Q1:× — 速度は「大きさ(速さ)+向き」をもつ量。直線運動では向きを符号で背負わせる。この区別が本章のスタートライン。

Q2:(b) — 傾き = Δx/Δt = 速度。加速度が読めるのは v-t グラフの傾き。「どのグラフの傾き・面積か」を常にセットで言う。

Q3:× — 反例:投げ上げた球の最高点(速度 0 だが重力による加速度は下向きに 9.8 m/s² のまま)。「速度」と「速度の変化率」は別の量。

Q4:(a) — 面積 = 変位(t 軸より下は負として引く)。符号を無視して全部足すと「道のり」になる — 使い分けは A8-3 で。

Q5:○ — Δv = aΔt(a が一定だから)。「単位時間あたり同じだけ速度が変わる」が等加速度の定義そのもの。

解答
平均の速さ = 100/20 = 5.0 m/s

ポイント 「距離 ÷ 時間」— まずは単位付きで答える練習。5.0 m/s ≒ 18 km/h(短距離走の速さ)という量感も持つ。

解答
図示:東を正の向きにとる。
道のり = 60+20 = 80 m → 平均の速さ = 80/20 = 4.0 m/s
変位 = +60−20 = +40 m → 平均の速度 = 40/20 = +2.0 m/s、すなわち東向きに 2.0 m/s

ポイント 速さは道のり、速度は変位から作る — 戻った分は速さでは足し、速度では引く。答えの「東向きに」の一言(符号の翻訳)まで書いて完答。

解答
全道のり = 120 km、全時間 = 2.5 h
平均の速さ = 120/2.5 = 48 km/h

ポイント 「行き 40 km/h と帰り 60 km/h の平均だから 50 km/h」は誤り — 平均の速さは必ず「全道のり ÷ 全時間」。遅い区間に長く時間を使うぶん、平均は 50 より遅い側にずれる。

解答
72 km/h = 72×1000 m ÷ 3600 s = 20 m/s

ポイント km/h → m/s は ÷3.6(m/s → km/h は ×3.6)。「高速道路の 100 km/h ≒ 28 m/s」など、両方の単位の量感をもつと検算が速い。

解答
15×3.6 = 54 km/h

ポイント 1 s に 15 m → 3600 s(1時間)に 54000 m、と定義に戻れば係数 3.6 は自作できる — 換算係数は暗記でなく再現できる状態に。

解答
瞬間の速度 = 接線の傾き = (5.0−1.0)/(3.0−1.0) = 2.0 m/s

ポイント 瞬間の速度 = x-t グラフの接線の傾き(平均の速度の「区間を限りなく短くした極限」)。接線上の読み取りやすい2点で傾きを計算するのはグラフ問題の常套手段。

解答
図示:下流の向きを正にとる。
① v = 4.0+1.0 = 5.0 m/s
② v = 4.0−1.0 = 3.0 m/s

ポイント 動く水の上の運動は「静水での速度+流速」の符号つき足し算(合成速度)。船・動く歩道・エスカレーター、すべて同じ1本の式。

解答
① 1.5+1.2 = 2.7 m/s
② 人の歩く向きを正として 1.5−1.2 = +0.30 m/s → 人の歩く向きに 0.30 m/s

ポイント ②は「歩いているのにほとんど進まない」— 合成速度は打ち消し合うこともある。0.3 でなく 0.30 m/s と書く(有効数字2桁)のも物理の作法。

解答
上流の向きを正とすると 2.0 = v−1.5
よって v = 3.5 m/s

ポイント 合成速度の式を「逆算」に使う場面替え — 式は同じでも、未知数がどれかで問題の顔が変わる。1本の式を双方向に使えるかの確認。

解答
図示:東を正にとる。
相対速度 = v_B−v_A = 15−20 = −5.0 m/s → 西向きに 5.0 m/s

ポイント 相対速度は「相手 − 自分」— 速い A から見ると、前の B は「後ろへ下がってくる」ように見える。日常の実感と符号が一致することを確認。

解答
東を正として v_B = −15 m/s、v_A = +10 m/s
相対速度 = −15−10 = −25 m/s → 西向きに 25 m/s

ポイント 逆向きどうしは相対の速さが足し算で効く(すれ違いが速く見える理由)。符号つきで「相手 − 自分」を機械的に計算すれば、足すか引くかで迷わない。

解答
東を正として v_B−25 = +5.0
よって v_B = +30 m/s → 東向きに 30 m/s

ポイント 相対速度の式の逆算(A3-3 と同じ発想)。「見かけの速度」から「本当の速度」を復元する — 相対速度は情報の変換式でもある。

解答
a = Δv/Δt = (12−0)/4.0 = 3.0 m/s²

ポイント 加速度 =「1 s あたり何 m/s 速くなるか」— 3.0 m/s² は「毎秒 3.0 m/s ずつ増える」と読む。単位 m/s² の意味(m/s を s で割る)まで言えるように。

解答
進行方向を正として
a = (5.0−20)/5.0 = −3.0 m/s²(大きさ 3.0 m/s²、運動と逆向き)

ポイント 減速 = 負の加速度(進行方向を正としたとき)。「大きさ+向き」で答える形と、符号つきの数で答える形、両方を行き来できるように。

解答
図示:東を正。はじめ v₀ = −6.0 m/s、あと v = +6.0 m/s。
a = {+6.0−(−6.0)}/3.0 = 12/3.0 = +4.0 m/s²(東向きに 4.0 m/s²)

ポイント 向きが変わる運動こそ符号の出番 — Δv = 6−(−6) = 12 m/s(速さの変化 0 ではない!)。「速さが同じだから加速度 0」が最頻出の誤り。

解答
v = v₀+at = 2.0+3.0×4.0 = 14 m/s
x = v₀t+(1/2)at² = 2.0×4.0+(1/2)×3.0×4.0² = 8.0+24 = 32 m

ポイント 3公式の①②をそのまま使う基本形。数値を入れる前に式を文字で書く(v = v₀+at と書いてから代入)— この1行が検算可能な答案を作る。

解答
時間 t が不要なので③式:v²−0² = 2×2.5×20 = 100
よって v = 10 m/s

ポイント 「t が問われず、与えられてもいない → ③式 v²−v₀² = 2ax」— 公式選択の判断基準そのもの。①②で t を求めてから、でも解けるが2度手間。

解答
a = (18−6.0)/4.0 = 3.0 m/s²
距離は平均の速度を使って
x = (v₀+v)t/2 = (6.0+18)×4.0/2 = 48 m

ポイント 等加速度なら「平均の速度 = (はじめ+おわり)/2」が使える — x = v₀t+(1/2)at² より速い場面が多い。検算:8.0×4.0? いや 12×4.0 = 48、②式でも 24+24 = 48 ○。

解答
進行方向を正として a = −4.0 m/s²。止まる:v = 0。
0 = 20−4.0t → t = 5.0 s
0²−20² = 2×(−4.0)×x → x = 400/8.0 = 50 m

ポイント 「止まる」は v = 0 という条件に翻訳する — 制動問題の入口。距離は③式が最短(t を経由してもよい:20×5−(1/2)×4×25 = 50 ○)。

解答
0²−30² = 2×(−a)×45
a = 900/90 = 10 m/s²

ポイント ③式の逆算で加速度を出す型。「新幹線級の速さ(108 km/h)を 45 m で止める」— 出てきた 10 m/s² が重力加速度なみの強い減速であることも感じ取る。

解答
① a = (5.0−15)/2.0 = −5.0 m/s²(大きさ 5.0 m/s²)
② 0²−15² = 2×(−5.0)×x → x = 225/10 = 22.5 ≒ 23 m

ポイント ①で求めた a を②に引き継ぐ2段問題(場面替え)。22.5 → 23 m の丸め(有効数字2桁)まで含めて答え。

解答
図示:v-t グラフ(0 から (4.0, 8.0) へ直線、その後水平)を描く。
① 傾き = 8.0/4.0 = 2.0 m/s²
② 面積 = 三角形+長方形 = (1/2)×4.0×8.0+6.0×8.0 = 16+48 = 64 m

ポイント 傾き = 加速度、面積 = 変位 — グラフ問題はこの2行を書いてから計算を始める。面積は三角形・長方形・台形に分割して足すのが定石。

解答
① 傾き = (0−12)/(9.0−5.0) = −3.0 m/s²(大きさ 3.0 m/s²)
② 面積 = 長方形+三角形 = 12×5.0+(1/2)×4.0×12 = 60+24 = 84 m

ポイント 「等速 → 減速して停止」は電車・エレベーターの現実の運転そのもの。台形の面積 =(上底+下底)×高さ ÷2 = (9.0+5.0)×12/2 = 84 とまとめて出す別ルートも◎。

解答
① 傾き = (0−6.0)/3.0 = −2.0 m/s²
② v = 6.0−2.0×5.0 = −4.0 m/s(負の向きに 4.0 m/s)
③ t 軸の上側の三角形 = (1/2)×3.0×6.0 = 9.0 m、下側の三角形 = (1/2)×2.0×4.0 = 4.0 m
変位 = 9.0−4.0 = +5.0 m、道のり = 9.0+4.0 = 13 m

ポイント t 軸の下の面積は「負の変位」(戻った距離)— 変位は引き算、道のりは足し算。速度が 0 を通り過ぎて負になる「折り返し運動」は、次章の投げ上げの予告編。

解答
図示:v-t グラフ — v₀ から出発し、傾き a の直線(時刻 t で v₀+at)。
0 から t までの変位 x は、このグラフと t 軸の間の面積。
下の長方形(高さ v₀、幅 t)と、上の三角形(底辺 t、高さ at)に分けると
x = v₀t+(1/2)×t×at = v₀t+(1/2)at² ∎

ポイント ②式の正体は「面積」— 長方形(初速のぶん)+三角形(加速で稼いだぶん)。導出を面積で覚えておくと、複雑な運動でも「グラフを描いて面積」で②式を自作できる。

解答
v = v₀+at より t = (v−v₀)/a。これを x = v₀t+(1/2)at² に代入:
x = v₀(v−v₀)/a+(1/2)a×(v−v₀)²/a²
= (v−v₀){v₀+(v−v₀)/2}/a = (v−v₀)(v+v₀)/(2a)
両辺に 2a を掛けて v²−v₀² = 2ax ∎

ポイント ③式は「①②から t を消しただけ」— 独立な公式は実質2本。和と差の積 (v−v₀)(v+v₀) が現れる整理は、数学第1巻の展開公式そのもの。

解答
時刻 t までの変位は x = v₀t+(1/2)at² だから
平均の速度 = x/t = v₀+(1/2)at = {v₀+(v₀+at)}/2 = (v₀+v)/2 ∎

ポイント 「最初と最後の速度のちょうど真ん中」が平均になるのは、v-t グラフが直線(等加速度)のときだけの特権 — 台形の面積 = (上底+下底)/2 × 高さ、と同じことを言っている。

解答
出発してから n s 後までの距離は (1/2)an²、(n−1) s 後までは (1/2)a(n−1)²。
d_n = (1/2)an²−(1/2)a(n−1)² = (1/2)a(2n−1) = a(2n−1)/2
よって d₁:d₂:d₃ = 1:3:5 → 1:3:5

ポイント 「区間の距離 = 位置の差」— 数学第2巻の aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ とまったく同じ引き算。静止から等加速度で進む距離が奇数比 1:3:5:… になるのは有名な性質(ガリレオの発見)。

解答
最初の T で:L = (1/2)aT²
最初の 2T で:(1/2)a(2T)² = 4×(1/2)aT² = 4L
よって次の T で進む距離は 4L−L = 3L

ポイント 距離 ∝ t²(静止から)なので、時間2倍 → 距離4倍。B2-1 の 1:3 がそのまま「L と 3L」— 同じ構造を文字で一般化した問題。

解答
A → 中点、A → B にそれぞれ③式を使う(AB = L、加速度 a):
v_M²−v_A² = 2a×(L/2) …(1)
v_B²−v_A² = 2a×L …(2)
(2)より 2aL = v_B²−v_A²。(1)に代入して
v_M² = v_A²+(v_B²−v_A²)/2 = (v_A²+v_B²)/2
よって v_M = √{(v_A²+v_B²)/2}

ポイント 中点で等しいのは「速さの平均」ではなく「速さの2乗の平均」— ③式が「距離と v² が比例して増える」ことを語っているから。(v_A+v_B)/2 と答えたくなる直感を、式が正しく裏切る良問。

解答
図示:追い越す側から見ると、相手は速さ v−u で後方へ動いて見える。
追い越し完了までに相手に対して進むべき距離は L+l(先頭が最後尾に並ぶ〜最後尾が先頭を抜ける)。
よって時間 = (L+l)/(v−u)

ポイント 「電車の長さの和 ÷ 相対の速さ」— 分子が L+l になる理由(両方の長さぶんズレる)を図で確認。次元:m ÷ (m/s) = s ○。

解答
逆向きなので相対の速さは v+u。
時間 = (L+l)/(v+u)

ポイント 式の形は B3-1 と同一で、分母だけが v−u ⇔ v+u — 「同じ向きは差、逆向きは和」の相対速度の2大パターンを1対で記憶する。

解答
① 同時刻の位置:A は (1/2)at²、B は vt。追いつく ⇔ 位置が等しい:
(1/2)at₂² = vt₂ → t₂(at₂−2v) = 0、t₂ > 0 より t₂ = 2v/a
② A の速さ = a×t₂ = 2v(B の 2 倍)
③ 差 d(t) = vt−(1/2)at² が最大になるのは、d の増え方が 0 になるとき、すなわち2台の速度が等しいとき:at₁ = v → t₁ = v/a
このとき d = v×(v/a)−(1/2)a×(v/a)² = v²/a−v²/(2a) = v²/(2a)

ポイント ②「追いつく瞬間、後発の速さは先行のちょうど2倍」は美しい定番。③「差が最大 ⇔ 速度が等しい」— v-t グラフを描くと、2本のグラフの間の面積(=距離の差)が交点まで増え続けることが一目で分かる。

解答
図示:v-t グラフ — 高さ v₀ の水平線が t₀ まで、その後傾き −a で 0 まで下がる。
空走距離(長方形)= v₀t₀
制動距離(三角形)は③式で:0−v₀² = 2(−a)x → x = v₀²/(2a)
停止距離 = v₀t₀+v₀²/(2a)

