0×10⁴)
ρ = 2.0×10⁻³ kg/m

ポイント 線密度(1 m あたりの質量)の逆算。2.0×10⁻³ kg/m = 2.0 g/m — 実際のギター弦の太さの範囲で、数値に現実感がある。

解答
図示:張力はおもりのつり合いから S = Mg = 19.6 N(第1巻・第3章)。
v = √(19.6/(5.0×10⁻⁴)) = √(3.92×10⁴) ≒ 2.0×10² m/s

ポイント 張力の出どころは力学のつり合い — 「S = Mg」の1行が力学と波動の接続点。装置(ソノメーター)の絵を描いて、どこが振動部分かも確認。

解答
λ = 2L = 1.0 m
f₁ = v/λ = 198/1.0 ≒ 2.0×10² Hz

ポイント A4-1 の v をそのまま使う連結問題 — 「力学(S)→ 波の速さ(v)→ 定常波(λ)→ 振動数(f)」という4段リレーが、この章の総合問題の標準の流れ。

解答
f ∝ v ∝ √S ∝ √M:4 倍で 2 倍
f₁ = 2.0×10²×2 ≒ 4.0×10² Hz

ポイント 構造(∝ √M)で即答してから、必要なら数値 — A3-2 と同じスケーリングが装置つきでも通用する。おもり4倍で1オクターブ上がる。

解答
図示:閉口 = 節、開口 = 腹。基本振動は「節1つ+腹1つ」で、管の長さが λ/4。
λ = 4L = 4×0.17 = 0.68 m
f₁ = 340/0.68 = 5.0×10² Hz(λ = 0.68 m)

ポイント 閉管の基本は「λ = 4L」— 管の中に波の 1/4 しか入っていない。同じ長さの弦(λ = 2L)よりさらに長い波長を鳴らせる、コンパクトな低音装置。

解答
閉管の固有振動は奇数倍のみ:次は 3 倍振動。
f = 3f₁ = 3×500 = 1.5×10³ Hz

ポイント 「次 = 2 倍」ではない!閉管のはしごは f₁、3f₁、5f₁、… — 1 段飛ばし。絵で確かめると、管内に λ/4 が 3 個(節2・腹2)入った形。

解答
f₁ = v/(4L) より L = v/(4f₁) = 340/(4×425) = 340/1700
L = 0.20 m

ポイント 管の長さの逆算 — 管楽器の設計計算そのもの。425 Hz(ほぼ「ラ」)を鳴らす閉管はわずか 20 cm:試験管の笛が高い音になる理由。

解答
図示:両端が腹、中央に節1つ — 管の長さが λ/2。
λ = 2L = 1.7 m
f₁ = 340/1.7 = 2.0×10² Hz(λ = 1.7 m)

ポイント 開管の基本は「λ = 2L」— 式の形は弦と同じ(ただし端の役が逆:弦は両端節、開管は両端腹)。絵を描けば混同しない。

解答
f₂ = 2f₁ = 4.0×10² Hz
2 倍振動は管内に半波長が 2 個(腹3・節 2 つ)。

ポイント 開管はすべての整数倍が鳴る(概念チェック Q4)。節の数 = n、腹の数 = n+1 — 弦とちょうど逆の勘定になる。

解答
λ = 4L = 3.4 m
f₁ = 340/3.4 = 1.0×10² Hz — 開管のときの 1/2(1オクターブ低い)

ポイント 「片端をふさぐと音が 1 オクターブ下がる」— λ = 2L → 4L の直接の帰結。ペットボトルの口を手のひらで半分ふさぐ遊びの物理。

解答
図示:水面 = 節、管口付近 = 腹。共鳴と共鳴の間隔が半波長。
λ = 2(L₂−L₁) = 2×0.34 = 0.68 m
v = fλ = 500×0.68 = 3.4×10² m/s(λ = 0.68 m)

ポイント λ = 2(L₂−L₁) — 引き算で開口端補正が消える、この実験の設計の妙。「1回目の共鳴から λ = 4L₁」とするより正確な理由が A7-2 で分かる。

解答
第1共鳴では、腹(管口の少し外)から水面(節)までが λ/4:
L₁+Δx = λ/4 より Δx = 0.68/4−0.16 = 0.17−0.16
Δx = 1.0×10⁻² m(1.0 cm)

ポイント Δx = λ/4−L₁ — 「理論上の λ/4 と実測 L₁ のずれ」がそのまま補正量。Δx は管の口径程度(約 0.6 × 半径)の小さな量だが、精密測定では無視できない。

解答
第3共鳴:L₃+Δx = 5λ/4
L₃ = 5×0.17−0.010 = 0.85−0.010 = 0.84 m

ポイント 共鳴位置は λ/2 ずつ(0.34 m 間隔)並ぶ:0.16 → 0.50 → 0.84 ○。「水面 = 節が λ/2 刻みで下がっていく」— 定常波の目盛り(第4章)がそのまま実験のものさし。

解答
① 共鳴(共振)
② おもりで B の固有振動数が変わり、A の振動数と一致しなくなったから。

ポイント 共鳴の条件は「振動数の一致」ただ1つ — わずかにずれただけで応答は激減する。おんさの実験は、この鋭さを目で見る装置。

解答
固有周期に合わせる:2.0 s ごと(揺れの向きが同じになる瞬間に押す)

ポイント ブランコは共振の体験装置 — 小さな力でも、タイミング(振動数)さえ合えばエネルギーが積み上がる。橋や建物の設計で共振を避ける理由でもある。

解答
腹2つ:λ = 2L/2 = 0.40 m
v = fλ = 300×0.40 = 1.2×10² m/s

ポイント 共振しているとき、弦の振動数 = おんさの振動数(駆動源が拍子を決める)— 「f はおんさから、λ は絵から、v は掛け算で」の役割分担。

解答
両端が節なので、長さ L の中に半波長がちょうど n 個入る:
条件:L = n×(λ/2) → λₙ = 2L/n(n = 1、2、3、…)
振動数:fₙ = v/λₙ = nv/(2L) ∎

ポイント 「端の条件 → 長さの条件 → λ → f」の4段が固有振動の全導出 — この流れさえあれば、弦・開管・閉管のどれでも公式をその場で再建できる。

解答
基本振動数は f₁ = v/(2L)。よって fₙ = n f₁(整数倍) ○
n 倍振動:半波長 n 個 → 腹は n 個、節は両端を含めて n+1 個

ポイント 弦の音は f₁ を最小単位とする整数倍のはしご — 楽器の「倍音」の正体。腹と節の個数は「柵とすき間」の数え方(節 = 柵)。

解答
式:fₙ = (n/2L)×√(S/ρ)
音を高くする3つの方法:
①L を短くする(フレットを押さえる)②S を強くする(ペグを巻いて張る)③ρ を小さくする(細い弦に替える)

ポイント ギターの構造(6本の太さ違いの弦・ペグ・フレット)は、この1本の式の3つの変数の実装 — 式が読めれば楽器が設計図に見えてくる。

解答
張力はおもりのつり合いから S = Mg。
f₁ = (1/2L)×√(Mg/ρ)

ポイント 力学(つり合い)→ 波(v)→ 定常波(f)の直列接続 — A4 の一般式。M で音程を制御する実験装置(ソノメーター)の理論式。

解答
共振条件は f = (1/2L)√(S/ρ) がおんさの f と一致すること。f・ρ 一定で S → 4S なら、√S が 2 倍になるぶん
長さを 2 倍にすれば再び一致する(L ∝ √S)。

ポイント 「何が固定されているか」(ここでは f)を先に宣言してから比例を追う — 共振問題の定石。強く張るほど、同じ音を出す弦は長くできる。

解答
指を触れた中点は節になることを強制される → 中点が節である振動、すなわち偶数倍振動だけが残る。最も強く残るのは 2 倍振動で、音の高さは基本の 2 倍(1 オクターブ上)になる。

ポイント ギターの「ハーモニクス奏法」の原理 — 触れる位置で残る倍音を選別できる(1/3 の点なら 3 倍振動)。「節を指定する」という逆向きの発想が新鮮な良問。

解答
閉口端 = 節、開口端 = 腹。節から腹までは λ/4 の奇数個分だから
条件:L = λ/4、3λ/4、5λ/4、… = (2n−1)×λ/4
λ = 4L/(2n−1)、fₙ = (2n−1)×v/(4L)(n = 1、2、3、…)∎

ポイント 「節と腹で終わる長さは λ/4 の奇数倍」— λ/4 の目盛り(第4章)で絵を描けば、(2n−1) は自然に現れる(暗記の必要なし)。

解答
偶数倍(λ/4 の偶数個 = λ/2 の整数個)だと、両端が「節と節」または「腹と腹」になってしまい、「閉口 = 節、開口 = 腹」という端の条件を同時に満たせない。
よって λ/4 の奇数個だけが許され、固有振動数は f₁ の奇数倍のみとなる ∎

ポイント 「なぜ奇数倍か」を端の条件の言葉で言えるかが記述の分かれ目 — 式の (2n−1) は結果であって理由ではない。

解答
隣り合う固有振動数:f = (2n−1)v/(4L) と (2n+1)v/(4L) の差は
Δf = 2×v/(4L) = v/(2L) = 2f₁
注意点:閉管では連続する共鳴振動数の差は基本振動数の 2 倍 — 弦・開管(差 = f₁)と同じ感覚で「差 = 基本」とすると 2 倍の誤答になる。差 ÷ 2 が基本振動数。

ポイント A2-3(弦:差 = f₁)との対比で覚える — 「はしごの段差」が管の種類で違う。共テの実験考察で狙われる急所。

解答
両端が腹 → 腹から腹までは λ/2 の整数個:
条件:L = n×(λ/2) → λ = 2L/n、fₙ = n×v/(2L)(すべての整数倍)∎

ポイント 式の形は弦(B1-1)と同一 — ただし端の役が正反対(弦:両端節/開管:両端腹)。「式が同じでも絵が違う」ことを絵で確認しておく。

解答
開管:f₁ = v/(2L)、閉管:f₁ = v/(4L)
比は 2:1(開管が 2 倍高い = 閉管は 1 オクターブ低い)

ポイント A6-3 の一般化。「ふさぐと 1 オクターブ下がる」は楽器の世界の常識 — パイプオルガンは閉管パイプで低音を稼ぎ、長さを半分に節約している。

解答
腹は管口より Δx 外にできるので、実効的な長さで置き換える:
閉管(開口 1 つ):f₁ = v/{4(L+Δx)}
開管(開口 2 つ):f₁ = v/{2(L+2Δx)}

ポイント 補正の個数 = 開口の個数(閉管 1 つ、開管 2 つ)。「L を実効長に置き換えるだけで公式は不変」という処理の型を身につける。

解答
腹(管口の Δx 外)から節(水面)までが λ/4 の奇数倍:
第1共鳴:L₁+Δx = λ/4
第2共鳴:L₂+Δx = 3λ/4
辺々引くと L₂−L₁ = λ/2 → λ = 2(L₂−L₁) ∎(Δx が消える)

ポイント 引き算で系統誤差(Δx)を消す — 実験設計の知恵の教科書的傑作。「差をとれば共通のずれは消える」という発想は物理実験全般の武器。

解答
第1共鳴の式へ λ = 2(L₂−L₁) を代入:
Δx = λ/4−L₁ = (L₂−L₁)/2−L₁
Δx = (L₂−3L₁)/2

ポイント L₁ と L₂ という測れる量だけで補正が出る — 「見えない Δx を測る」逆算。検算:L₂ = 3L₁ なら Δx = 0(補正なしの理想)○。

解答
開口端補正のため L₁ は λ/4 より Δx だけ短い。よって 4fL₁ = f(λ−4Δx) < fλ = v — 音速を小さく見積もってしまう。
正しくは、補正が消える差を使って v = fλ = 2f(L₂−L₁)。

ポイント 「誤差の向きまで言う」(第1章 B5 と同じ流儀)— 小さく出る、と断定できるのは L₁ < λ/4 という不等式があるから。実験考察記述の完成形。

解答
固有振動数 f = v/(4L) など、いずれも v に比例 — 音速が大きくなると固有振動数は高くなる。
管楽器は演奏中に温まって音程が上がっていくため、演奏直前・休憩後に音合わせ(チューニング)をし直す。

ポイント 「長さが同じでも温度で音程が動く」— 弦楽器(温度で張力が変わる)とは別の理由で、どの楽器も温度に敏感。物理が楽団の習慣を説明する。

解答
腹(管口の Δx 外)から水面・閉端(節)まで:L+Δx = (2n−1)λ/4、λ = v/f より
L = (2n−1)×v/(4f)−Δx(n = 1、2、3、…)

ポイント A7 の実験のすべての共鳴位置を1本で表す一般式 — n = 1、2 を代入すれば B5-1 の2式に戻る ○。

解答
同じ高さ(同じ基本振動数)の音でも、実際の音には倍音が重なっている。
閉管に近いクラリネットは奇数倍音(f₁、3f₁、5f₁、…)だけを含み、開管に近いフルートはすべての整数倍音を含む。
含まれる倍音の構成(混ざり方)が違うため、合成された波形が異なり、音色が違って聞こえる。

ポイント 「高さ = 基本振動数、音色 = 倍音の配合」— 音の3要素の物理的正体の一角。閉管の「奇数倍のみ」(B3-2)が、耳で聞き分けられる違いとして現れる。

解答
① λ = 2(L₂−L₁) = 2×(0.58−0.18) = 0.80 m(ア = 0、イウ = 80)
② v = fλ = 425×0.80 = 340 m/s(エオカ = 340)
③ Δx = λ/4−L₁ = 0.20−0.18 = 0.020 m = 2.0 cm(キ = 2、ク = 0)
④ 共鳴は λ/2 = 0.40 m 間隔:L₃ = 0.58+0.40 = 0.98 m(ケ = 0、コサ = 98)
(検算:5λ/4−Δx = 1.00−0.02 = 0.98 ○)
⑤ 管口付近は腹(の少し内側):(b)(シ = (b))

ポイント
• ②で v = 340 m/s が出るのは出題の checksum — 実験値が常識の音速と合うか照らす習慣を。
• ④は「前回の共鳴 + λ/2」で足すのが最速(一般式からの検算と両輪)。共鳴位置の等間隔性そのものが「水面 = 節の行進」の証拠。

解答
① おもりのつり合いより S = Mg
② v = √(Mg/ρ)
③ λₙ = 2L/n だから
fₙ = v/λₙ = (n/2L)×√(Mg/ρ)
④ v = √(4.0×9.8/(4.0×10⁻⁴)) = √(9.8×10⁴) ≒ 3.1×10² m/s
f₁ = v/(2L) = 313/1.0 ≒ 3.1×10² Hz
⑤ f₁ ∝ √M なので、2 倍にするには M を 4 倍(16 kg)にすればよい。