ポイント 「空走(等速)+制動(等加速度)」の2段構成 — 実際の交通安全の計算式そのもの。制動距離は速さの2乗に比例(v₀ が2倍なら4倍)という事実が、実戦1-2 の主題になる。

解答
図示:v-t グラフ — 傾き a で v まで上がる三角形+高さ v の長方形。
加速にかかる時間 t₁ = v/a、その間の距離 = v²/(2a)
残りの距離 L−v²/(2a) を速さ v で走る時間 = L/v−v/(2a)
所要時間 = v/a+L/v−v/(2a) = L/v+v/(2a)

ポイント 結果の読み方:「全部を等速 v で走る時間 L/v」に「加速のロス v/(2a)」が上乗せされた形 — 式を分解して意味を読むのが文字式問題の醍醐味。次元:m/(m/s)+(m/s)/(m/s²) = s+s ○。

解答
図示:v-t グラフ — 傾き a で上がり、頂点 v から傾き −b で下りる三角形。
加速区間の距離 v²/(2a)、減速区間の距離 v²/(2b)。合計が L:
v²/(2a)+v²/(2b) = L → v² = 2abL/(a+b) → v = √{2abL/(a+b)}
所要時間 t = v/a+v/b = v(a+b)/(ab) に代入して
t = √{2L(a+b)/(ab)}

ポイント エレベーター・電車の実際の運転計画がこの三角形(または台形)— 「面積 = L」という1本の条件から全設計が決まる。a = b(対称)なら v = √(aL)、t = 2√(L/a) と簡単になることも確認。

解答
図示:対岸向きに長さ v の矢印、下流向きに長さ u の矢印 — 合成速度はその対角線。
川を横切る方向の速さは v のままだから
渡る時間 t = d/v
その間に下流へ流される距離 = u×t = ud/v

ポイント 運動を「川を横切る成分」と「流される成分」に分けると、互いに独立 — 横切りは v だけ、流されは u だけが担当する。この「成分の独立」は次章の放物運動の心臓部の予行演習。

解答
図示:合成速度が真横(対岸向き)になるように、船首の矢印 v を上流側へ傾ける。
流速 u を打ち消す条件:v sinθ = u(θ は対岸向きから上流への傾き)
→ sinθ = u/v となる角 θ だけ上流に向ける
このとき対岸向きの速さは √(v²−u²) だから
渡る時間 t = d/√(v²−u²)

ポイント 直角三角形(斜辺 v、1辺 u)から残る辺 √(v²−u²) — 三平方が速度ベクトルに適用される場面。B5-1 より時間がかかる(まっすぐ渡る代償)ことも図から納得できる。

解答
図示:雨の速度(鉛直下向き v)から人の速度(水平 u)を引く — 人から見た雨 = 雨 − 自分。
自分の矢印を逆向き(後方へ u)にして足すと、鉛直 v と水平 u の直角三角形ができる。
tanθ = u/v
見かけの雨の速さ = 斜辺 = √(u²+v²)

ポイント 「走ると雨が前から斜めに来る」日常の体験が、相対速度のベクトル図そのもの。傾きは tan、速さは三平方 — 電車の窓の雨すじの角度から電車の速さを逆算する問題(場面替え)も同じ図で解ける。

解答
出会うまでに2物体が進んだ距離の和が D:
(1/2)at²+vt = D → at²+2vt−2D = 0
t > 0 より t = {−2v+√(4v²+8aD)}/(2a) = {−v+√(v²+2aD)}/a

ポイント 「距離の和 = D」が出会いの条件(追いつきは「距離の差 = 0」)— 条件の立て方の対比で覚える。2次方程式の解の公式と「正の解を選ぶ」吟味は数学第1巻の技術。

解答
x = At²+Bt を x = v₀t+(1/2)at² と比較して
v₀ = B、(1/2)a = A
よって 初速度 B、加速度 2A、速度は v = v₀+at = B+2At

ポイント 「式の形を公式と係数比較」— 実験データの近似式から運動の正体(v₀ と a)を読み取る場面で使う。t² の係数は a でなく a/2 — ここを 2 倍し忘れるのが定番ミス。

解答
① 0 = v₀−at₁ → t₁ = v₀/a
② x = v₀t−(1/2)at² = 0 → t(v₀−(1/2)at) = 0、t > 0 より t₂ = 2v₀/a
③ v = v₀−a×(2v₀/a) = −v₀(出発と同じ速さで逆向き)

ポイント t₂ = 2t₁ — 「行きと帰りが対称」(最遠点までの時間の2倍で戻り、同じ速さで帰ってくる)。この対称性は次章の鉛直投げ上げでそのまま主役になる:−a を −g に置き換えれば投げ上げの式そのもの。

解答
① 傾き = 4.0/2.0 = 2.0 m/s²(ア = 2)
② 距離 = 台形の面積 = {(10−0)+(8.0−2.0)}×4.0/2 = 16×4.0/2 = 32 m(イウ = 32)
③ 平均の速さ = 32/10 = 3.2 m/s(エ = 3、オ = 2)
④ 速度は正(上向き)のまま減少 → 加速度は下向き:(b)(カ = (b))

ポイント
• ②は三角形+長方形+三角形(4+24+4)でも、台形公式でも同じ 32 m — 分割の仕方は自由。
• ④「上に動きながら、加速度は下向き」— 減速中は運動の向きと加速度の向きが逆になる。概念チェック Q3 の実物版で、共テ頻出の定性設問。

解答
① 空走距離 = 20×0.50 = 10 m(アイ = 10)
② 0²−20² = 2×(−5.0)×x → x = 400/10 = 40 m(ウエ = 40)
③ 停止距離 = 10+40 = 50 m(オカ = 50)
④ 制動距離 = v₀²/(2a) は v₀² に比例するから、速さ 2 倍で 4 倍(キ = 4)

ポイント
• 50 m は「教室の端から端の 5 倍以上」— 72 km/h の車は気づいてから 50 m 止まれない、という実感が交通安全教育の中身そのもの。
• ④のように公式の形(何に比例するか)を問うのが共テ流 — 数値を再計算するより v₀² の構造で即答する。

解答
① 最後尾が P を通過するとき、電車(先頭)は L 進んでいる:
L = (1/2)at₁² → t₁ = √(2L/a)
② v₁ = at₁ = a√(2L/a) = √(2aL)
③ 先頭が Q を通過する時刻:D = (1/2)at² → t_D = √(2D/a)
最後尾が Q を通過する時刻:先頭が D+L 進んだとき → t' = √{2(D+L)/a}
求める時間 = t'−t_D = √(2/a){√(D+L)−√D}

ポイント
• ②は③式(v² = 2aL)でも一発:v = √(2aL) ○ — 2ルートの一致が検算。
• ③の答えの吟味:D が大きいほど電車は速くなっているので、同じ長さ L の通過時間は短くなるはず — √(D+L)−√D は D の増加とともに小さくなる(数学第4章の有理化 L/{√(D+L)+√D} で分母が育つ)○。物理の答えを数学の目で検算する、シリーズ縦断の仕上げ。

Q1:(c) — 落体の加速度 g は質量によらない(ガリレオの発見)。「重いほど速く落ちる」直感は空気抵抗が作る錯覚。

Q2:× — 速度は 0 になるが、加速度は g のまま(だから次の瞬間落ち始める)。第1章 概念チェック Q3 の落体版。

Q3:(c) — 鉛直方向の運動は水平の初速と無関係(独立)。どちらも鉛直には「自由落下」をしている。

Q4:○ — 投げ上げの対称性:同じ高さでは同じ速さ。式では v²−v₀² = −2g×0 → |v| = v₀。

Q5:(b) — R = v₀²sin2θ/g で sin2θ が最大(= 1)になるのは 2θ = 90°、つまり 45°。30° と 60° では同じ距離になる(B4-2)。

解答
図示:下向きを正にとる。
v = gt = 9.8×2.0 = 19.6 ≒ 20 m/s
y = (1/2)gt² = 4.9×2.0² = 19.6 ≒ 20 m

ポイント 自由落下は「初速 0、a = g の等加速度運動」— 第1章の公式に代入するだけ。(1/2)g = 4.9 を係数として覚えておくと計算が速い。

解答
44.1 = 4.9t² → t² = 9.0 → t = 3.0 s
v = 9.8×3.0 = 29.4 ≒ 29 m/s

ポイント 「高さから時間、時間から速さ」の2段リレー。29 m/s ≒ 106 km/h — 3秒の落下で高速道路の車なみの速さになる、という量感も。

解答
時間が不要なので v² = 2gy:
14² = 2×9.8×y → y = 196/19.6 = 10 m

ポイント 「t が不要 → v² = 2gy」— 第1章③式の落体版。逆算(速さ → 高さ)でも公式選択の基準は同じ。

解答
下向きを正として
v = 5.0+9.8×3.0 = 34.4 ≒ 34 m/s
y = 5.0×3.0+4.9×3.0² = 15+44.1 = 59.1 ≒ 59 m

ポイント 投げ下ろし = 「初速 v₀ をもつ落下」— 自由落下との違いは v₀ の項だけ。答えの丸め(34.4 → 34)は最後に1回だけ行う。

解答
高さ = 4.9×2.0+4.9×2.0² = 9.8+19.6 = 29.4 ≒ 29 m
v = 4.9+9.8×2.0 = 24.5 ≒ 25 m/s

ポイント 「初速で進むぶん+落下で進むぶん」の2階建て構造を式のまま読む。有効数字2桁への丸め(29.4 → 29、24.5 → 25)も答えの一部。

解答
v²−v₀² = 2gy より
15²−v₀² = 2×9.8×10 → v₀² = 225−196 = 29
v₀ = √29 ≒ 5.4 m/s

ポイント ③式の逆算で初速を掘り出す場面替え。「与えられた√の近似値を使う」のは物理の数値問題の約束 — 問題文の √29 ≒ 5.4 は「③式を使え」のヒントでもある。

解答
図示:上向きを正にとる。最高点では v = 0。
0 = 19.6−9.8t → t = 2.0 s
高さ = 19.6×2.0−4.9×2.0² = 39.2−19.6 = 19.6 ≒ 20 m

ポイント 「最高点 ⇔ v = 0」— この翻訳が投げ上げのすべての入口。高さは v² 式(19.6² = 2×9.8×H → H = 19.6)でも出る:2ルートの一致が検算。

解答
y = 0:0 = 19.6t−4.9t² = t(19.6−4.9t) → t > 0 より t = 4.0 s
v = 19.6−9.8×4.0 = −19.6 → 下向きに 20 m/s

ポイント 上り 2.0 s+下り 2.0 s — 対称性(最高点までの時間の2倍で戻り、同じ速さで帰る)。第1章 B6-3 の「−a」を「−g」に置き換えた実物。

解答
0 = v₀−9.8×3.0 → v₀ = 29.4 ≒ 29 m/s
高さ = (1/2)×9.8×3.0² = 44.1 ≒ 44 m
(下りの自由落下と対称なので、高さ = (1/2)gt² で計算できる)

ポイント 「最高点からの下り = 自由落下」という対称性を使うと、高さは 4.9t² の1発 — 対称性は計算の省略装置でもある。

解答
19.6 = 24.5t−4.9t²
4.9 で割って t²−5.0t+4.0 = 0 → (t−1.0)(t−4.0) = 0
t = 1.0 s(上り)と t = 4.0 s(下り)

ポイント 途中の高さは上りと下りの2回通過する — 2次方程式の2解がそのまま2つの時刻。「解が2つ出た意味」を運動の言葉で言えることが理解の証。

解答
29.4 = 24.5t−4.9t² → t²−5.0t+6.0 = 0 → (t−2.0)(t−3.0) = 0
t = 2.0 s と 3.0 s

ポイント 高い点ほど2つの時刻が近づく(1.0 と 4.0 → 2.0 と 3.0)— 最高点(t = 2.5 s)で2解が重なる(重解)。2次方程式の判別式と最高点がつながる瞬間。

解答
上り(v = +14.7):14.7 = 24.5−9.8t → t = 1.0 s
下り(v = −14.7):−14.7 = 24.5−9.8t → t = 4.0 s
t = 1.0 s と 4.0 s、高さはどちらも
y = 24.5×1.0−4.9×1.0² = 19.6 m(≒ 20 m)

ポイント 「同じ速さ」も上り・下りの2回 — しかも A4-1 と同じ時刻・同じ高さになった:「同じ高さでは同じ速さ」の対称性を数値で体感する仕掛け。

解答
図示:上向きを正、投げた点を原点とする。地面は y = −19.6 m。
① −19.6 = 14.7t−4.9t²
4.9 で割って t²−3.0t−4.0 = 0 → (t−4.0)(t+1.0) = 0
t > 0 より t = 4.0 s
② v = 14.7−9.8×4.0 = −24.5 → 下向きに 24.5 m/s ≒ 25 m/s

ポイント ビルの上からの投げ上げは「地面 ⇔ y = −h(負の変位)」の翻訳が急所。2次方程式の負の解 t = −1.0 を捨てる吟味(数学第1巻の作法)まで書いて完答。

解答
投げた点から最高点まで:v² = 0 より 高さ = 14.7²/(2×9.8) = 216.09/19.6 ≒ 11.0 m
地面からは 19.6+11.0 = 30.6 ≒ 31 m

ポイント 「どこから測った高さか」を必ず確認 — 基準点の明示は落体問題の事故防止装置。v₀²/(2g) は最高点の高さの即戦力公式。

解答
下向きを正とする。
① 19.6 = 14.7t+4.9t² → t²+3.0t−4.0 = 0 → (t−1.0)(t+4.0) = 0 → t = 1.0 s
② v = 14.7+9.8×1.0 = 24.5 m/s ≒ 25 m/s

ポイント 着地の速さが投げ上げ(A5-1)とまったく同じ 24.5 m/s — 投げ上げた球は元の高さに同じ速さで戻ってくるので、そこから先は投げ下ろしと同じ運動になるから。時間だけが 4.0 s と 1.0 s で違う。

解答
図示:水平に x 軸、鉛直下向きに y 軸。水平は等速 10 m/s、鉛直は自由落下。
① 19.6 = 4.9t² → t² = 4.0 → t = 2.0 s
② x = 10×2.0 = 20 m
③ 水平:10 m/s(変わらない)、鉛直:v_y = 9.8×2.0 = 19.6 ≒ 20 m/s