ポイント
• ④の √(9.8×10⁴) = √9.8×10² ≒ 3.13×10² — 大きな数の平方根は「×10 の偶数乗をくくり出す」のが定石。
• ⑤「2 倍にしたければ 4 倍」— √ の逆読み。①〜⑤を通じ、答えに v(音速 340)が一度も登場しない:弦の上の波は音ではない、という区別の総仕上げ。

解答
① 開管の基本:λ = 2L = 1.0 m、f = 340/1.0 = 340 Hz
② 整数倍すべて:340 Hz、680 Hz、1.0×10³ Hz(1020 Hz)
③ 閉管の基本:λ = 4L = 2.0 m、f = 340/2.0 = 170 Hz
④ 奇数倍のみ:170 Hz、510 Hz、850 Hz
⑤ 開管は両端が腹で L = λ/2(基本)、閉管は「閉口 = 節、開口 = 腹」で L = λ/4(基本)— 同じ L でも基本の波長が 2L → 4L と 2 倍になるから、振動数は半分(1 オクターブ下がる)。
また、閉管で偶数倍(L が λ/2 の整数倍)を仮定すると両端が「節と節」か「腹と腹」になり、閉口 = 節・開口 = 腹を同時に満たせない。よって λ/4 の奇数倍だけが許され、偶数倍の固有振動は存在しない。

ポイント
• ②と④を並べると、共通するのは 1 つもない(340 の倍数 vs 170 の奇数倍)— 開管と閉管はまったく別のはしごを持つ。
• ⑤の論述は「端の条件 → 長さの条件 → 帰結」の3文構成が満点の型 — 式 (2n−1) を書くだけでは理由の説明にならない(B3-2)。

Q1:× — 音は媒質(空気など)の振動のリレー:運び手がいなければ伝わらない。宇宙空間で爆発音は聞こえない。

Q2:(a) — V = 331.5+0.6t:1 ℃ で 0.6 m/s ずつ速くなる(分子の熱運動が激しくなるため:第2章)。

Q3:(a) — うなりの回数 = 振動数の差 |403−400| = 3 回/秒。和(c)や平均(b)ではない — 「差」だけが強弱のリズムを決める。

Q4:○ — 動く音源は自分が出した波を追いかけるため、前方では波が詰まって波長が短くなる。これがドップラー効果の(音源側の)正体。

Q5:(c) — 観測者が動いても空間の波長は変わらない(波はもう空中にある)。変わるのは「1 秒間に横切る波の数」= 振動数。音源側は波長・観測者側は個数 — 2つのしくみの区別がこの章の急所。

解答
15 ℃:V = 331.5+0.6×15 = 340.5 ≒ 3.4×10² m/s
30 ℃:V = 331.5+0.6×30 = 349.5 ≒ 3.5×10² m/s

ポイント 「15 ℃ で約 340 m/s」が基準値 — 本書の V = 340 はこの値。夏はわずかに速い(気柱の音程が上がる:第5章 B6-1 の根拠)。

解答
距離 = Vt = 340×3.0 = 1020 ≒ 1.0×10³ m

ポイント 「光ってから音まで 3 秒で約 1 km」— 雷の距離の実用公式。光速(3.0×10⁸ m/s)は音速の約 100 万倍:光の伝わる時間は無視できる。

解答
音は崖まで往復する:2L = Vt
L = 340×2.0/2 = 3.4×10² m

ポイント こだま・魚群探知機・超音波診断はすべて「往復時間 ÷ 2」— 2 で割り忘れるのが定番ミス。反射で距離を測る技術の原型。

解答
① λ = V/f = 340/440 ≒ 0.77 m
② λ = 340/880 ≒ 0.39 m(半分)

ポイント 「1 オクターブ上 = 振動数 2 倍 = 波長半分」。音の高さを決めるのは振動数 — 波長は媒質しだいで変わる(A2-3)ので、高さの本体は f の側。

解答
高さ:振動数/大きさ:振幅/音色:波形(含まれる倍音の構成)

ポイント 音の3要素と波の3属性の対応表 — 第5章 B6-3(クラリネットとフルート)で見た「音色 = 倍音の配合」もこの表の1行。

解答
振動数は変わらない:f = 500 Hz
波長:λ = 1500/500 = 3.0 m(空気中の 0.68 m から伸びる)

ポイント 媒質が変わっても f は不変(振動のリズムは波源が決める:第4章 B4-3)— 変わるのは v と λ。この原則は第7章(光の屈折)でそのまま主役になる。

解答
うなりの回数 = |404−400| = 毎秒 4 回

ポイント うなり = 差の回数。4 Hz の差は音の高さとしては聞き分けられないが、「ワーンワーン」という強弱なら数えられる — 耳を精密測定器に変える現象。

解答
|f_X−440| = 3 より f_X = 437 Hz または 443 Hz

ポイント うなりは差の絶対値しか教えない — 高い方か低い方かは、この情報だけでは決められない(2 通り)。決着のつけ方が次問。

解答
X の振動数が下がって差が増えた(3 → 5)— X はもともと 440 Hz より低い側にあった。
f_X = 437 Hz

ポイント 「下げてみて差がどう動くか」で 2 択を判別 — 437 なら下げると 440 から遠ざかり(差 増)、443 なら近づく(差 減)。操作 → 変化の向きで未知を絞る、実験考察の典型手筋。

解答
図示:音源 → 観測者の向きを正。v_s = +40、v_o = 0。
f' = f×V/(V−v_s) = 600×340/(340−40) = 600×340/300 = 680 Hz

ポイント 分母が小さくなる(340 → 300)から f' は大きい — 「近づけば高い」○。式の後の検算の一言まで書いて完答。

解答
遠ざかる音源:v_s = −60(正の向きと逆)。
f' = 600×340/(340+60) = 600×340/400 = 510 Hz

ポイント 遠ざかりは分母が大きくなり f' < f(低い)○。符号を機械的に入れるか、「遠ざかり → +」と分母を書き換えるか — どちらでも、最後の大小検算は省かない。

解答
① 前方:λ' = (V−v_s)/f = 300/600 = 0.50 m
② 後方:λ' = (V+v_s)/f = 380/600 ≒ 0.63 m
(静止時の λ = 340/600 ≒ 0.57 m — 前で縮み、後ろで伸びる)

ポイント 動く音源の波は前方で詰まり後方で間のび — 波紋の中心がずれていく図を必ず一度描く。f' = V/λ' で A4-1 の 680 Hz(= 340/0.50)が再現できる:波長経由の別ルート検算。

解答
図示:音源 → 観測者の向きを正。観測者は音源へ向かう:v_o = −20。
f' = f×(V−v_o)/V = 680×(340+20)/340 = 680×360/340 = 720 Hz

ポイント 観測者が向かって進むと、1 秒間に横切る波の数が増える(波長は 0.50 m のまま)— 分子が (V+20) に増える理由を「数の増加」で言えること。

解答
遠ざかる観測者:v_o = +20。
f' = 680×(340−20)/340 = 680×320/340 = 640 Hz

ポイント 遠ざかると波を「待たせる」ぶん受け取りが減る — 分子が小さくなり f' < f ○。近づき(720)と遠ざかり(640)が 680 をはさんで対称に近い形。

解答
波長は音源が決める:λ = V/f = 340/680 = 0.50 m(変わらない)
理由:観測者が動くと、1 秒間に自分を通過する波の個数が変わるから(相対的な通過の速さ V+v が変わる)。