ポイント 時間は鉛直(自由落下)が決め、距離は水平(等速)が答える — 分業がすべて。水平成分が最後まで 10 m/s のままである事実に、「独立」の意味が詰まっている。

解答
落下時間:4.9 = 4.9t² → t = 1.0 s
v₀ = 2.0/1.0 = 2.0 m/s

ポイント 着地点から初速を逆算する型(実験でボールの速さを測る定番の方法)。ここでも「時間は高さが決める」が最初の1手。

解答
落下時間:t = 30/15 = 2.0 s
高さ = 4.9×2.0² = 19.6 ≒ 20 m

ポイント 今度は水平から時間を出して鉛直へ渡す逆向きのリレー — どちらの運動からでも t を取り出せる。「t が共通言語」の意味が体で分かる場面替え。

解答
図示:初速を分解 — 水平 19.6×cos30° = 9.8√3 m/s、鉛直 19.6×sin30° = 9.8 m/s。
① 最高点:v_y = 0 より 0 = 9.8−9.8t → t = 1.0 s
高さ = 9.8×1.0−4.9×1.0² = 4.9 m
② 滞空時間 = 2×1.0 = 2.0 s
水平距離 = 9.8√3×2.0 = 19.6×1.73 = 33.9 ≒ 34 m

ポイント 斜方投射 = 「鉛直は初速 v₀sinθ の投げ上げ、水平は v₀cosθ の等速」— 分解した瞬間、新しい公式は1つも要らない。滞空時間は対称性で「最高点の2倍」。

解答
① 最高点まで 0 = 9.8−9.8t → t = 1.0 s、滞空 = 2.0 s
② 高さ = 9.8×1.0−4.9 = 4.9 m、水平距離 = 12×2.0 = 24 m

ポイント 成分が直接与えられれば角度は不要 — 運動を支配するのは角度でなく成分という本質が見える出題形。鉛直成分が同じ A7-1 と、滞空時間・高さが同じになっている(水平成分は無関係)。

解答
① v_y² = 2×9.8×19.6 = 384.16 → v_y = 19.6 ≒ 20 m/s
② 最高点まで 19.6/9.8 = 2.0 s、滞空 = 4.0 s

ポイント 高さから鉛直成分を逆算(v² 式)する場面替え。最高点の高さと滞空時間は鉛直成分だけで決まり、水平成分の情報がなくても答えられる — 独立性の理解を試す問い。

解答
図示:切片 19.6、傾き −9.8 の直線 — t = 2.0 s で 0 を横切り、t = 4.0 s で −19.6 に達する。
最高点の高さ = 0〜2.0 s の三角形の面積 = (1/2)×2.0×19.6 = 19.6 ≒ 20 m

ポイント 投げ上げの v-t グラフは1本の直線(加速度が −g で一定だから)— 上りも下りも同じ直線の上。面積(三角形)から高さが出るのは第1章の技術の再演。

解答
(b) — y = (1/2)gt² は t² に比例するので、傾き(速度)がだんだん急になる下に凸の放物線。

ポイント x-t(y-t)グラフの曲がり方は加速の証拠 — 直線なら等速、下に凸なら加速。グラフの形を式(t の何次か)と往復して読む。

解答
(b) — 速度は直線的に +19.6 → −19.6 と変わるが、速さはその絶対値なので t = 2.0 s で 0 に触れて折り返す V 字形。
t = 3.0 s:v = 19.6−9.8×3.0 = −9.8 → 速さ 9.8 m/s

ポイント 「速度のグラフ」と「速さのグラフ」は別物 — 絶対値をとると t 軸で折り返す。概念チェック Q1(第1章)の速さ/速度の区別が、グラフの形の違いにまで現れる。

解答
上向きを正とする。最高点で v = 0:
0 = v₀−gt → 最高点までの時間 t = v₀/g
高さは v²−v₀² = −2gH に v = 0 を代入して H = v₀²/(2g)
もとの高さ(y = 0):0 = v₀t−(1/2)gt² = t(v₀−gt/2) → t = 2v₀/g(最高点の2倍)

ポイント 投げ上げの3点セット「v₀/g、v₀²/(2g)、2v₀/g」— 以後の章でも即戦力で使う基本量。次元:v₀/g = (m/s)/(m/s²) = s ○、v₀²/(2g) = m ○。

解答
h = v₀t−(1/2)gt² を整理して
(1/2)gt²−v₀t+h = 0、すなわち gt²−2v₀t+2h = 0
t₁、t₂ はこの2次方程式の2解だから、解と係数の関係より
t₁+t₂ = 2v₀/g、t₁t₂ = 2h/g
(t₁+t₂)/2 = v₀/g は B1-1 より最高点に達する時刻 — 2つの通過時刻は最高点の時刻について対称。

ポイント 数学第1巻の解と係数の関係が投げ上げの対称性そのものを語る — 「和の半分 = 対称の中心」。A4 で数値として見た 1.0 と 4.0(和 5.0、中心 2.5)の一般化。

解答
《証明》もとの高さでは y = 0 だから
v²−v₀² = −2g×0 = 0 → v² = v₀² → |v| = v₀
向きは下向き(v = −v₀)なので、速さは投げたときと等しい ∎

ポイント v² 式は「高さが同じなら速さが同じ」を最短で言う道具 — 第5章(エネルギー保存)で同じ結論に再会する伏線。

解答
上向きを正、投げた点を原点とすると、地面は y = −h:
−h = v₀t−(1/2)gt² → gt²−2v₀t−2h = 0
t > 0 より t = {v₀+√(v₀²+2gh)}/g
速さは v² 式で:v²−v₀² = −2g(−h) → v = √(v₀²+2gh)

ポイント 解の公式の正の根を選ぶ吟味と、「y = −h」の符号翻訳が2大チェックポイント。検算:h → 0 で t → 2v₀/g(B1-1 の滞空時間)○ — 極端な場合との一致は文字式の強力な検算法。

解答
下向きを正として v²−v₀² = 2gh → v = √(v₀²+2gh)
これは B2-1(投げ上げ)の着地の速さと同じ。
理由:投げ上げた球はもとの高さに速さ v₀ で戻り(B1-3)、そこから先は投げ下ろしと同じ運動になるから。

ポイント 「着地の速さは、上に投げても下に投げても同じ」(違うのは時間だけ)— A5 の数値実験(どちらも 24.5 m/s)の種明かし。エネルギーの言葉では「同じ高さ・同じ速さから出発すれば同じ」(第5章)。

解答
全時間 T、全高さ (1/2)gT²。最後の 1.0 s 間の落下距離は
(1/2)gT²−(1/2)g(T−1.0)² = (1/2)g(2T−1.0)
これが全体の半分に等しい:
(1/2)g(2T−1.0) = (1/2)×(1/2)gT²
2(2T−1.0) = T² → T²−4.0T+2.0 = 0 → T = 2.0±√2
T−1.0 > 0 が必要だから T = 2.0−√2(≒ 0.59)は不適。
T = 2.0+√2 ≒ 3.4 s

ポイント 「最後の1秒」= 位置の差(第1章 B2-1 と同じ引き算)。両辺から g が消える — 答えが g によらない(月面でも 3.4 s!)ことに気づけると一段深い。解の吟味(T > 1.0 s)も必須。

解答
鉛直:h = (1/2)gt² → t = √(2h/g)
水平:距離 = v₀√(2h/g)
着地直前:水平成分 v₀、鉛直成分 gt = √(2gh) だから
速さ = √(v₀²+(√(2gh))²) = √(v₀²+2gh)

ポイント 着地の速さが B2 と同じ √(v₀²+2gh) — 投げる向きによらず、同じ高さ・同じ速さから出れば着地の速さは同じ(第5章エネルギーの大定理の先取り)。落下時間が v₀ を含まないことも再確認。

解答
tanφ = (鉛直成分)/(水平成分) = √(2gh)/v₀
tanφ = √(2gh)/v₀

ポイント 速度の向きは成分の比(tan)で語る — ベクトルの分解(第1章 B5)の逆再生。h が大きいほど φ が 90° に近づく(ほぼ真下に突き刺さる)ことも式から読める。

解答
x = v₀t より t = x/v₀。これを y = (1/2)gt² に代入して
y = g x²/(2v₀²)
y が x の2次式(原点を通り下に開く放物線の半分)なので、軌道は放物線である ∎

ポイント 「放物運動」の名の由来を自分の手で — t の消去(数学第3巻・媒介変数の消去)で軌道の式が出る。v₀ が大きいほど係数が小さく、平べったい放物線になる。

解答
鉛直は初速 v₀sinθ の投げ上げだから、B1-1 の v₀ を v₀sinθ に置き換えて
H = (v₀sinθ)²/(2g) = v₀²sin²θ/(2g)
T = 2v₀sinθ/g
水平は等速 v₀cosθ なので
R = v₀cosθ×T = 2v₀²sinθcosθ/g = v₀²sin2θ/g

ポイント 新しい導出は不要 — 「B1 の v₀ → v₀sinθ の置き換え+水平は掛け算」。sin2θ にまとめる最後の1手(数学第2巻・2倍角)が R の性質(B4-2)を見えるようにする。

解答
① R = v₀²sin2θ/g は sin2θ = 1 のとき最大:2θ = 90° → θ = 45°、最大値 R = v₀²/g
② θ を 90°−θ に置き換えると sin2(90°−θ) = sin(180°−2θ) = sin2θ
よって R は変わらない ∎(例:30° と 60° は同じ到達距離)

ポイント 「45° が最大」「θ と 90°−θ は同じ」— どちらも sin2θ のグラフ(90° で山、対称)を思い浮かべれば一目。低く速い弾道と高くゆっくりの弾道が同じ地点に届く、という図の理解まで。

解答
x = v₀cosθ×t より t = x/(v₀cosθ)。y = v₀sinθ×t−(1/2)gt² に代入:
y = v₀sinθ×x/(v₀cosθ)−(1/2)g×x²/(v₀cosθ)²
y = x tanθ−g x²/(2v₀²cos²θ)

ポイント 軌道の式は「直線 x tanθ(狙った向き)から、g の項のぶんだけ垂れ下がる」形 — この読み方が B5-1(モンキーハンティング)の証明を一瞬にする。

解答
《証明》時刻 t の小球の位置は
x = v₀cosθ×t、y = v₀sinθ×t−(1/2)gt²
的の位置は (L, H−(1/2)gt²)。
小球が x = L に達する時刻 t₁ = L/(v₀cosθ) での小球の高さは
y = L tanθ−(1/2)gt₁²
tanθ = H/L より L tanθ = H だから
y = H−(1/2)gt₁² = そのときの的の高さ
よって小球は必ず的に命中する ∎

ポイント 名高い「モンキーハンティング」— 種明かしは「小球も的も、狙いの直線から同じ (1/2)gt² だけ落ちる」こと(B4-3 の読み方そのもの)。重力は両者を平等に落とすので、狙いさえ正しければ落下は関係ない。

解答
① 上向きを正、地面を原点として
A:y_A = v₀t−(1/2)gt²、B:y_B = h−(1/2)gt²
出会い:y_A = y_B → v₀t = h → t = h/v₀
(−(1/2)gt² が両辺で消える:A から見た B は等速 −v₀ で近づくため)
② 出会いの高さ y = h−(1/2)g(h/v₀)² > 0 ⇔ 2v₀² > gh
v₀ > √(gh/2)

ポイント 落体どうしの相対運動は等加速度が消えて等速になる(相対加速度 = g−g = 0)— 「距離 h を相対速度 v₀ で詰める」だけの問題に落ちる。この視点は衝突・すれ違い問題の万能の近道。

解答
1球目:y₁ = v₀t−(1/2)gt²、2球目:y₂ = v₀(t−t₀)−(1/2)g(t−t₀)²(t ≧ t₀)
y₁ = y₂ を整理すると
0 = −v₀t₀+g t t₀−(1/2)g t₀²
t₀(≠ 0)で割って g t = v₀+(1/2)g t₀
t = v₀/g+t₀/2

ポイント 出会いの時刻は「最高点の時刻 v₀/g から t₀/2 だけあと」— 2球の運動は時間軸上で t₀ ずらした同じ放物線なので、出会いは2つの山のちょうど中間(対称の中心)で起こる。式の結果を対称性で言い直せると強い。

解答
最高点では鉛直成分が 0 で、速さ = 水平成分 v₀cosθ。
条件:v₀cosθ = v₀/2 → cosθ = 1/2 → θ = 60°

ポイント 「最高点でも水平成分はまるごと生き残る」ことの直接の応用。最高点で速さ 0 になるのは真上(90°)に投げたときだけ、という感覚の確認にもなる。

解答
H = v₀²sin²θ/(2g)、R = 2v₀²sinθcosθ/g。H = R より
sin²θ/2 = 2sinθcosθ → sinθ = 4cosθ(sinθ ≠ 0 で割る)
tanθ = 4

ポイント H と R の比は tanθ だけで決まる(H/R = tanθ/4)— v₀ と g が比をとると消える構造を見る。tanθ = 4 は約 76°:高々と上げないと「高さ = 距離」にならない、という図の感覚と一致。

解答
鉛直方向:y = v₀ᵧt−(1/2)gt² より、t₁、t₂ は
gt²−2v₀ᵧt+2y = 0 の2解。解と係数の関係から
t₁+t₂ = 2v₀ᵧ/g → v₀ᵧ = g(t₁+t₂)/2
t₁t₂ = 2y/g → y = g t₁t₂/2

ポイント B1-2 の斜方投射版 — 鉛直方向だけ見れば投げ上げと同じなので、結果もそのまま使える。「2つの通過時刻だけから高さと初速が復元できる」— ストロボ写真の解析などで実際に使われる関係式。

解答
① 0 = 19.6−9.8t → t = 2.0 s(ア = 2)
② H = 19.6²/(2×9.8) = 19.6 ≒ 20 m(イウ = 20)
③ v = 19.6−9.8t は切片 19.6、傾き −9.8 の直線 → (a)(エ = (a))
④ v = 19.6−9.8×3.0 = −9.8 → 下向きに 9.8 m/s(オ = 9、カ = 8)
⑤ 14.7 = 19.6t−4.9t² → t²−4.0t+3.0 = 0 → (t−1.0)(t−3.0) = 0
t = 1.0 s と 3.0 s(キ = 1、ク = 3)

ポイント
• ④と⑤がつながっている:t = 3.0 s は「高さ 14.7 m を下りで通過する瞬間」— 1.0 s(上り)と対称の中心 2.0 s をはさんで対になっている。
• ③のようなグラフ選択は共テの定番 — 「切片は初速、傾きは −g、直線」の3点で即断。

解答
① 19.6 = 4.9t² → t² = 4.0 → t = 2.0 s
② x = 14.7×2.0 = 29.4 ≒ 29 m
③ v_y = 9.8×2.0 = 19.6 ≒ 20 m/s
④ 速さ = √(14.7²+19.6²) = √(216.09+384.16) = √600.25 = 24.5 ≒ 25 m/s
⑤ tanφ = 19.6/14.7 = 4/3

ポイント
• ④は 14.7:19.6 = 3:4 に気づけば、三平方で斜辺は 5 の比 → 24.5 m/s と暗算できる(3-4-5 は物理の数値問題の常連)。
• ⑤の tanφ = 4/3(φ ≒ 53°)— 「速さ」と「向き」をセットで答えて初めて速度ベクトルの完全な記述になる。

解答
① 水平方向は等速だから L = v₀cosθ×t → t = L/(v₀cosθ)
② 鉛直方向:y = v₀sinθ×t−(1/2)gt² に①を代入して
H = v₀sinθ×L/(v₀cosθ)−(1/2)g×L²/(v₀cosθ)²
H = L tanθ−gL²/(2v₀²cos²θ) ∎
③ θ = 45° では tanθ = 1、cos²θ = 1/2 だから
20 = 40−9.8×40²/(2×v₀²×(1/2)) = 40−9.8×1600/v₀²
9.8×1600/v₀² = 20 → v₀² = 784 → v₀ = 28 m/s

ポイント
• ②の式は「狙いの直線 L tanθ から、重力の項だけ垂れる」— モンキーハンティング(B5-1)と同じ構造が、今度は「垂れる量を計算して当てる」問題として現れた。
• ③の 784 = 28² のような平方数の出現は設計のサイン — きれいに開かない場合は途中の代入を疑う、という検算感覚も実戦力。

Q1:× — この2力はどちらも「本にはたらく力」なので、つり合いの関係。作用反作用の相手は「本が机を押す力」(はたらく相手が違う)。「同じ物体か、別の物体か」で二つの法則を仕分ける。

Q2:× — 静止摩擦力は必要なだけはたらく(押す力が 3 N なら 3 N)。μN は「これ以上は出せない」上限(最大静止摩擦力)にすぎない。

Q3:(b) — 静止 ⇔ つり合い ⇔ 上向きの張力 = 下向きの重力。「つるされているから」ではなく「つり合っているから」mg。

Q4:(b) — 浮かんで静止 = つり合い。浮力 = 重力。「浮くもの =浮力が勝っている」ではない(勝っていたら上昇し続ける)。

Q5:(b) — 合力は 0 でも、モーメントの和は 0 でない(作用線がずれているため)→ 回転する。「力のつり合い」だけでは剛体は静止しない — モーメント条件が必要な理由そのもの。

解答
① W = mg = 2.0×9.8 = 19.6 ≒ 20 N
② 500 g = 0.50 kg より W = 0.50×9.8 = 4.9 N

ポイント 重力 = 質量 × 9.8 — 「質量 [kg]」と「重力(重さ)[N]」は別の量。②のようなg → kg の単位換算を落とすのが最初の事故ポイント。

解答
図示:おもりに、重力 mg(下向き)と弾性力 kx(上向き)。
つり合い:kx = mg → 49×x = 9.8
x = 0.20 m(= 20 cm)

ポイント ばねの問題は「弾性力 kx と重力のつり合い」の1本。k の単位 N/m は「1 m 伸ばすのに必要な力」— 単位から式が復元できる。

解答
① kx = mg より k = 0.50×9.8/0.10 = 49 N/m
② x = 1.5×9.8/49 = 14.7/49 = 0.30 m(= 30 cm)

ポイント ①は k の逆算(実験でばね定数を測る方法そのもの)。②は「質量3倍 → 伸び3倍」— フックの法則は比例なので、比で即答もできる。

解答
図示:物体に、重力 29.4 N(下)と張力 T(上)。
つり合い:T = mg = 3.0×9.8 = 29.4 ≒ 29 N

ポイント 概念チェック Q3 の計算版。「静止 → つり合い → T = mg」の3段論法を、どんなに簡単でも省略せずに書く癖をつける。

解答
図示:まず B に着目 — 重力 9.8 N(下)と糸2の張力 T₂(上)。
T₂ = 1.0×9.8 = 9.8 N
次に A に着目 — 重力 19.6 N(下)、糸2が引く力 9.8 N(下)、糸1の張力 T₁(上)。
T₁ = 19.6+9.8 = 29.4 ≒ 29 N
(A と B をまとめて1つの物体と見れば T₁ = 3.0×9.8 とも出せる)

ポイント 着目物体を切り替える練習の第1歩 — 「B だけ」「A だけ」「A+B まとめて」のどれでも解ける。糸2が A を下向きに引く(作用反作用)ことの図示が急所。

解答
図示:看板に、重力 39.2 N(下)と張力 T が2本(上)。
2T = 39.2 → T = 19.6 ≒ 20 N

ポイント 対称なつるし方なら2本で半分ずつ分担 — 「上向きの力の合計 = 重力」というつり合いの式が、分担の根拠を与える。

解答
図示:直交する2つの矢印と、その対角線(合力)。
合力 = √(3.0²+4.0²) = √25 = 5.0 N

ポイント 力はベクトル — 合成は平行四辺形(直交なら三平方)。3:4:5 は物理の数値問題の常連(第2章 実戦2-2 と同じ)。

解答
水平成分 = 10×cos30° = 10×1.73/2 = 8.65 ≒ 8.7 N
鉛直成分 = 10×sin30° = 10×0.50 = 5.0 N

ポイント 分解は合成の逆再生:「角をはさむ側が cos、向かいが sin」。分解した2つの成分は、もとの力の完全な代役 — 以後もとの矢印は消してよい。

解答
図示:ひし形の対角線。対角線は角を2等分するから
合力 = 2×6.0×cos30° = 12×1.73/2 = 10.38 ≒ 10 N

ポイント 等しい2力の合成は「2Fcos(半分の角)」— ひし形の対角線の図から出る。角が 120° なら合力はもとと同じ 6.0 N(正三角形)になる、という感覚も持っておく。

解答
図示:物体に、重力 19.6 N(鉛直下)、張力 T(斜面上向き)、垂直抗力 N(斜面に垂直)。重力を斜面方向 mgsin30° と垂直方向 mgcos30° に分解。
① 斜面方向のつり合い:T = mgsin30° = 19.6×0.50 = 9.8 N
② 垂直方向のつり合い:N = mgcos30° = 19.6×1.73/2 = 16.95 ≒ 17 N

ポイント 斜面の合言葉「滑る向きに sin、面に垂直に cos」— θ が小さいと滑る成分が小さい(sin)、で対応を確認。軸を斜面に合わせると、分解するのは重力1本で済む。

解答
T = mgsin45° = 9.8×1.41/2 = 6.90 ≒ 6.9 N
N = mgcos45° = 6.9 N(張力と同じ)

ポイント 45° では sin = cos なので T = N — 斜度が上がるにつれ T は増え N は減る(90° で T = mg、N = 0:壁ぎわの自由落下)という極端な場合の想像が式の検算になる。

解答
図示:重力 19.6 N(下)、F(水平)、N(斜面に垂直)。今回は水平・鉛直の軸で分解すると
水平:N sin30° = F、鉛直:N cos30° = 19.6
② N = 19.6/cos30° = 19.6×2/1.73 = 22.7 ≒ 23 N
① F = N sin30° = 22.7×0.50 = 11.3 ≒ 11 N

ポイント 力の向きが変われば楽な軸も変わる(今回は N を分解する方が1回で済む)。N = 23 N > mgcos30° = 17 N — 水平に押すぶん、斜面はより強く押し返している。「N はいつも mgcosθ」ではない、が本問の教訓。

解答
図示:重力 49 N(下)、垂直抗力 N(上)、押す力 10 N、摩擦力 f(押す向きと逆)。
① 水平のつり合いより f = 10 N
② 鉛直のつり合いより N = 49 N。f₀ = μN = 0.40×49 = 19.6 ≒ 20 N

ポイント ①の答えは μN ではなく「押した力と同じ 10 N」 — 静止摩擦力は必要なだけ(概念チェック Q2)。μN を使ってよいのは「滑り出す直前」だけ、という線引きがこのテーマの全て。

解答
N = mg = 19.6 N。動き出す直前:F = μN = 0.40×19.6 = 7.84 ≒ 7.8 N

ポイント 「動き出す直前」=「摩擦力が上限 μN に達した瞬間」— この言葉が出たときだけ f = μN と置ける。

解答
動き出す直前:30 = μ×6.0×9.8 = 58.8μ
μ = 30/58.8 = 0.510 ≒ 0.51

ポイント μ の逆算(摩擦係数の測定実験そのもの)。μ は単位のない数(力 ÷ 力)であることも確認 — 答えに単位を付けない珍しい量。

解答
① 等速直線運動 ⇔ つり合いだから、動摩擦力 = 引く力 = 9.8 N
② N = mg = 39.2 N より μ' = 9.8/39.2 = 0.25

ポイント 「等速 = つり合い」— 動いていても合力 0(この橋渡しが次章・運動方程式 ma = F の a = 0 の場合)。動摩擦力は速さによらず μ'N で一定。

解答
F = μ'mg = 0.30×3.0×9.8 = 8.82 ≒ 8.8 N

ポイント A6-1 の逆向きの計算。等速で「引き続ける」のに力が要るのは摩擦があるから — なめらかなら力 0 で滑り続ける(慣性)、との対比で理解する。

解答
図示:重力の斜面成分 mgsin30°(下向き)、動摩擦力 f'(滑りと逆 = 斜面上向き)、垂直抗力 N = mgcos30°。
① 等速 ⇔ 斜面方向のつり合い:f' = mgsin30° = 19.6×0.50 = 9.8 N
② f' = μ'N より μ' = mgsin30°/(mgcos30°) = tan30° = 1/1.73 = 0.578 ≒ 0.58

ポイント ②で mg が約分されて消える — μ' = tanθ は質量によらない。「等速で滑り降りる角度を測れば μ' が分かる」という実験法(摩擦角)の原理。

解答
p = F/S = 40/0.020 = 2000 = 2.0×10³ Pa

ポイント 圧力 = 力 ÷ 面積(単位 Pa = N/m²)。同じ重さでも面積が小さいほど圧力は大きい(針が刺さる理由)。答えの ×10ⁿ 表記もここから練習。

解答
F = ρVg = 1.0×10³×2.0×10⁻³×9.8 = 19.6 ≒ 20 N

ポイント 浮力 = 押しのけた水の重さ(ρV が押しのけた水の質量、×g で重さ)。指数の計算 10³×10⁻³ = 1 を落ち着いて — ×10ⁿ どうしの掛け算は指数の足し算。

解答
図示:重力 2.94 N(下)、浮力 F(上)、張力 T(上)。
浮力 F = 1.0×10³×1.0×10⁻⁴×9.8 = 0.98 N
つり合い:T = mg−F = 2.94−0.98 = 1.96 ≒ 2.0 N

ポイント 「水中では軽く感じる」の正体 — 読み = 重力 − 浮力。3つの力のつり合いを図から式にする、浮力問題の標準形。

解答
① M = F×l = 20×0.30 = 6.0 N·m
② つり合い:F×0.60 = 6.0 → F = 10 N

ポイント モーメント = 力 × うでの長さ(単位 N·m)。「時計回りのモーメント = 反時計回りのモーメント」がてこのつり合い — うでが2倍なら力は半分。

解答
支点を A から x の点とすると、支点まわりのモーメントのつり合い:
30×x = 20×(1.0−x) → 50x = 20 → x = 0.40 m

ポイント 支点は重いおもり側に寄る(30:20 の逆比 2:3 に内分)— この点が2物体の重心。数学第1巻の内分点と同じ計算が力学に現れる。

解答
支点まわりのモーメントのつり合い:
F×1.2 = 300×0.20 → F = 60/1.2 = 50 N

ポイント 力が 1/6 で済む代わりに、手は岩の 6 倍動く — てこは「力を薄めて距離で払う」道具(仕事の総量は変わらない:第5章への伏線)。

解答
図示:重力 W(下)、張力 T(鉛直から θ 傾いた糸の方向)、F(水平)。
水平:T sinθ = F
鉛直:T cosθ = W
よって T = W/cosθ、F = W tanθ

ポイント 検算は極端な場合:θ → 0 で T → W、F → 0(ただつるすだけ)○/θ → 90° で T、F → ∞(水平な糸では支えられない)○ — 「糸は完全に水平にはできない」という有名な事実が式から読める。

解答
図示:T₁(鉛直と 30°)、T₂(鉛直と 60°、反対側)、W(下)。
水平:T₁ sin30° = T₂ sin60° → T₁ = √3 T₂
鉛直:T₁ cos30°+T₂ cos60° = W → √3T₂×(√3/2)+T₂/2 = 2T₂ = W
よって T₂ = W/2、T₁ = (√3/2)W

ポイント 30°+60° = 90° — 2本の糸が直交しているので、W を糸の方向に分解して T₁ = Wcos30°、T₂ = Wcos60° と1手で出す別解もある。鉛直に近い糸(T₁)ほど大きく分担する。

解答
図示:重力 mg(下)、F(水平)、N(斜面に垂直 — 鉛直から θ 傾く)。
水平:N sinθ = F、鉛直:N cosθ = mg
よって N = mg/cosθ、F = mg tanθ

ポイント A4-3(数値)の一般化。F = mgtanθ は B1-1 と同じ形 — 「鉛直の支え(糸 or 斜面)+水平の力」という構造が同じだから。θ → 90° で発散:垂直の壁は水平力では支えられない。

解答
図示:直列では、どちらのばねにも同じ大きさ mg の力がかかる(下のばねはおもりを、上のばねは「下のばね+おもり」を支えるが、ばねは軽いので張力は同じ mg)。
各ばねの伸び = mg/k、全体の伸び = 2mg/k
合成ばね定数 = mg÷(2mg/k) = k/2