ポイント 概念チェック Q5 の計算版 — 「音源は波長を変え、観測者は個数を変える」。この一文がドップラーの物理の全要約。

解答
音源 → 観測者を正:v_s = +40、v_o = −35。
f' = 600×(340+35)/(340−40) = 600×375/300 = 750 Hz

ポイント 両方動くときも公式は 1 本 — 分子は観測者、分母は音源の担当。互いに近づけば「分子 増 × 分母 減」の二重奏で大きく高くなる。

解答
音源 → 観測者を正:v_s = +40、v_o = +10。
f' = 600×(340−10)/(340−40) = 600×330/300 = 660 Hz

ポイント 逃げていても、音源の方が速ければ間隔は縮んでいる(実質 30 m/s の接近)→ f' > f ○。符号を正の向きで機械的に処理すれば、追いかけっこでも迷わない。

解答
v_s = +30、v_o = +30:
f' = 600×(340−30)/(340−30) = 600 Hz(変わらない)

ポイント 相対的に近づきも遠ざかりもしなければ、ドップラー効果は起きない — 分子と分母が同じ形で約分される。並走する電車どうしの警笛は素の高さに聞こえる。

解答
壁を「静止した観測者」とみなす:
壁が受ける振動数:f₁ = 600×340/(340−40) = 680 Hz

ポイント 反射問題の第1段:板 = 観測者。壁は受けた振動数のまま、こんどは音源として送り返す(次問)。

解答
第2段:壁 = 静止した音源(680 Hz)、観測者が 20…ではなく 40 m/s で近づく。
反射音:f₂ = 680×(340+40)/340 = 680×380/340 = 760 Hz

ポイント 2 段階で2 回シフト(600 → 680 → 760)— 行き(音源が動く:分母)と帰り(観測者が動く:分子)で役割が入れ替わるのがこの問題の妙。

解答
① 板 = 動く観測者:f₁ = 680×(340+20)/340 = 720 Hz
② 板 = 動く音源(720 Hz):f₂ = 720×340/(340−20) = 720×340/320 = 765 Hz

ポイント 動く板は「受けるときは観測者、返すときは音源」の一人二役 — どちらの段でも板の速度が効くので、シフトは 2 回分。スピードガン(B4-3)の原理そのもの。

解答
① 通過前:720 = fV/(V−v)、通過後:640 = fV/(V+v)。
比をとると (V+v)/(V−v) = 720/640 = 9/8
これを解いて 17v = 340 → v = 20 m/s
② f = 720×(340−20)/340 = 720×320/340 ≒ 678 Hz(6.8×10² Hz)

ポイント 前後の比から f が消えて v が先に出る — 未知数 2 つを「比 → 差し戻し」で順に決める、ドップラー逆算の定跡(一般式は B2-3)。

解答
通過前(近づく):f' = 680×(340+20)/340 = 720 Hz
通過後(遠ざかる):f' = 680×(340−20)/340 = 640 Hz

ポイント A8-1 と数値がそろうのは偶然ではないが、式の形は別物(観測者型は V が分母に固定)— 「どちらが動いているか」で前後の振動数の平均が f になるか(観測者型:720 と 640 の平均 = 680 ○)ずれるか、という違いも生まれる。

解答
2 段階をまとめて:
f'' = f×(V+v)/(V−v) = 5.0×10⁴×360/320 = 5.6×10⁴ Hz

ポイント コウモリは自分の声と反射音の差(ここでは約 6×10³ Hz)から獲物との相対速度を読む — ドップラーは生物のソナーにも、気象レーダーにも、野球のスピードガンにも実装されている現役の物理。

解答
音は往復するので 2L = Vt → L = Vt/2
工夫の例:崖までの距離が大きい状況で測る(t を長くする)、または測定を何回も繰り返して平均する — ストップウォッチを押す反応の誤差(ほぼ一定)の影響が相対的に小さくなる。

ポイント 「誤差そのものは消せなくても、測る量を大きくして相対誤差を下げる」— 第5章 B5(差をとって系統誤差を消す)と並ぶ、実験設計の二大知恵。

解答
時間 t の間に、2つの音源が出す波の数はそれぞれ f₁t 個と f₂t 個 — 差は (f₁−f₂)t 個。
波が1個分ずれるごとに、山と山が重なる状態(強)から山と谷(弱)を経てまた強へ戻る — うなり1回。
よって毎秒のうなりの回数は f₁−f₂ ∎

ポイント うなりの正体は「波の数のずれの積み立て」— 1個ずれるたびに強弱が1周する。差が小さいほどゆっくり数えられる、耳の精密測定の理屈。

解答
候補:f+n と f−n の2通り。
判別:おもりで未知おんさの振動数をわずかに下げてみる。
うなりが増えた → 差が開いた → 未知はもともと低い側(f−n)
うなりが減った → 差が縮んだ → 未知は高い側(f+n)

ポイント A3-3 の一般化。「操作の向き × 変化の向き」の掛け算で 2 択を割る — うなりだけでは絶対値しか分からない、という欠点を実験操作で補う型。

解答
音源が 1 秒間に出す f 個の波を考える。1 秒後、最初の波面は V だけ進み、音源は v_s だけ追いかけている — f 個の波は長さ V−v_s の区間に詰め込まれる。
よって前方の波長は λ' = (V−v_s)/f ∎

ポイント 「1 秒間のスナップ写真」を描くのが導出のすべて — f 個の波と (V−v_s) の区間、この絵が公式の記憶そのものになる。

解答
音の速さは V のまま(媒質が決める)なので
f' = V/λ' = fV/(V−v_s)
後方では f 個の波が V+v_s の区間に広がる:
λ' = (V+v_s)/f、f' = fV/(V+v_s)

ポイント 「波長は音源が変え、速さは媒質が守る」— f' が変わるのは λ' が変わった結果。V が不変であることが、この導出の隠れた主役。

解答
通過前:f₁ = fV/(V−v)、通過後:f₂ = fV/(V+v)。
比をとって f₁/f₂ = (V+v)/(V−v) → f₁(V−v) = f₂(V+v)
v = V(f₁−f₂)/(f₁+f₂)

ポイント 比をとると f が消える — サイレン本来の高さを知らなくても速度が測れる(A8-1 の一般式)。「差 ÷ 和」というきれいな形は検算にも使いやすい(f₁ = f₂ で v = 0 ○)。

解答
空間の波長は λ = V/f のまま。観測者が波に向かって v_o で進むと、波が観測者を通過する相対的な速さは V+v_o。
1 秒間に受け取る波の数:
f' = (V+v_o)/λ = f(V+v_o)/V ∎

ポイント 「波の柵を横切る本数」の勘定 — 波長(柵の間隔)は不変で、こちらの足の速さだけが本数を変える。音源型(波長が変わる)との対比を常に意識。

解答
遠ざかる観測者に対する相対の速さは V−v_o:
f' = f(V−v_o)/V

ポイント v_o = V なら f' = 0 — 音と同じ速さで逃げれば波に追いつかれない(音が「止まって聞こえない」極限)。極端検算が式の意味を照らす。

解答
動く音源が作った波長 λ' = (V−v_s)/f(B2-1)を、動く観測者が相対の速さ V−v_o で受け取る(音源 → 観測者を正として):
f' = (V−v_o)/λ' = f(V−v_o)/(V−v_s) ∎
符号の約束:音源から観測者へ向かう向きを正とし、v_s・v_o に符号をつけて代入。
検算:近づく状況なら f' > f、遠ざかるなら f' < f を最後に照合する。