ポイント 直列は「力が共通、伸びが足し算」→ 柔らかくなる(k/2)。ゴムひもを2本つなぐと伸びやすくなる日常感覚と一致。

解答
並列では、2本の伸び x が共通で、弾性力は 2 本ぶん:2kx = mg
伸び = mg/(2k)、合成ばね定数 = 2k

ポイント 並列は「伸びが共通、力が足し算」→ 硬くなる(2k)。直列・並列の合成則は、第3巻(電気)の抵抗の合成とちょうど逆の対応になる — 遠い伏線として。

解答
伸びは F/k。
理由:「壁に固定した一端を F で引く」場合と比べる — このとき壁も(作用反作用で)ばねを F で引き返しており、両端が F で引かれる状況は固定して引く場合とまったく同じ。ばねの各部分にかかる張力は F であって 2F ではない。

ポイント ばねはかりを両側から 1 kg ずつで引いても読みは「1 kg」— 有名な引っかけ。ばねの中の張力はどこでも同じ F(軽いばね)、が種明かし。

解答
N = mg。動かない ⇔ 必要な摩擦力 F が最大静止摩擦力以下:
F ≦ μmg

ポイント 「動かない条件」は不等式で答える — 等号(F = μmg)が「動き出す直前」。境目を等式、範囲を不等式で言い分ける。

解答
① 静止しているから、斜面方向のつり合いより
摩擦力 f = mgsinθ(μmgcosθ ではない!)
② 滑り出さない条件:f ≦ μN、すなわち mgsinθ ≦ μmgcosθ
tanθ ≦ μ

ポイント ①が本テーマ最大の罠 — 静止摩擦力はつり合いから決まる(A5-1 の教訓の斜面版)。②の「tanθ = μ となる角(摩擦角)」は、斜面を徐々に傾けて μ を測る実験の原理(A6-3 の静止版)。

解答
図示:mg(下)、N(上)、F(斜め上:水平成分 Fcosθ、鉛直成分 Fsinθ)、摩擦力 μN(F の水平成分と逆)。
鉛直:N+Fsinθ = mg → N = mg−Fsinθ
水平(動き出す直前):Fcosθ = μN = μ(mg−Fsinθ)
F について解いて F = μmg/(cosθ+μsinθ)

ポイント 斜め上に引くと N が減り、摩擦も減る — 荷物を「引きずるより少し持ち上げ気味に引く」と楽な理由。θ = 0 で F = μmg(B3-1)に戻ることを検算。

解答
浮かんで静止 ⇔ 浮力 = 重力:
ρV'g = ρ₀Vg → V' = (ρ₀/ρ)V

ポイント 沈む割合 = 密度の比。氷(ρ₀/ρ ≒ 0.92)なら体積の約 92% が水面下 — 「氷山の一角」の定量版。ρ₀ → ρ で V' → V(全部沈んでぎりぎり浮く)○。

解答
図示:重力 ρ'Vg(下)、浮力 ρVg(上)、張力 T(上)。
つり合い:T = ρ'Vg−ρVg = (ρ'−ρ)Vg

ポイント 「水中での見かけの重さ」=(密度の差)×Vg — 差 ρ'−ρ が効く形。ρ' = ρ なら T = 0(浮きも沈みもしない)○。

解答
浮力 = 空気中と水中の読みの差:ρVg = W−W'
V = (W−W')/(ρg)
物体の質量は W/g だから
ρ_物 = (W/g)/V = ρW/(W−W')

ポイント 「はかり2回で体積と密度が測れる」— アルキメデスが王冠の金の純度を見破った方法そのもの。読みの差 = 浮力という1行がすべての入口。

解答
図示:棒に、重力 W(中央、下向き)、F(B端、上向き)、蝶番の力 R(A端)。
A のまわりのモーメントのつり合い(反時計回りを正):
F×L−W×(L/2) = 0 → F = W/2
力のつり合い(鉛直):R+F = W → 蝶番の力 = 上向きに W/2

ポイント 軸を A に置いたので、未知の蝶番の力 R がモーメントの式に現れない — 軸選びの威力。重心(中央)に重力を集めて描くのが剛体の図示の約束。

解答
A のまわりのモーメント:N_B×L = W×(L/2)+W₀×(L/4)
N_B = W/2+W₀/4
力のつり合い:N_A+N_B = W+W₀ → N_A = W/2+3W₀/4

ポイント 荷物に近い側(A)が多く分担(W₀ の 3/4)— 荷物からの距離の逆比で配分される。検算:N_A+N_B = W+W₀ ○(合計は必ず全重量)。

解答
図示:重力 W(中央)、壁から N₁(水平、壁に垂直)、床から N₂(鉛直上)と摩擦 f(壁向き=水平)。
① 鉛直:N₂ = W
水平:f = N₁
下端のまわりのモーメント:N₁×Lsinθ = W×(L/2)cosθ
N₁ = W/(2tanθ)、f = W/(2tanθ)
② 滑らない条件:f ≦ μN₂
W/(2tanθ) ≦ μW → tanθ ≧ 1/(2μ)

ポイント はしごは剛体の王様。うでの長さ(Lsinθ と (L/2)cosθ)を作用線までの垂直距離で正しくとるのが山場。②「立てるほど安全、寝かせるほど滑る」— 式 tanθ ≧ 1/(2μ) が日常の感覚を定量化する。

解答
m₁ からの距離を x とすると、重心のまわりのモーメントのつり合い(重心 = 支えてつり合う点):
m₁gx = m₂g(L−x) → x = m₂L/(m₁+m₂)

ポイント 重心は重い方に寄る(m₂ が大きいほど x は…m₁ から遠く?いや近く — x = m₂L/(m₁+m₂) は m₂ 大で L に近づく:m₁ から遠ざかり m₂ に近づく ○)。A8-2 の数値(30 N と 20 N → 2:3 の内分)の一般化で、数学の内分点公式と同じ形。

解答
小球の端を原点にとる。小球(質量 m)は x = 0、棒(質量 2m)の重心は中央 x = L。
x_G = (m×0+2m×L)/(m+2m) = 2L/3

ポイント 複数の物体の重心は「各部分の重心に質量を集めてから平均」— 棒はまず中央の1点に置き換える。この2段構えで、どんな組み合わせ物体でも同じ計算になる。

解答
図示:机の端 O を回転軸に。棒の重心は O から机側に (L/2−x)、おもりは O から外側に x。
傾かない条件:O のまわりで、机側へ戻すモーメント ≧ 外へ倒すモーメント
Mg(L/2−x) ≧ mgx → ML/2 ≧ (M+m)x
x ≦ ML/{2(M+m)}

ポイント 転倒の境目は「机の端のまわりのモーメント勝負」— 全体の重心が机の端の真上に来た瞬間が限界、と言い換えてもよい。m = 0 で x ≦ L/2(棒単独なら半分まで出せる)○。

解答
① mg = 0.50×9.8 = 4.9 N(ア = 4、イ = 9)
② 浮力 = 読みの差 = 4.9−2.9 = 2.0 N(ウ = 2、エ = 0)
ρVg = 2.0 より V = 2.0/(1.0×10³×9.8) = 2.04×10⁻⁴ ≒ 2.0×10⁻⁴ m³(オ = 2、カ = 0)
③ 密度 = 0.50/(2.0×10⁻⁴) = 2.5×10³ kg/m³(キ = 2、ク = 5)
④ 浮力は密度に比例:2.0×1.2 = 2.4 N → 読み = 4.9−2.4 = 2.5 N(ケ = 2、コ = 5)
⑤ 完全に沈んだ後は、押しのける体積 V が変わらないので浮力も不変 → (b)(サ = (b))

ポイント
• ③の 2.5×10³ kg/m³ という値から「アルミニウム(2.7×10³)に近い」など物質の見当までつけるのが理科の読み。
• ⑤は頻出の定性設問 — 浮力を決めるのは「深さ」ではなく「押しのけた体積」(厳密には上下面の水圧差だが、その差は深さによらない)。

解答
① 垂直方向:N = mgcosθ
斜面方向(静止):f = mgsinθ
② f ≦ μN より mgsinθ ≦ μmgcosθ → tanθ ≦ μ
③ 滑り降りる直前:摩擦は斜面上向きに最大 μN。斜面方向のつり合い:
F+μmgcosθ = mgsinθ → F = mg(sinθ−μcosθ)
④ 滑り上がる直前:摩擦は斜面下向きに最大 μN:
F = mgsinθ+μmgcosθ → F = mg(sinθ+μcosθ)

ポイント
• ③と④の間、mg(sinθ−μcosθ) ≦ F ≦ mg(sinθ+μcosθ) の幅のどの F でも静止できる — 静止摩擦が「必要なだけ」調整してくれる範囲。この「解が幅をもつ」感覚が摩擦問題の核心。
• ③で F ≧ 0 が要るのは tanθ > μ のとき(だから問題文に条件がある)— 条件の意味を答案で一言触れると格が上がる。

解答
① 図示:重力 W(中央)、張力 T(B端、棒と角 θ)、蝶番の力(A端、H と V)。
A のまわりのモーメント:張力の「棒に垂直な成分」は Tsinθ だから
Tsinθ×L = W×(L/2) → T = W/(2sinθ)
② 水平:H = Tcosθ = W/(2tanθ)(壁から離れる向き…蝶番は棒を壁側へ引く/押す — 大きさで答える)
鉛直:V+Tsinθ = W → V = W−W/2 = W/2
③ モーメント:Tsinθ×L = W×(L/2)+W×(L/2) = WL
T = W/sinθ(①の 2 倍)

ポイント
• ①でモーメントに効くのは張力の垂直成分 Tsinθ だけ — 「うでの長さ × 力」を「棒に垂直な力の成分 × 棒の長さ」と読み替える技術。
• ③で張力がちょうど2倍になるのは、荷物を重心と同じ点(中点)に置いたから — 実質、棒の重さが 2W になったのと同じ。構造で答えを予言してから計算で確かめる、が理想の順序。

Q1:× — 等速直線運動は合力 0 で続く(慣性の法則)。「動き続ける = 押され続けている」という日常の直感(アリストテレス的誤解)を、ここで正式に捨てる。

Q2:(b) — a = F/m:質量は「加速のしにくさ」。F 一定なら a は m に反比例。

Q3:○ — 等速直線運動 ⇔ a = 0 ⇔ 合力 0。「動いているのに合力 0」があり得るのが第1法則の核心。

Q4:(b) — 作用反作用の2力は馬と荷車という別々の物体にはたらく。荷車が進むかどうかは「荷車にはたらく力」(馬が引く力 vs 摩擦)だけの勝負 — 概念チェック(第3章 Q1)の運動版。

Q5:(a) — F = mg を ma = F に入れると a = g:分子(重力)も分母(慣性)も m に比例して約分される。第2章 概念チェック Q1「同時に落ちる」の理論的な種明かし。

解答
ma = F より 2.0×a = 6.0
a = 3.0 m/s²(力の向き)

ポイント 運動方程式は「式を書いてから代入」— ma = F の1行を省かない。答えには向き(合力の向き)まで添える。

解答
F = ma = 4.0×0.50 = 2.0 N

ポイント N(ニュートン)= kg×m/s² — 単位が公式を覚えている。数値の掛け算と同時に単位も掛ける習慣を。

解答
m = F/a = 12/3.0 = 4.0 kg

ポイント 質量の逆算 — 「力を加えて加速度を測れば質量が分かる」:これが質量(慣性質量)の測定原理そのもの。無重力の宇宙船内でも使える体重測定法。

解答
図示:右向きを正。合力 = 10−4.0 = 6.0 N(右向き)。
2.0a = 6.0 → a = 3.0 m/s²(右向き)

ポイント ma = F の F は合力 — まず力を全部図示して符号つきで足す。逆向きの力があっても式は1本のまま。

解答
① 5.0a = 30−10 = 20 → a = 4.0 m/s²(右向き)
② v = at = 4.0×2.0 = 8.0 m/s

ポイント 運動方程式(この章)で a を求め、等加速度の公式(第1章)へ渡す — 章をまたぐリレーが力学の標準の流れ。

解答
① 右向きを正:2.0a = −4.0 → a = −2.0 m/s²
0 = 6.0−2.0t → t = 3.0 s
② v²の式:0−6.0² = 2×(−2.0)×x → x = 36/4.0 = 9.0 m

ポイント 運動と逆向きの力 → 負の加速度 — 第1章の制動問題の「原因(力)」がここで判明した形。力を加え続ければ、止まった後は左へ動き出す(投げ上げの水平版)。

解答
図示:張力 T(上)、重力 19.6 N(下)。上向きを正。
ma = T−mg:2.0×2.0 = T−19.6
T = 23.6 ≒ 24 N

ポイント 鉛直の運動方程式は「T − mg = ma」の型 — つり合い(T = mg)より加速のぶんだけ余計に引く必要がある。T = m(g+a) とまとめて覚えてもよい。

解答
1.0×a = 14.7−9.8 = 4.9
a = 4.9 m/s²(上向き)

ポイント 「張力から加速度を逆算」— 式は同じ1本。もし T < mg なら a は負(=減速しながら上昇 or 加速しながら下降)、と符号の意味まで読めるように。

解答
T = 20 N(限界)のとき:1.5a = 20−1.5×9.8 = 20−14.7 = 5.3
a = 3.5 m/s²

ポイント 「切れる限界 = 張力が最大値ちょうど」という条件の翻訳(第3章の「動き出す直前 = μN」と同じ発想)。ゆっくり(小さい a で)引けば細い糸でも持ち上がる — エレベーターのワイヤ設計の原理。

解答
図示:人に、垂直抗力 N(上)と重力 490 N(下)。上向きを正。
50×1.0 = N−490
N = 540 N

ポイント 体重計の読み = 垂直抗力 N(重力そのものではない!)。上向きに加速中は N > mg — 「体が重く感じる」の正体。

解答
下向きを正:50×1.4 = 490−N
N = 490−70 = 420 N

ポイント 下向き加速中は N < mg(体が浮く感じ)。まとめると N = m(g±a) — 「見かけの重力が g±a になる」という読み替えは第7章(慣性力)への伏線。

解答
588 > 490(静止時)なので上向きの加速度。上向きを正:
50a = 588−490 = 98 → a = 2.0 m/s²(上向き)

ポイント 読みの逆算から運動を推定 — 「体重計はエレベーターの加速度計になる」。588 N を見た瞬間に「重い → 上向き加速(上昇開始 or 下降ブレーキ)」と定性判断してから計算に入る。

解答
図示:引く力 9.8 N(前)、動摩擦力 μ'N(後)、N = mg = 19.6 N。
動摩擦力 = 0.25×19.6 = 4.9 N
2.0a = 9.8−4.9 = 4.9 → a = 2.45 ≒ 2.5 m/s²

ポイント 手順は「鉛直のつり合いで N を確定 → 摩擦 μ'N → 水平の運動方程式」の3段 — 摩擦のある問題の定跡。等速で引くには 4.9 N でよい(第3章 A6)から、超過分 4.9 N が加速を生む。

解答
① ma = −μ'mg → a = −μ'g = −0.50×9.8 = −4.9 m/s²(大きさ 4.9 m/s²)
② 0 = 9.8−4.9t → t = 2.0 s

ポイント m が約分されて消える:摩擦による減速の大きさは μ'g で質量によらない。「重い物ほど止まりにくい」わけではない(摩擦も重さに比例して増えるから)— Q5 と同じ約分の構造。

解答
v² の式:0−10² = 2×(−a)×20 → a = 2.5 m/s²
a = μ'g より μ' = 2.5/9.8 = 0.255 ≒ 0.26

ポイント 「滑った距離から μ' を逆算」— スリップ痕の長さから事故車の速度を推定する実務(交通鑑識)と同じ計算。第1章(運動)と本章(力)の往復で解く総合型。

解答
図示:重力の斜面成分 mgsin30°(斜面下向き)、垂直抗力 N(運動に垂直)。斜面下向きを正。
ma = mgsin30° → a = gsin30° = 9.8×0.50 = 4.9 m/s²

ポイント m が約分され a = gsinθ:質量によらない(重い物も軽い物も同じように滑る — 自由落下の斜面版)。θ = 90° で g(自由落下)、θ = 0 で 0、の極端検算も一瞬。

解答
5.0 = (1/2)×4.9×t² → t² = 2.04 → t ≒ 1.4 s
v² = 2×4.9×5.0 = 49 → v = 7.0 m/s

ポイント 運動方程式で a を出せば、あとは第1章の等加速度公式の世界 — 速さは v² 式(t 不要)で出すと 49 = 7² ときれいに開く。

解答
斜面上向きを正とすると a = −gsin30° = −4.9 m/s²(上りも下りも同じ)。
① 0−7.0² = 2×(−4.9)×L → L = 49/9.8 = 5.0 m
② 上り:0 = 7.0−4.9t → t = 10/7 s。対称性より往復は 2 倍:
t = 20/7 ≒ 2.9 s

ポイント なめらかな斜面の上り下りは「斜面上の投げ上げ」— 第2章の対称性(同じ時間で戻り、同じ速さ 7.0 m/s で帰着)がそのまま使える。加速度は上りでも下りでも斜面下向きに gsinθ、が肝。

解答
図示:斜面下向きに mgsin30°、上向きに動摩擦 μ'N、垂直方向は N = mgcos30°。
ma = mgsin30°−μ'mgcos30°
a = 9.8×(0.50−0.20×1.73/2) = 9.8×(0.50−0.173) = 9.8×0.327 = 3.2 m/s²

ポイント 粗い斜面の下り:a = g(sinθ−μ'cosθ) — 「滑る成分から摩擦を引く」。N = mgcosθ(斜面!)を mg と書くのが最多の事故。ここでも m は消える。

解答
a = g(sin45°−0.50×cos45°) = 9.8×(1.41/2)×(1−0.50) = 9.8×0.705×0.50 = 3.5 m/s²

ポイント sin45° = cos45° なので a = gcos45°(tan45°−μ') とくくれる — tanθ > μ' でないと加速しない(第3章 B3-2 の摩擦角と地続き)ことが式の形から見える。

解答
上りでは動摩擦力は斜面下向き(運動と逆)。斜面上向きを正:
ma = −mgsin30°−μ'mgcos30°
a の大きさ = 9.8×(0.50+0.173) = 9.8×0.673 = 6.6 m/s²(減速)

ポイント 摩擦の向きは「運動と逆」— 上りと下りで反転し、上りの減速(sinθ+μ'cosθ)は下りの加速(sinθ−μ'cosθ)より大きい。だから粗い斜面では「上りにかかる時間 < 下り」で、戻ったときの速さは初速より遅い(エネルギーの散逸:第5章へ)。

解答
図示:A には張力 T(右)。B には引く力 10 N(右)と張力 T(左)。
A:2.0a = T …(1) B:3.0a = 10−T …(2)
(1)+(2):5.0a = 10 → a = 2.0 m/s²
(1)より T = 4.0 N

ポイント 「物体の数だけ式 → 足すと内力 T が消える」— 連結体の基本操作。足した式 5.0a = 10 は「全体をひとかたまり(5.0 kg)と見た式」そのもの:2つの見方が同じ結論を出すことを確認。

解答
全体:5.0a = 15 → a = 3.0 m/s²
A:T = 1.0×3.0 = 3.0 N
(検算 B:15−3.0 = 12 = 4.0×3.0 ○)

ポイント 張力は「後ろの物体を加速させるのに必要なだけ」— T = (後ろの質量)×a。求めた T をもう一方の式に入れて成り立つか見る代入検算を習慣に。

解答
① 全体:5.0a = 10 → a = 2.0 m/s²
② B に着目:B を加速させる力は A からの押す力 N だけ。
2.0×2.0 = N → N = 4.0 N

ポイント 糸が「押す力」に変わっただけで構造は A8-1 と同一 — 前の物体だけ取り出すのが最短ルート。作用反作用より B も A を 4.0 N で押し返す(A の式:10−4.0 = 3.0×2.0 ○)。

解答
図示:A は下向きに動く(重い側)。A:下向き正、B:上向き正 — 動く向きにそろえる。
A:3.0a = 3.0×9.8−T B:2.0a = T−2.0×9.8
辺々足して:5.0a = 1.0×9.8 → a = 1.96 ≒ 2.0 m/s²
B の式より T = 2.0×(9.8+1.96) = 23.5 ≒ 24 N

ポイント アトウッドの器械:駆動するのは重さの差 9.8 N、動かすのは全質量 5.0 kg。張力 T(≒24 N)は「軽い側の重さ 19.6 N < T < 重い側の重さ 29.4 N」— このはさみ検算が滑車問題の品質保証。

解答
A:4.0a = T B:1.0a = 9.8−T
足して:5.0a = 9.8 → a = 1.96 ≒ 2.0 m/s²
T = 4.0×1.96 = 7.84 ≒ 7.8 N

ポイント 駆動力は B の重さ 9.8 N だけ(A の重さは垂直抗力と相殺)、動かすのは 2 物体ぶん 5.0 kg — 「駆動する力 ÷ 全質量」の構図はどの滑車問題でも同じ。

解答
A の摩擦力 = 0.20×4.0×9.8 = 7.84 N(運動と逆向き)。
A:4.0a = T−7.84 B:2.0a = 19.6−T
足して:6.0a = 11.76 → a = 1.96 ≒ 2.0 m/s²
T = 4.0×1.96+7.84 = 15.68 ≒ 16 N

ポイント 摩擦は「駆動力から先に引く」:a = (19.6−7.84)/6.0 — 分子が「正味の駆動力」。張力のはさみ検算:摩擦ぶん T は A9-2 より大きく、B の重さ 19.6 N よりは小さい ○。

解答
① 全体(3.0 kg):3.0×1.2 = F−3.0×9.8 → F = 3.0×11 = 33 N
② B に着目:1.0×1.2 = T−9.8 → T = 11 N

ポイント 「全体で F、下の物体だけ切り出して内力 T」— A10 は A8 を縦にした問題。T = m_B(g+a) は「B の見かけの重さ」(A4)と同じ式:見方がつながる。

解答
全体:3.0a = 36−29.4 = 6.6 → a = 2.2 m/s²
B:T = 1.0×(9.8+2.2) = 12 N

ポイント F → a → T の流れ作業。検算:A だけの式 36−T−2.0×9.8 = 2.0×2.2 → 36−12−19.6 = 4.4 ○ — 使わなかった物体の式が検算器になる。

解答
① 0.50×1.8 = T−0.50×9.8 → T = 0.50×11.6 = 5.8 N
② 下向きに a = 9.8:0.50×9.8 = 0.50×9.8−T → T = 0

ポイント ②は無重量状態 — おもりも糸も同じ g で落ちるので、糸はたるむだけで何も支えていない。「見かけの重さ = m(g−a) が a = g でゼロ」:宇宙ステーションの無重量も同じ原理(第8章・万有引力へ)。

解答
ma = F より a = F/m
1 N とは、ma = F で m = 1 kg、a = 1 m/s² となる力 — すなわち「質量 1 kg の物体に 1 m/s² の加速度を生じさせる力」。

ポイント 単位 N は独立した単位ではなく kg·m/s² の略称 — 力学のすべての式は、単位のレベルでも運動方程式でつながっている(次元チェックの根拠)。

解答
m₁ = F/a₁、m₂ = F/a₂。一体(m₁+m₂)に F を加えると
a = F/(m₁+m₂) = F/(F/a₁+F/a₂) = 1/(1/a₁+1/a₂)
a = a₁a₂/(a₁+a₂)

ポイント 質量は足し算、加速度は「逆数の足し算」(調和平均的な合成)— 合体すると必ず a < a₁ かつ a < a₂ になることも式から読める。抵抗の並列合成(第3巻)と同じ形が早くも登場。

解答
下向きを正として、重力 mg(下)と空気抵抗 kv(上・運動と逆):
ma = mg−kv
終端速度では a = 0(等速)だから 0 = mg−kv_f
v_f = mg/k

ポイント 「速くなるほど抵抗が増え、加速度が減り、やがて a = 0 の等速へ」— 落下し続けているのに合力 0、という第1法則の生きた実例(雨粒が人に刺さらない理由)。運動方程式は「加速度一定」以外の運動も支配する、その最初の一歩。

解答
上向き a:ma = N−mg → N = m(g+a)
下向き a:ma = mg−N → N = m(g−a)

ポイント まとめて「見かけの重さ = m(g±a)」— エレベーター内では重力加速度が g±a に化けたように見える、という読み替え(第7章・慣性力の先取り)。A4 の数値群の一般式。

解答
a = g(下向き)を N = m(g−a) に代入して N = 0
床と人が同じ加速度で落ちるため、押し合う力が消える — 無重量状態。

ポイント 「重力が消えた」のではなく「支えが消えた」— 重力 mg は健在で、それが全部加速に使われている。国際宇宙ステーションの無重量も「地球へ落ち続けている」状態(第8章)。

解答
上向きを正として ma = T−mg
a = T/m−g = (T−mg)/m

ポイント T > mg なら上向き加速、T = mg なら等速または静止、T < mg なら下向き加速 — ばねはかり1つがエレベーターの加速度計になる。A4-3・A10-3 の一般式。

解答
前(m₁):m₁a = F−T 後(m₂):m₂a = T
足して:a = F/(m₁+m₂)
後の式より T = m₂F/(m₁+m₂)

ポイント T は F より必ず小さい(F の m₂/(m₁+m₂) 倍)— 糸が伝えるのは「後ろの荷物を加速させるぶんだけ」。m₂ → 0 で T → 0、m₁ → 0 で T → F、の極端検算が一瞬でできる形。

解答
全体:a = F/(M+m)。前の B に着目して
N = ma = mF/(M+m)
B の背後から押すと、前は A(質量 M)なので
N' = MF/(M+m)
M > m なら N' > N — 軽い方を前にして押すと、間の力は小さい。

ポイント 間の力は「前にある質量に比例」— どちらから押すかで内力が変わる、という結果は直感的でないぶん出題価値が高い。合計 N+N' = F になる対称性も美しい。

解答
全体:3ma = F → a = F/(3m)
T₂ は最後尾 1 両だけを引く:T₂ = ma = F/3
T₁ は後ろ 2 両を引く:T₁ = 2ma = 2F/3

ポイント 連結器の張力は「そこから後ろの質量ぶん」— 先頭に近いほど大きい(F → 2F/3 → F/3 と後ろへ等分ずつ減る)。列車の連結器が先頭側ほど頑丈な理由。

解答
m₁ 側が下がる。動く向きを正として
m₁:m₁a = m₁g−T m₂:m₂a = T−m₂g
足して:a = (m₁−m₂)g/(m₁+m₂)
m₂ の式より T = m₂(g+a) = 2m₁m₂g/(m₁+m₂)

ポイント 検算3連発:m₁ = m₂ で a = 0(つり合い)○/m₂ = 0 で a = g(自由落下)○/T は m₂g < T < m₁g の間 ○。「差で駆動、和で慣性」がアトウッドの合言葉。

解答
M:Ma = T m:ma = mg−T
足して:a = mg/(M+m)
T = Ma = Mmg/(M+m)

ポイント 駆動力は mg だけ(M の重力は垂直抗力と相殺して不参加)。M → 0 で a → g、M → ∞ で a → 0 — 極端の確認が式の信頼を作る。A9-2 の一般式。

解答
摩擦力 μ'Mg を駆動力から引いて
a = (m−μ'M)g/(M+m)
動き出す条件:m の重さが最大静止摩擦力を上回ること
mg > μMg → m > μM

ポイント 「動くかどうか」は静止摩擦 μ、「動いてからの加速度」は動摩擦 μ' — 2つの係数の役割分担を1問の中で使い分ける。a の式は μ' = 0 で B4-2 に戻る ○。

解答
B が下がり、A が斜面を上がる。動く向きを正として
A:Ma = T−Mgsinθ B:ma = mg−T
足して:a = (m−Msinθ)g/(M+m)
B の式より T = m(g−a) = Mm(1+sinθ)g/(M+m)

ポイント 駆動力は「mg と Mgsinθ の差」、慣性は「M+m の和」— アトウッドの構造そのまま(θ = 90° で B4-1、θ = 0° で B4-2 に一致する万能式)。この2つの極端チェックで式を信じられる。

解答
A は斜面を上るので、動摩擦力 μ'Mgcosθ は斜面下向き:
A:Ma = T−Mgsinθ−μ'Mgcosθ B:ma = mg−T
a = {m−M(sinθ+μ'cosθ)}g/(M+m)