ポイント 一般式は「音源の物語(分母)× 観測者の物語(分子)」の合成 — 2 つの導出を貼り合わせただけで、新しい原理は増えていない。

解答
① 板 = 近づく観測者:f₁ = f(V+v)/V
② 板 = 近づく音源(振動数 f₁):
反射音:f₂ = f₁×V/(V−v) = f(V+v)/(V−v)

ポイント 分子と分母に v が1 回ずつ — 「受けるとき+返すとき」の 2 段シフト。中間の f₁ を経由する丁寧な 2 段書きが、符号事故を防ぐ最強の様式。

解答
行き:壁(静止)が受ける:f₁ = fV/(V−v)
帰り:壁 = 静止音源、観測者(音源上)が v で近づく:
反射音:f₂ = f₁×(V+v)/V = f(V+v)/(V−v) — B4-1 ②と同じ形 ○

ポイント 「板が近づく」も「自分が近づく」も、相対的に近づく速さ v が同じなら結果は同じ — 反射ドップラーは相対運動だけで決まる、という美しい対称性。

解答
うなり(振動数の差):
f₂−f = f{(V+v)−(V−v)}/(V−v) = 2fv/(V−v)
v ≪ V のとき ≒ 2fv/V
スピードガンは、電波を球や車に当てて反射波との振動数差 Δf を測り、v = VΔf/(2f) で速度を割り出す — この式の実用そのもの。

ポイント 差が 2fv/V(v に比例) になるのが測定器として優秀な理由 — 差を読めば速度が一次式で出る。野球・気象レーダー・スピード違反取締り、すべてこの1行。

解答
真横を通過する瞬間、音源の速度は視線(音源 → 観測者の向き)と垂直 — 近づきも遠ざかりもしていない。
よって f' = f(変化しない)。

ポイント ドップラー効果を起こすのは視線方向の速度成分だけ — 横切る動きは音の高さに寄与しない。力の分解(第1巻・第3章)と同じ「成分で考える」目。

解答
視線方向の成分は vcosθ(近づく向き)。これを音源の速さとして
f' = fV/(V−vcosθ)

ポイント θ = 0 で最大 fV/(V−v)、θ = 90° で f(B5-1)○ — cosθ 1 つで「正面」から「真横」まで連続的につながる。

解答
遠方から接近(θ ≒ 0):f' ≒ fV/(V−v)(高く、ほぼ一定)
近づくにつれ cosθ が減り、f' は連続的に下がる
真横:f' = f
遠ざかって(θ → 180°):f' → fV/(V+v)(低く、ほぼ一定)
— 「高い音が滑らかに下がって低い音へ」という、救急車のサイレンの"ミョーン"の形。

ポイント 実際の通過音は A8-1 のような階段(720 → 640)ではなく滑らかな坂 — 距離が有限で角度が連続的に変わるから。理想化(直線上)と現実(横を通る)の橋渡し。

解答
音は媒質(空気)に対して速さ V — 空気ごと w で流されるので、地面から見た音速は V+w になる。
公式の V を V+w に置き換えて
f' = f(V+w−v_o)/(V+w−v_s)

ポイント 風の扱いは「音速の置き換え」一手のみ — 音源・観測者の速度(地面基準)はそのまま。向かい風なら V−w。

解答
静止どうし(v_s = v_o = 0):f' = f(V+w)/(V+w) = f(変わらない)
説明:追い風で波長は λ' = (V+w)/f に伸びるが、波が届く速さも V+w に増える — f' = (V+w)/λ' = f と、2 つの変化がちょうど打ち消し合う。

ポイント 「風の日でも音の高さは変わらない」という日常の事実の証明 — 風が変えるのは届くまでの時間と大きさであって、高さではない。

解答
式:f' = f(V+w)/(V+w−v_s)
無風の f(V)/(V−v_s) と比べると、シフトの割合は v_s/(V+w) と v_s/V — 分母が大きい追い風の方が割合が小さく、
f' は無風のときより小さい(ただし f よりは大きい)。

ポイント 追い風は音を「速く運ぶ」ぶん、音源の追いつき効果(波の詰まり)を薄める — 直感(追い風なら高くなりそう)を式が訂正する好例。極端検算:w → ∞ で f' → f ○。

解答
① 音源が動くと前方で波長が詰まり、後方で伸びる — 届く波長の変化が原因:(b)(ア = (b))
② 比をとる:(V+v)/(V−v) = 720/640 = 9/8
8(340+v) = 9(340−v) → 17v = 340 → v = 20 m/s(イウ = 20)
③ f = f₁(V−v)/V = 720×320/340 ≒ 678 Hz(エオカ = 678)
④ λ = V/f₁ = 340/720 ≒ 0.47 m(キク = 47)
(検算:λ = (V−v)/f = 320/678 ≒ 0.47 ○)
⑤ 運転手は音源と一緒に動く(相対速度 0)— ドップラー効果なし:(b)(ケ = (b))

ポイント
• ④は「観測者が聞く振動数で V を割る」— 観測者が静止なら、届いた波長 × 720 Hz = 340 m/s がそのまま成立(2 ルートの一致が検算)。
• ⑤は A6-3(並走)の応用 — サイレンの中の人には常に"本来の音"が聞こえている。

解答
① 1 秒間に、最初の波面は V 進み、音源は v_s 追いかける — f 個の波が長さ V−v_s に詰まる:
λ' = (V−v_s)/f
② 音速は V のまま:f₁ = V/λ' = fV/(V−v_s)
③ 波長 λ = V/f は不変。観測者に対する波の相対の速さは V+v_o なので、1 秒間に受け取る波の数は
f₂ = (V+v_o)/λ = f(V+v_o)/V
④ 音源が作る波長 λ' = (V−v_s)/f を、観測者が相対の速さ V+v_o で受け取る:
f' = (V+v_o)/λ' = f(V+v_o)/(V−v_s)
⑤ f' = 600×(340+35)/(340−40) = 600×375/300 = 750 Hz

ポイント
• ④の 1 行が一般式の設計図 — 「分母は音源(波長担当)、分子は観測者(個数担当)」という役割分担が導出の中に見えている。
• ⑤の検算:互いに近づく → f' > f(750 > 600)○。数値の最後に必ず向きの照合を。

解答
① 板 = 近づく観測者:
板が受ける振動数:f₁ = f(V+v)/V = 680×360/340 = 720 Hz
② 板 = 近づく音源(720 Hz):
反射音:f₂ = f₁×V/(V−v) = 720×340/320 = 765 Hz
③ 2 段をまとめて f₂ = f×(V+v)/V×V/(V−v) = f(V+v)/(V−v)
数値:680×360/320 = 765 Hz — ②と一致 ○
④ うなり = f₂−f = f{(V+v)−(V−v)}/(V−v) = 2fv/(V−v)
⑤ 2×680×v/(340−v) = 8.0
1360v = 8.0(340−v) → 1368v = 2720 → v ≒ 2.0 m/s

ポイント
• ⑤の答え(秒速 2 m = 歩く速さ)でうなり毎秒 8 回 — うなりは微小な速度の高感度センサー。2fv/V ≒ 8 の見積もり(v ≒ 8×340/1360 = 2.0)でも同じ値:v ≪ V の近似が実用域で有効なことの確認。
• ①②の中間値 f₁ を書き残す様式は、符号ミスの自己検出装置 — 720 が 680 と 765 の間にあること自体が整合のサイン。