ポイント 摩擦は例によって「駆動力から引く」— 分子の M(sinθ+μ'cosθ) は A7-3(粗い斜面の上り)の減速要因そのもの。部品の組み合わせで新しい式が組める感覚を。

解答
m₁ 側が下がる。動く向きを正として
m₁:m₁a = m₁gsinθ₁−T m₂:m₂a = T−m₂gsinθ₂
足して:a = (m₁sinθ₁−m₂sinθ₂)g/(m₁+m₂)

ポイント 各物体の「駆動への寄与」は mgsinθ(斜面成分) — 両側とも斜面になっても、「成分の差 ÷ 全質量」の設計思想は不変。θ₁ = 90° とすれば B5-1 に戻る。

解答
一体で動くとき:a = F/(M+m)
上の物体を加速させている力は、台から受ける静止摩擦力 f(進行方向向き)だけ:
f = ma = mF/(M+m)
滑らない条件:f ≦ μmg より mF/(M+m) ≦ μmg
F ≦ μ(M+m)g

ポイント 摩擦力が物体を「加速させる」側に回る — 摩擦 = 邪魔者、という思い込みを壊す重要問題(歩行も車の発進も、進めるのは摩擦のおかげ)。静止摩擦なのに動いている(台と物体の間に滑りがないから静止摩擦)、という言葉の整理も。

解答
荷物を加速させるのは荷台からの静止摩擦力 f = ma。
滑らない条件:ma ≦ μmg → a ≦ μg

ポイント m が消えて「加速度の上限は μg」— 荷物の重さによらない。急発進・急ブレーキ(|a| > μg)で荷物が滑る境目を1つの数で言える。タイヤと路面でも同じ式(車の限界加速度)。

解答
電車(地面)から見て小球は加速度 a で運動している。水平・鉛直で運動方程式:
水平:Tsinθ = ma 鉛直:Tcosθ = mg
割って tanθ = a/g
2乗和より T = m√(a²+g²)

ポイント 糸の傾きが加速度計になる(tanθ を読めば a が分かる)。「重力 g と慣性の効果 a の合成が"見かけの重力" √(a²+g²)」という見方は、第7章(慣性力)でそのまま公式化される — 本章の到達点にして次章への橋。

解答
① N = mg = 50×9.8 = 490 N(アイウ = 490)
② a = 2.0/2.0 = 1.0 m/s²(上向き)。N = 50×(9.8+1.0) = 540 N(エオカ = 540)
③ 等速 ⇔ a = 0 ⇔ つり合い → 490 N:(b)(キ = (b))
④ a = 1.0 m/s²(下向き)。N = 50×(9.8−1.0) = 440 N(クケコ = 440)
⑤ 変わるのは垂直抗力(読み)だけで、重力 mg = 490 N はつねに不変:(b)(サ = (b))

ポイント
• 読みは 540 → 490 → 440 N と変わるのに重力は不動 — 「体重計は重力計ではなく垂直抗力計」が本問のメッセージ。
• 「上昇中なのに読みが軽くなる」④は、運動の向きでなく加速度の向きが読みを決めることの念押し(概念チェック第1章 Q3 と同族)。

解答
① 全体:(M+m)a = F → a = F/(M+m)
② B:T = ma = mF/(M+m)
③ T ≦ T₀ より mF/(M+m) ≦ T₀
F ≦ (M+m)T₀/m
④ 切れた直後 — A:引く力 F だけになるので a_A = F/M(進行方向、切れる前より大きくなる)
B:水平方向に力がなくなるので a_B = 0
その後の B は、切れた瞬間の速度のまま等速直線運動を続ける(慣性の法則。なめらかな面なので減速もしない)

ポイント
• ④で「B は急に止まる」が最頻出の誤答 — 力が消えて変わるのは加速度であって速度ではない。速度は履歴、加速度は現在の力、という時間構造の理解が試される。
• ③のような「限界条件 → 不等式」への翻訳は、第3章(切れる糸・滑る条件)から一貫する型。

解答
① B の重さ:3.0×9.8 = 29.4 N/A の斜面成分:4.0×9.8×sin30° = 19.6 N
29.4 N > 19.6 N なので B が下がり、A が斜面を上る向きに動き出す。
② 動く向きを正として
A:4.0a = T−19.6 B:3.0a = 29.4−T
足して:7.0a = 9.8 → a = 1.4 m/s²
③ B の式より T = 29.4−3.0×1.4 = 25.2 ≒ 25 N
(検算 A:25.2−19.6 = 5.6 = 4.0×1.4 ○)
④ v = at = 1.4×2.0 = 2.8 m/s
⑤ 糸を切ると A には斜面成分だけが残る:
a = gsin30° = 4.9 m/s²、斜面下向き
A は上向きに 2.8 m/s で動いているので、減速しながら斜面を上り続け、いったん止まってから滑り降りてくる(斜面上の「投げ上げ」— 第2章の対称運動)。

ポイント
• ③の張力 25 N は「A の斜面成分 19.6 N < T < B の重さ 29.4 N」の間 — 綱引きの仲裁人は両者の言い分の間、というはさみ検算。
• ⑤は「糸が切れても A はすぐ落ちない」— 実戦4-2 ④と同じ慣性のドラマを斜面で再演。加速度は瞬時に切り替わり、速度は連続:このコントラストが運動方程式の時間観。

Q1:(b) — 手の力は鉛直上向き、移動は水平:cos90° = 0 で仕事は 0。「疲れる」ことと物理の「仕事」は別物 — 仕事は「力の向きに動かした」ときだけ。

Q2:× — K = (1/2)mv² は v の2乗に比例:速さ2倍で 4倍。時速 100 km の事故が 50 km の4倍破壊的な理由。

Q3:(c) — 動摩擦力はつねに運動と逆向き(cos180° = −1)→ 負の仕事。奪われたエネルギーは熱になる。

Q4:(c) — どちらも mgh がそっくり (1/2)mv² に変わる(斜面の垂直抗力は仕事 0)→ v = √(2gh) で同じ。かかる時間と向きは違うが、速さは経路によらない — 保存則の威力。

Q5:× — U = (1/2)kx² は x の2乗:伸び2倍で 4倍。力(kx:2倍)と距離(2倍)の両方が効くから。

解答
W = Fx = 20×5.0 = 100 J(= 1.0×10² J)

ポイント 仕事 = 力 × 力の向きに動いた距離、単位 J = N·m。「100 J」の量感:リンゴ(約1 N)を 100 m 持ち上げるくらい。

解答
① 一定の速さ ⇔ つり合い:持ち上げる力 = mg = 98 N
W = 98×2.0 = 196 ≒ 2.0×10² J
② 重力は移動と逆向き:W = −98×2.0 = −2.0×10² J

ポイント ①+② = 0 — 合計の仕事が 0 だから運動エネルギーが変わらない(一定の速さ)、とエネルギー原理と整合。重力の「負の仕事」の分だけ位置エネルギーが蓄えられている(A5 へ)。

解答
W = Fx cosθ = 10×4.0×cos30° = 40×1.73/2 = 34.6 ≒ 35 J

ポイント 斜めの力は「移動方向の成分 Fcosθ だけが仕事をする」— 鉛直成分は床への押しつけを弱めるだけで仕事はしない。cosθ の由来は力の分解(第3章)。

解答
① 8.0×3.0 = 24 J
② 移動と逆向き:−5.0×3.0 = −15 J
③ どちらも移動(水平)と垂直:ともに 0
④ 24+(−15)+0+0 = 9.0 J

ポイント 力ごとに仕事を出して符号つきで合計 — この合計(9.0 J)がそのまま運動エネルギーの増加分になる(A4 へ)。垂直な力の仕事 0 は毎回明記する癖を。

解答
手:+20×2.0 = 40 J/重力:−40 J/合計:0

ポイント 「ゆっくり(一定の速さで)」は「合計の仕事 0」の合図 — 運動エネルギーが変わらないから。手がした 40 J は消えたのではなく mgh として貯金された。

解答
① 一定の速さ ⇔ 引く力 = mgsin30° = 49×0.50 = 24.5 N
W = 24.5×4.0 = 98 J
② 高さの上昇 = 4.0×sin30° = 2.0 m
W = −mgh = −49×2.0 = −98 J

ポイント 重力の仕事は「−mg×(高さの変化)」— 斜めに動いても効くのは高さだけ(水平移動分は垂直で仕事 0)。①と②が打ち消し合うのは A2-2 と同じ構造。

解答
① W = mgh = 30×9.8×1.5 = 441 ≒ 4.4×10² J
② 斜面の sinθ = 1.5/3.0 = 0.50。力 = mgsinθ = 294×0.50 = 1.5×10² N
仕事 = 147×3.0 = 441 ≒ 4.4×10² J(①と同じ)

ポイント 仕事の原理:力は半分、距離は2倍、仕事は同じ — 「道具は仕事をまけてくれない」。てこ(第3章 A8-3)も滑車もすべて同じ帳簿。

解答
W = mgh = 1.0×10²×9.8×2.0 = 1960 J
P = W/t = 1960/4.9 = 4.0×10² W

ポイント 仕事率 = 仕事のペース(1秒あたりの仕事、単位 W = J/s)。同じ仕事でも速くやるほど大きな P が要る — モーターの「能力」を表す量。

解答
P = Fv = 2.0×10³×20 = 4.0×10⁴ W(= 40 kW)

ポイント P = Fv は「1秒に v [m] 進む間に Fv [J] の仕事」から。単位の検算:N×m/s = J/s = W ○。等速なのに仕事率が要るのは、抵抗(同じ 2.0×10³ N)が同じペースでエネルギーを奪っているから。

解答
① K = (1/2)×2.0×3.0² = 9.0 J
② K = (1/2)×2.0×6.0² = 36 J(4倍)

ポイント 速さ2倍 → K は4倍(v²)。概念チェック Q2 の数値版 — 「2乗で効く」感覚は制動距離(第1章)ともつながる。

解答
エネルギー原理:(1/2)×4.0×v²−0 = 50
v² = 25 → v = 5.0 m/s

ポイント 「された仕事のぶんだけ運動エネルギーが増える」— 力の詳細(大きさ・時間)を知らなくても、仕事の合計さえ分かれば速さが出る。

解答
① K の変化 = 0−(1/2)×2.0×10² = −100 J = 摩擦の仕事 → −1.0×10² J
② 動摩擦力 = 0.25×2.0×9.8 = 4.9 N
100 = 4.9×d → d = 20.4 ≒ 20 m

ポイント 「失った運動エネルギー = 摩擦力 × 距離」— 第1章・第4章で運動方程式から出した停止距離と同じ答えが、1行の帳簿で出る。これがエネルギーで解く旨み。

解答
U = mgh = 2.0×9.8×1.5 = 29.4 ≒ 29 J

ポイント U = mgh は「そこまで持ち上げるのに要した仕事の貯金」(A1-2)。基準(h = 0 の場所)を書くのが作法 — 基準が変われば値も変わる。

解答
① U = 1.0×9.8×8.0 = 78.4 ≒ 78 J
② h = 0 だから 0 J

ポイント 位置エネルギーの値は基準しだい(負にもなる)— 物理的に意味があるのは差だけ。保存則で使うのも差なので、基準はいちばん計算が楽な場所に置けばよい。

解答
W = mg×(高さの減少) = 2.0×9.8×20 = 392 ≒ 3.9×10² J

ポイント 重力の仕事 = 位置エネルギーの減少分 — U が W に「両替」される関係。途中の経路(まっすぐでも斜めでも)によらず、高さの差だけで決まる(保存力の性質)。

解答
U = (1/2)kx² = (1/2)×200×0.10² = 1.0 J

ポイント (1/2) を忘れるのが最頻出ミス — 弾性力は 0 から kx までだんだん増えるので、仕事は平均の力 (1/2)kx × 距離 x(F-x グラフの三角形の面積)。

解答
① (1/2)×50×0.20² = 1.0 J
② (1/2)×50×0.40² = 4.0 J(4倍)

ポイント 伸び2倍 → エネルギー4倍(概念チェック Q5)。「あと少し余計に引くほど大変になる」— 2乗の実感。

解答
8.0 = (1/2)×400×x² → x² = 0.040 → x = 0.20 m

ポイント エネルギーからの逆算。x² = 0.040 → x = 0.20 の平方根処理(0.04 = 0.2² を見抜く)は数値計算の腕の見せどころ。

解答
図示:「前」= 頂上(v = 0、h = 4.9 m)、「後」= 下端(v、h = 0)。垂直抗力は仕事をしないので保存則:
mgh = (1/2)mv² → v = √(2×9.8×4.9) = √96.04 = 9.8 m/s

ポイント m が消える(速さは質量によらない)。斜面の角度も長さも式に登場しない — 効くのは高さだけ。概念チェック Q4 の計算版。

解答
張力は運動とつねに垂直で仕事 0 → 保存則:
mg×0.40 = (1/2)mv² → v = √(2×9.8×0.40) = √7.84 = 2.8 m/s

ポイント 曲線運動でも「仕事をしない力(張力)は無視して保存則」— 運動方程式では手が出ない円弧の運動が、エネルギーなら1行。「なぜ張力は仕事をしないか」を言えること(B6-2)が理解の証。

解答
① (1/2)mv₀² = mgh → h = v₀²/(2g) = 19.6²/19.6 = 19.6 ≒ 20 m
② (1/2)mv₀² = (1/2)mv²+mgh より
v² = 19.6²−2×9.8×14.7 = 384.16−288.12 = 96.04 → v = 9.8 m/s

ポイント 第2章 A3・実戦2-1 と同じ答えを別の道具で — 時刻を一切使わずに高さと速さが結ばれる。「t を問われたら運動の公式、v と h の関係ならエネルギー」の使い分けを体感する1問。

解答
(1/2)kx² = (1/2)mv²:(1/2)×100×0.20² = 2.0 J
2.0 = (1/2)×0.50×v² → v² = 8.0 → v = 2√2 ≒ 2.8 m/s

ポイント ばねの貯金 (1/2)kx² が運動エネルギーに全額両替される(水平なので mgh は不動、面はなめらか)。「離れた直後」= ばねが自然長に戻った瞬間。

解答
縮みが最大 ⇔ 物体の速さが 0 の瞬間:
(1/2)×1.0×4.0² = (1/2)×400×x² → 8.0 = 200x² → x = 0.20 m