Q1:○ — 光は媒質を必要としない(電磁波)。太陽の光が真空の宇宙を越えて届く — 音(第6章 Q1)との最大の違い。

Q2:(b) — 法線から測るのが万国共通の約束。「面から 30°」を入射角 30° と読み違えるのが最初の事故(正しくは 60°)。

Q3:○ — 振動のリズム(f)は波源が決め、境界で波はつながっている(第6章 A2-3)— 変わるのは運ばれ方(v と λ)だけ。v = fλ の f を固定して v と λ が連動して縮む。

Q4:(a) — 疎(小)へ出るとき屈折角 > 入射角なので、屈折角が先に 90° に達し得る。密 → 疎、限定 — ダイヤ(n 大)がよく光る理由。

Q5:(b) — 焦点の内側では光線が広がったまま — 実際には交わらず、延長線が交わる正立虚像(拡大鏡・ルーペの原理)。

解答
v = c/n = 3.0×10⁸/1.5 = 2.0×10⁸ m/s

ポイント 屈折率 = 「真空に比べて何倍遅いか」(n = c/v)。ガラスの中では光も 3 分の 2 のスピードに落ちる — 屈折はこの"減速"が生む現象。

解答
v = c/n = 3.0×10⁸×(3/4) = 2.25×10⁸ ≒ 2.3×10⁸ m/s

ポイント 水の n = 4/3、ガラスの n ≒ 1.5 は頻出の定数 — 分数(4/3)のまま計算すると割り切れて速い。

解答
n = c/v = 3.0×10⁸/(1.5×10⁸) = 2.0

ポイント 屈折率の逆算(速さの測定 → 材質の推定)。n = 2.0 は高屈折率ガラス級 — ちなみにダイヤモンドは n ≒ 2.4(全反射しやすさの源:A4)。

解答
① 反射の法則より 30°
② 30°+30° = 60°

ポイント 反射角 = 入射角(どちらも法線から)。「入射光と反射光のなす角 = 2×入射角」もよく問われる派生量。

解答
鏡が 10° 回ると法線も 10° 回り、入射角が 10° 変わる。反射光は入射角の変化の 2 倍動く:
20° 変わる

ポイント 「鏡を θ 回すと反射光は 2θ 回る」— 法線と反射角の両方が動くため。光てこ(微小回転の拡大測定)の原理。

解答
① 像は鏡の後方 0.50 m(鏡について対称な位置の虚像)。物体と像の距離は 1.0 m
② 80 cm(身長の半分)

ポイント ②は「頭からの光も足からの光も、鏡上の中点で反射して目に届く」ため — 鏡までの距離によらず半分で足りる、直感に反する名結論(作図で一度確かめる価値あり)。

解答
n = sin45°/sin30° = (√2/2)/(1/2) = √2 ≒ 1.4

ポイント 屈折率の測定式 n = sinθ₁/sinθ₂(空気 → 媒質)。角度 2 つを測るだけで材質の指紋(n)が分かる。

解答
屈折の法則:1.5×sin30° = 1×sinθ
sinθ = 0.75(θ ≒ 49°:入射角より大きく折れ曲がる)

ポイント 密 → 疎では法線から遠ざかる(屈折角 > 入射角)。sinθ が 1 に近づいている — 入射角をもう少し増やすと sinθ > 1 となり解がなくなる:全反射(A4)の予感。

解答
波長:λ = λ₀/n = 6.0×10⁻⁷/1.5 = 4.0×10⁻⁷ m
振動数:f = c/λ₀ = 3.0×10⁸/(6.0×10⁻⁷) = 5.0×10¹⁴ Hz(不変)

ポイント 「色(振動数)は変わらず、波長が縮む」— 水中でも赤は赤。v = fλ の帳尻(2.0×10⁸ = 5.0×10¹⁴×4.0×10⁻⁷ ○)まで確認して完答。

解答
屈折角が 90° になるとき:(4/3)sinθc = 1×sin90° = 1
sinθc = 3/4 = 0.75(θc ≒ 49°)

ポイント 臨界角の定義は「屈折角がちょうど 90°」— 屈折の法則に sin90° = 1 を入れるだけ。これより深い角(入射角大)では屈折光が消え、全反射。

解答
sinθc = 1/√2 → θc = 45°

ポイント n = √2 ⇔ 臨界角 45° — きれいに解ける代表値として頻出。45° の直角プリズム(双眼鏡の中身)が鏡の代わりに使える理由。

解答
sinθc = 1/1.5 ≒ 0.67(θc ≒ 42°)
理由:芯(屈折率大)と外側(小)の境界で、臨界角を超える浅い角の光が全反射を繰り返すため — 反射のたびの損失がほぼない。

ポイント 全反射は「100 % 反射する完璧な鏡」— 金属鏡の吸収損失がない。海底ケーブル・内視鏡・ダイヤの輝き、すべて sinθc = 1/n の応用。

解答
図示:3本の光線の作図 — a > f なので、光はレンズ後方で実際に交わる。
写像公式:1/30+1/b = 1/10 → 1/b = 1/10−1/30 = 1/15
b = 15 cm(レンズ後方)。倒立の実像、倍率 m = 15/30 = 0.50(縮小)

ポイント レンズの第一手は3本の光線の作図(平行 → 焦点/中心 → 直進/焦点 → 平行)— 式より先に絵で「実像・倒立・縮小」を確定し、計算(b > 0)と照合する。

解答
1/b = 1/10−1/15 = 1/30 → b = 30 cm(後方)
倒立の実像、m = 30/15 = 2.0(拡大)

ポイント A5-1 と a・b が入れ替わっただけ(30 ⇄ 15)— 写像公式の a と b の対称性(光路の逆進性:B1-3)。f と 2f の間に置くと「拡大された実像」:プロジェクターの配置。

解答
1/b = 1/10−1/20 = 1/20 → b = 20 cm
m = 20/20 = 1.0(物体と同じ大きさの倒立実像)

ポイント a = 2f のとき b = 2f・等倍 — 実像の"折り返し点"となる特別な配置。a > 2f なら縮小(カメラ)、f < a < 2f なら拡大(プロジェクター)、と 2f を境に世界が分かれる。

解答
図示:a < f — 通過後の光線は広がったまま。延長線が手前で交わる。
1/b = 1/10−1/5.0 = −1/10 → b = −10 cm(レンズの前方 10 cm)
正立の虚像、m = 10/5.0 = 2.0(拡大)

ポイント b < 0 は「前方の虚像」の符号 — 式は作図(正立・拡大・同じ側)をそのまま数値で語る。これがルーペで見る像:目はこの虚像を「そこにある」と感じている。

解答
1/b = 1/12−1/8.0 = −1/24 → b = −24 cm(前方)
正立虚像、m = 24/8.0 = 3.0

ポイント 焦点に近づける(a → f)ほど虚像は遠く・大きくなる — 拡大鏡は「焦点の内側ぎりぎり」で使うと倍率が上がる、という使い方の物理。

解答
1/b = 1/10−1/10 = 0 → b は定まらない(像はできない)
物体の各点から出た光は、レンズ通過後平行光線になる。

ポイント a = f は実像(a > f)と虚像(a < f)の境界 — 平行光は「無限遠の像」とも読める。灯台・サーチライトが焦点に光源を置く理由でもある。

解答
1/b = 1/(−10)−1/10 = −1/5.0 → b = −5.0 cm(前方)
正立の虚像、m = 5.0/10 = 0.50(縮小)

ポイント 凹レンズは f を負で代入するだけで同じ写像公式が使える — 符号の約束が「発散レンズ」の性質(光を広げる)を自動で表現してくれる。

解答
1/b = −1/12−1/24 = −1/8.0 → b = −8.0 cm(前方)
正立虚像、m = 8.0/24 ≒ 0.33

ポイント どこに置いても b < 0・|b| < a — 像はつねに手前側の近くに小さく。近視用めがね(凹レンズ)で見る世界が少し小さく見える理由。

解答
1/b = −1/15−1/30 = −1/10 → b = −10 cm、m = 10/30 ≒ 0.33
凹レンズの像は、物体の位置によらずつねに正立・縮小の虚像。

ポイント 「凹はいつでも正立縮小虚像」— 3 例(A7-1〜3)がすべて同じ結論を指す。一般証明は B6-1(b = −af₀/(a+f₀) がつねに負で |b| < a)。

解答
a → ∞ で 1/a → 0:1/b = 1/f → b = f = 50 mm

ポイント 「遠くの物体の像は焦点面にできる」— 焦点距離の名の由来。カメラの「50 mm レンズ」とは、無限遠のピント位置がレンズ後方 50 mm という意味。

解答
1/b = 1/0.050−1/2.0 = 20−0.50 = 19.5 → b = 0.0513 m ≒ 51 mm

ポイント 近くを写すときはフィルムをわずかに遠ざける(50 → 51 mm)— これが「ピント合わせ(レンズの繰り出し)」の正体。1 mm の移動で 2 m 先に合う、写像公式の実務。

解答
実像で 5.0 倍:b = 5.0a。写像公式へ:
1/a+1/(5.0a) = 1/10 → (6/5)/a = 1/10
a = 12 cm、b = 60 cm

ポイント 「倍率の条件 b = ma を先に写像公式へ代入」がプロジェクター型の定跡 — 未知数 2 つ(a、b)を条件 2 本(倍率・公式)で解く連立の型。

解答
境界では波面がつながったまま進むので、同じ時間に媒質1側は v₁ に比例した距離、媒質2側は v₂ に比例した距離を進む — 幾何より sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂。
関係式 n = c/v より v₁ = c/n₁、v₂ = c/n₂ を代入:
sinθ₁/sinθ₂ = (c/n₁)/(c/n₂) = n₂/n₁ → n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂ ∎
また f 不変(B1-2)より λ = v/f は v に比例するので sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂ = λ₁/λ₂ = n₂/n₁(4点セット)。

ポイント 屈折の原因は「媒質による速さの違い」— 砂浜へ斜めに乗り上げる車列が向きを変えるイメージ。4 つの比がすべて等しい"翻訳表"を1枚にしておく。

解答
振動数は不変(理由:境界の1点では、両側の媒質が同じ振動を共有してつながっている — 1 秒に届く波の数と送り出す数は等しい)。
よって λ = v/f = (c/n)/f = (c/f)/n = λ₀/n ∎

ポイント 「f は波源と境界の連続性が守る、v と λ は媒質が変える」— 第4章 B4-3・第6章 A2-3 から続く原則の光版。色(f)が水中でも変わらない理由。

解答
屈折の法則 n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂ は、添字 1 と 2 を入れ替えても同じ式になる(左右対称)。
つまり「媒質1から θ₁ で入射して θ₂ へ屈折する」なら、「媒質2から θ₂ で入射すれば θ₁ へ屈折する」— 光は来た道をそのまま引き返せる ∎

ポイント 逆進性は A5-2(a と b の入れ替え)や B5-2(2位置問題)のレンズ対称性の源 — 1本の式の対称性が、章の後半の現象まで支配している。

解答
臨界角は屈折角がちょうど 90° になる入射角:
n₁sinθc = n₂sin90° = n₂
sinθc = n₂/n₁ ∎(n₁ > n₂ のときだけ sinθc < 1 となり存在する)

ポイント 「θc の定義 = 屈折角 90°」を式に翻訳するだけ — n₁ < n₂ だと sinθc > 1 で解なし:全反射が密 → 疎限定である理由が式の存在条件として現れる。

解答
光源から水面へ、入射角 θc 以内で届いた光だけが空気へ出られる。
出られる範囲の縁は入射角 θc の光が水面に達する点 — 真上を中心とする半径 r = d tanθc の円。
sinθc = 1/n より tanθc = 1/√(n²−1):
r = d/√(n²−1)

ポイント 水中から見上げる空は円形の窓(スネルの窓)— 窓の外側は全反射で水底が鏡のように映る。n = 4/3 なら r ≒ 1.1d:深さと同程度の半径。

解答
条件:光が芯とクラッドの境界に、臨界角 θc(sinθc = n₂/n₁)より大きい入射角で当たり続けること — 全反射を繰り返して光は芯の中に閉じ込められる。
包む理由の例:芯がむき出しだと、表面の傷・汚れ・接触で全反射の条件が乱れて光が漏れるため(境界の屈折率差を清浄なクラッドで一定に保つ)。

ポイント 「全反射は境界の条件がすべて」— クラッドは"境界の品質保証"。曲げても浅い角で当たり続ける限り漏れない、が光ファイバーの設計思想。

解答
物体から出て水面で屈折し目に届く光を考える。水中の角 θ₂、空気中の角 θ₁ とすると、屈折の法則(水 → 空気):n sinθ₂ = sinθ₁。
真上近くから見るので角は小さく、tanθ ≒ sinθ。
水面上の同じ点を通ることから、実際の深さ d と見かけの深さ d' は
d tanθ₂ = d' tanθ₁ ≒ の関係で d sinθ₂ = d' sinθ₁
よって d' = d×(sinθ₂/sinθ₁) = d/n ∎

ポイント 「同じ水面の点・同じ横ずれ」を d tanθ で2通りに書く — 近似 tanθ ≒ sinθ が屈折の法則との橋になる。プールの底が浅く見える(n = 4/3 で 3/4 の深さ)日常の定量化。

解答
見かけの深さ d' = d/n = 80×(3/4) = 60 cm

ポイント 4分の1だけ浮き上がる — 「水深は見た目より深い」ことの数値。川や プールの事故防止の物理でもある。

解答
板の下面(物体側)から見た厚さ t が、見かけ上 t/n に縮む(B3-1)。
浮き上がり = t−t/n = t(1−1/n)

ポイント ガラス越しの世界はわずかに「持ち上がって」見える — n = 1.5 なら厚さの 1/3。顕微鏡でカバーガラスの補正が要る理由につながる、見かけの深さの応用形。

解答
図示:高さ h の物体(距離 a)、高さ h' の倒立実像(距離 b)。
①中心を通る光線:物体の頭・レンズ中心・像の頭が一直線 — 相似より
h'/h = b/a …(1)
②光軸に平行に入り、後方の焦点 F を通る光線:レンズ面と光軸の交点まわりの相似(焦点から像まで b−f)より
h'/h = (b−f)/f …(2)
(1) = (2):b/a = (b−f)/f → bf = ab−af
両辺を abf で割って 1/a+1/b = 1/f ∎

ポイント 材料は相似2組だけ — 3本の光線のうち2本が、そのまま証明の補助線になる。導出を一度手で通せば、公式の符号や形を忘れても再建できる。

解答
(1) より倍率は
m = h'/h = b/a ∎

ポイント 倍率の正体は「中心光線の相似比」— だから実像でも虚像でも m = |b|/a(距離の比)が通用する。

解答
a < f では 1/f−1/a < 0、すなわち 1/b < 0 → b < 0。
b は「レンズ後方を正」と約束した距離なので、負の b はレンズ前方を指す — 光線は実際には交わらず、前方で延長線が交わる虚像(作図の結果)と一致する ∎

ポイント 符号は方角の記号 — 「式が作図を知っている」ことの確認。b < 0 を見たら機械的に「前方・正立・虚像」へ翻訳(凸の拡大鏡も凹レンズもこの一つの規則で読める)。

解答
関係:a+b = L と 1/a+1/b = 1/f。
第2式より (a+b)/(ab) = 1/f → ab = fL。
b = L−a を代入して a(L−a) = fL:
条件式:a²−La+fL = 0
実数解(実像の位置)が存在する条件は判別式 ≧ 0:
L²−4fL ≧ 0 → L ≧ 4f ∎

ポイント 「物体とスクリーンは、少なくとも 4f 離れていないと実像は結べない」— 実験室でスクリーンに像が出ないときの最初のチェック項目。等号は B5-3 の等倍配置。

解答
2次方程式の解 a₁、a₂ について、解と係数の関係より a₁+a₂ = L — よって a₂ = L−a₁ = b₁:
一方の位置の a と b を入れ替えたものが、もう一方の位置(光路の逆進性:B1-3)。
倍率:m₁ = b₁/a₁、m₂ = b₂/a₂ = a₁/b₁
積 m₁m₂ = 1 ∎

ポイント 2つの像は「拡大」と「縮小」のペアで、倍率は互いに逆数 — 一方で 2 倍なら他方は 1/2 倍。測って掛ければ 1 になる、実験の検算式としても優秀。

解答
2解が一致するのは判別式 = 0、すなわち L = 4f のとき。
このとき a = L/2 = 2f、b = 2f — 物体もスクリーンも焦点距離の2倍の位置、倍率 1(等倍)(A5-3 の配置)。

ポイント 「最短のスクリーン距離 4f で等倍」— 2位置問題の縮退点。a = b = 2f はレンズの世界の"対称の中心"として何度も現れる。

解答
写像公式(f = −f₀):1/b = −1/f₀−1/a = −(a+f₀)/(af₀)
b = −af₀/(a+f₀)
a > 0、f₀ > 0 よりつねに b < 0 — 前方の虚像(正立)。
大きさ:|b| = af₀/(a+f₀) は a より小さく(分母 > f₀)、m = |b|/a = f₀/(a+f₀) < 1 — つねに縮小 ∎

ポイント A7 の3例の一般証明 — 分数の形 af₀/(a+f₀)(第3章の m₁m₂/(m₁+m₂) と同じ"並列の顔")が、a によらず |b| < a、|b| < f₀ を保証する。

解答
平面鏡の像の位置から光が出ているように見えるだけで、実際にその位置に光は集まっていない(鏡の後ろに光は無い)。
スクリーンをその位置に置いても何も映らない — これが虚像。
凸レンズの実像は光が実際に集まる点なので、スクリーンに映せる(カメラ・プロジェクター)。

ポイント 実像と虚像の判定基準は「スクリーンに映るか」ただ1つ — 「見える/見えない」ではない(虚像も目にはちゃんと見える)。

解答
第1段(L1):1/b₁ = 1/10−1/15 = 1/30 → b₁ = 30 cm(後方、倒立実像、m₁ = 30/15 = 2.0)
第2段(L2):L1 の像は L2 の前方 50−30 = 20 cm — これを物体として
1/b₂ = 1/10−1/20 = 1/20 → b₂ = 20 cm(L2 の後方、再び倒立、m₂ = 20/20 = 1.0)
最終像:L2 の後方 20 cm、正立(倒立の倒立)の実像、全体の倍率 m = m₁m₂ = 2.0

ポイント 組み合わせは「前段の像 = 後段の物体」のバケツリレー — 倍率は積、倒立は回数の偶奇で決まる(2回で正立)。望遠鏡・顕微鏡の設計は、この手順の反復にすぎない。

解答
① sin45° = 1.4×sinθ → sinθ = 0.71/1.4 = 0.50 → θ = 30°(アイ = 30)
② v = c/n = 3.0×10⁸/1.4 ≒ 2.1×10⁸ m/s(ウ = 2、エ = 1)
③ λ = λ₀/n = 5.6×10⁻⁷/1.4 = 4.0×10⁻⁷ m(オ = 4、カ = 0)
④ sinθc = 1/1.4 ≒ 0.71 = sin45° → θc = 45°(キク = 45)
⑤ 入射角 50° > 臨界角 45° → 全反射:(b)(ケ = (b))

ポイント
• ①④が同じ「0.71(= 1/√2)」を軸に対になっている — 45° で入れると 30° に折れ、45° を超えて出ようとすると閉じ込められる:1つの n が両方を決める。
• ③のあと f = c/λ₀ が液体中でも不変であること(v = fλ の帳尻:2.1×10⁸ ≒ 5.4×10¹⁴×4.0×10⁻⁷)まで見れば、屈折の3点セット(v・λ・f)が完成する。

解答
① 1/b = 1/12−1/36 = 1/18 → b = 18 cm(後方)、倒立実像、m = 18/36 = 0.50
② 1/b = 1/12−1/18 = 1/36 → b = 36 cm(後方)、倒立実像、m = 36/18 = 2.0
③ a と b がちょうど入れ替わっている(36、18)⇄(18、36)。
理由:光路の逆進性 — 光は同じ道を逆向きにもたどれるため、物体と像の位置は交換できる。
④ 1/b = 1/12−1/8.0 = −1/24 → b = −24 cm(前方)、正立虚像、m = 24/8.0 = 3.0
⑤ 境目は a = f = 12 cm。このとき物体の各点から出た光はレンズ通過後平行光線となり、像はできない(実像と虚像の分水嶺)。

ポイント
• ①→②→④で倍率 0.50 → 2.0 → 3.0:物体をレンズへ近づけるほど像は大きくなる — ただし f を切った瞬間、像は後方の実像から前方の虚像へ姿を変える(⑤がその境界)。
• ④の答案では「b < 0 = レンズ前方・正立・虚像」の翻訳の一文を必ず添える — 数値と像の言葉の対応が採点の核心。

解答
① a+b = 90 と 1/a+1/b = 1/20 から ab = 20×90 = 1800。
b = 90−a を代入して:
a²−90a+1800 = 0
② 解の公式:a = {90±√(8100−7200)}/2 = (90±30)/2
a = 30 cm と 60 cm
③ a = 30 のとき b = 60:m = 60/30 = 2.0
a = 60 のとき b = 30:m = 30/60 = 0.50
④ 積:2.0×0.50 = 1.0
理由:2つの位置は a と b を入れ替えた配置(光路の逆進性)なので、倍率 b/a と a/b は互いに逆数になるから。
⑤ 実像ができる一般条件は判別式 ≧ 0 より L ≧ 4f。
本問では 4f = 80 cm ≦ 90 cm — 条件を満たすので実像が作れる ○

ポイント
• ②の検算:1/30+1/60 = 1/20 ○(両方の解を公式に戻す 10 秒の習慣)。2 解の和 90 = L、積 1800 = fL — 解と係数の関係(数学第1巻)がそのまま光学の検算装置になる。
• L = 80 cm ちょうどなら a = b = 40 cm(= 2f)の1点だけで等倍(B5-3)— ⑤の等号の意味まで言えれば完答を超える。