ポイント 「最大の縮み」の翻訳は「速さ 0」— 運動エネルギーが全額ばねに預けられた瞬間。このあと球は押し返され、同じ速さ 4.0 m/s で戻っていく(可逆)。

解答
弾性エネルギーがそのまま mgh になるまで追跡してよい:
(1/2)kx² = mgh → 2.0 = 0.50×9.8×h → h = 0.408 ≒ 0.41 m

ポイント ばね → 運動 → 高さの3段両替を、最初と最後だけで直結できる(途中の 2.8 m/s を経由しなくてよい)— 「前と後だけ見る」エネルギーの真骨頂。

解答
失う運動エネルギー = 摩擦熱:
(1/2)×2.0×6.0² = 0.30×2.0×9.8×d
36 = 5.88d → d = 6.12 ≒ 6.1 m

ポイント 摩擦がある = 保存則は使えない、が「E の減少 = f'×距離」の帳簿は必ず成立。左辺は J、右辺も N×m = J — 単位の照合が式の正しさを保証する。

解答
mgh = (1/2)mv²+f'd(位置エネルギー = 運動エネルギー+摩擦熱):
1.0×9.8×2.0 = (1/2)×1.0×v²+2.45×4.0
19.6 = (1/2)v²+9.8 → v² = 19.6 → v = 4.4 m/s

ポイント 帳簿の型:「入り(mgh)= 残り(K)+目減り(f'd)」。摩擦がなければ v = √(2gh) = 6.3 m/s — 摩擦が半分(9.8 J)を熱として持っていった、と比較で読む。

解答
① (1/2)×2.0×(8.0²−4.0²) = 64−16 = 48 J
② 48 = f'×6.0 → f' = 8.0 N
μ' = 8.0/(2.0×9.8) = 0.408 ≒ 0.41

ポイント 速さ2点の測定から摩擦を逆算 — エネルギーは「測れる量(v、d)」から「見えない量(f'、μ')」を掘り出す測定器にもなる。

解答
エネルギー原理:(1/2)mv²−0 = Fd → v = √(2Fd/m)
別ルート:a = F/m(運動方程式)、v² = 2ad(等加速度)→ v² = 2Fd/m — 一致 ○

ポイント エネルギー原理は「運動方程式を距離にそって積み上げた式」— 新しい法則ではなく、同じ法則の別の顔。2ルートの一致で、以後は安心して速い方(エネルギー)を使える。

解答
0−(1/2)mv₀² = −μ'mgd
d = v₀²/(2μ'g)

ポイント 第1章 B4-1 の制動距離、第4章 A5 の運動方程式ルートと同じ結果が1行 — v₀² に比例(速さ2倍で4倍)という構造が式の顔に出ている。m は消える。

解答
一定の速さ ⇔ つり合い:駆動力 F = mgsinθ
P = Fv = mgv sinθ

ポイント 「毎秒 vsinθ だけ高さを稼ぐ → 毎秒 mg×vsinθ の位置エネルギーを供給」と読むと、P = (mgh の増加ペース)そのもの。θ → 0 で P → 0(平地は力不要)○。

解答
mgh = (1/2)mv² → v = √(2gh)
角度が式に現れない理由:垂直抗力は仕事をせず、重力の仕事は高さの差だけで決まるから。どんな形の坂でも(曲がっていても)、なめらかなら下端の速さは同じ。

ポイント 「速さは高さが決める」— 自由落下(第2章)とも同じ値。ジェットコースターの設計が「高さ」を最重要視する理由。

解答
最下点からの高さ:h = L−Lcosθ = L(1−cosθ)
mgh = (1/2)mv² → v = √(2gL(1−cosθ))

ポイント 振り子の頻出量 h = L(1−cosθ) は図の「L から Lcosθ を引く」で作る — この1行が振り子・円運動(第7章)まで通用する部品。θ = 90° で v = √(2gL) ○。

解答
(1/2)mv₀² = (1/2)mv²+mgh → v = √(v₀²−2gh)
式に α が含まれない — 同じ高さなら速さは同じ(向きは異なる)。
最高点では h = H = v₀²sin²α/(2g) だから
v² = v₀²−v₀²sin²α = v₀²cos²α → v = v₀cosα ○(第2章 B6-1 と一致)

ポイント 「エネルギーは速さしか語らない(向きは語らない)」— それでも第2章の成分計算と完全に整合する。2つの道具の答え合わせは、理解の最良のテスト。

解答
(1/2)kx² = (1/2)mv² → v = x√(k/m)

ポイント 硬いばね(k 大)・軽い球(m 小)ほど速い — 比が根号に入る形。次元:√(N/m ÷ kg)×m = √(1/s²)×m = m/s ○。

解答
外力の仕事 = 弾性エネルギーの増加分:
W = (1/2)kx₂²−(1/2)kx₁² = (1/2)k(x₂²−x₁²)

ポイント (1/2)k(x₂−x₁)² は誤り — 仕事は「エネルギーの差」であって「差のエネルギー」ではない。F-x グラフの台形の面積((kx₁+kx₂)/2×(x₂−x₁))と一致することも確認 ○。

解答
縮み最大 ⇔ 物体の速さ 0:
(1/2)mv² = (1/2)kx² → x = v√(m/k)
翻訳:「縮みが最大になる瞬間 = 物体が一瞬止まる瞬間 = 運動エネルギーが全額弾性エネルギーに変わった瞬間」。

ポイント 「最大・最小」は必ずエネルギーの言葉に翻訳してから式にする(最高点 ⇔ v = 0、最大速さ ⇔ U 最小)。B3-1 と互いに逆の式になっている(発射と吸収の対称)。

解答
(後の E)−(前の E)= 非保存力の仕事:
(1/2)mv²−(1/2)mv₀² = −μ'mgd
(水平なので位置エネルギーは変化しない)

ポイント これが摩擦つき問題の万能テンプレート — 右辺は必ず負(エネルギーは減る一方)。減った分 μ'mgd がそのまま発生した摩擦熱。

解答
滑る距離 d = h/sinθ、摩擦力 = μ'mgcosθ。
mgh−μ'mgcosθ×(h/sinθ) = (1/2)mv²
v = √{2gh(1−μ'/tanθ)}

ポイント μ' → 0 で √(2gh)(B2-1)に戻る ○/tanθ = μ' で v = 0(滑り出すぎりぎりの角:第3章の摩擦角!)○ — 2つの極端検算が式の信頼を作る。摩擦があると角度が式に復活する(経路が効く)ことに注意。

解答
① 出発点と到達点の高さの差ぶんが摩擦熱に:
mgh = mgh'+μ'mgL → h' = h−μ'L
② 最終的に止まる(K = 0、坂の上でもない)まで、失った位置エネルギー mgh がすべて摩擦熱 μ'mgD に:
mgh = μ'mgD → D = h/μ'

ポイント ②は往復の詳細を一切追わないのが正解 — 「最初の貯金 mgh を、1 m あたり μ'mg ずつ使い切る」だけの帳簿。何往復するかを数える解法(可能だが大変)との対比で、エネルギーの視点の強さが際立つ名問。

解答
(1/2)kx₀² = (1/2)mv²+mgh
v = √(kx₀²/m−2gh)

ポイント 3つの通貨(ばね・運動・高さ)が1つの式に同居する標準形。根号の中が負なら「その高さには届かない」— 届く条件 h ≦ kx₀²/(2mg) まで読めれば完璧。

解答
はなした点を高さの基準にすると、自然長の位置は高さ d:
(1/2)kd² = (1/2)mv²+mgd → v = √(kd²/m−2gd)
最高点(自然長から H)まで通して:
(1/2)kd² = mg(d+H) → H = kd²/(2mg)−d

ポイント 鉛直のばねでは「ばねを縮めている間も高さが変わる」— mgd の項を落とすのが最頻出ミス。最後の式は「弾性の貯金 = 持ち上げた全高さ分の mgU」と読める。

解答
① 自然長の位置を基準に、x 下がった点で(最下点では v = 0):
mgx = (1/2)kx² → x(kx−2mg) = 0 → 最大の伸び x = 2mg/k
② 速さ最大 ⇔ 加速度 0 ⇔ 力のつり合いの位置(伸び mg/k)。
そこでの保存則:mg×(mg/k) = (1/2)k(mg/k)²+(1/2)mv²
(1/2)mv² = m²g²/k−m²g²/(2k) = m²g²/(2k)
v = g√(m/k)

ポイント ①最大の伸びはつり合いの伸びのちょうど2倍(2mg/k vs mg/k)— 落とした球はつり合い点を通り過ぎて同じだけ下まで行く。②「つり合い点で最速」— つり合い点を中心に行き来するこの運動の正体は単振動(第8章)。エネルギーが先に答えの形を教えてくれる。

解答
①運動方程式:a = gsinθ(第4章 A6)。等加速度:v² = 2ad = 2gdsinθ → v = √(2gdsinθ)
②高さの差 h = dsinθ。保存則:mgh = (1/2)mv² → v = √(2gdsinθ)
一致 ○

ポイント どちらでも解けるが、①は「途中の時刻・加速度も分かる」、②は「速い」。問われた量で道具を選ぶ — t なら①、v と位置だけなら② — が力学の作戦眼。

解答
仕事は W = Fxcosθ で、θ は力と移動の向きのなす角。
振り子の張力は糸の方向、運動(速度)は円の接線方向で、つねに垂直(θ = 90°、cosθ = 0)。垂直抗力も面に垂直、移動は面に沿う方向で垂直。
よってどちらも仕事をしない(W = 0)∎

ポイント 「仕事をしない力」の見分けは移動方向との角度だけ — 力の大きさがどれほど大きくても垂直なら 0。この一言が「曲線運動でも保存則が使える」根拠のすべて。

解答
1 秒間に持ち上がる水の位置エネルギー:qgh [J]
よって P = qgh

ポイント 仕事率 = 「毎秒のエネルギー供給」と読む型。単位:kg/s×m/s²×m = J/s = W ○。揚水発電・ダムの出力計算の骨格そのもの。

解答
① mgh = (1/2)mv²:v = √(2×9.8×19.6) = 19.6 ≒ 20 m/s(アイ = 20)
② v² = 2g(19.6−14.7) = 2×9.8×4.9 = 96.04 → v = 9.8 m/s(ウ = 9、エ = 8)
③ 保存則の各項はすべて m に比例 → m は消える:(b)(オ = (b))
④ ぎりぎり C に届く条件:失う量 <(A と C の位置エネルギーの差)
mgΔh = 5.0×10²×9.8×4.9 = 2.401×10⁴ ≒ 2.4×10⁴ J(カ = 2、キ = 4)

ポイント
• ②は「A から B」でなく「A から C」を直結 — 高低差 4.9 m だけが効く。B を経由する計算(20 m/s から減速)でも同じ答え ○。
• ④の「失ってよい上限 = 余裕分の位置エネルギー」という読み替えは、安全設計の考え方そのもの。

解答
① (1/2)×100×0.40² = 8.0 J
② 8.0 = (1/2)×1.0×v² → v² = 16 → v = 4.0 m/s
③ μ'mgL = 0.25×1.0×9.8×2.0 = 4.9 J
④ 残り:8.0−4.9 = 3.1 J = (1/2)×1.0×v² → v² = 6.2 → v ≒ 2.5 m/s
⑤ 蓄えは (1/2)×100×0.20² = 2.0 J < 4.9 J なので区間内で停止。
2.0 = 0.25×1.0×9.8×d = 2.45d → d = 0.816 ≒ 0.82 m

ポイント
• ④で「速さが半分より少し上」になるのは、エネルギーが 8.0 → 3.1 J と半分以下になったから — 速さは √ でしか減らない(2乗の関係の逆向き)。
• ⑤の判定「持ち金 2.0 J vs 通行料 4.9 J」— 先にエネルギーの大小比較をしてから式を立てる、が散逸問題の作法。

解答
① 上り:(1/2)mv₀² = mgd sinθ+μ'mgcosθ×d
d = v₀²/{2g(sinθ+μ'cosθ)}
② 下り:mgd sinθ−μ'mgcosθ×d = (1/2)mv₁²
v₁² = 2gd(sinθ−μ'cosθ) = v₀²×(sinθ−μ'cosθ)/(sinθ+μ'cosθ)
v₁ = v₀√{(sinθ−μ'cosθ)/(sinθ+μ'cosθ)}
③ 失われた力学的エネルギー:
(1/2)mv₀²−(1/2)mv₁² = (1/2)mv₀²×{1−(sinθ−μ'cosθ)/(sinθ+μ'cosθ)}
= (1/2)mv₀²×2μ'cosθ/(sinθ+μ'cosθ) = μ'mgcosθ×2d
これは 動摩擦力 μ'mgcosθ × 総距離 2d(往復)に等しい ∎

ポイント
• ②の形:v₁ < v₀(根号の中 < 1)— 「同じ高さに戻っても同じ速さでは戻れない」のが非保存力の世界。μ' → 0 で v₁ → v₀(第2章の対称性)に戻る ○。
• ③は「消えたエネルギーの行き先(摩擦熱)を特定して帳簿を閉じる」— エネルギーは消滅せず形を変える、という次章以降(熱・第2巻)へ続く大原則の力学版。

Q1:(b) — p = mv:同じ v なら質量に比例。「止めにくさ・進路を変えにくさ」の量が運動量 — トラックが急に止まれない理由。

Q2:× — 力積(= 運動量の変化)は受け方によらず同じ。手を引くのは Δt を長くして「平均の力」を小さくする工夫(F = 一定の力積 ÷ 時間)。エアバッグ・マットも同じ原理。

Q3:(a) — 投げる力は人とボールの内力(作用反作用)なので、全体の運動量は 0 のまま:mv(ボール)+MV(人)= 0。人が逆向きに動くのは保存則の要請そのもの。

Q4:× — 運動量は(外力の力積が無視できれば)必ず保存、運動エネルギーは e = 1 のときだけ。減った分は熱や変形のエネルギーになる。

Q5:(b) — 速さが e 倍(0.50 倍)→ 高さは v² に比例するので e² = 0.25 倍。速さと高さで「倍率が2乗ずれる」ことに注意。

解答
p = mv = 2.0×5.0 = 10 kg·m/s

ポイント 運動量の単位は kg·m/s(= N·s)。「向き」も持つ量なので、直線上では以後つねに符号つきで扱う。

解答
① 1.0×10³×20 = 2.0×10⁴ kg·m/s
② 0.15×40 = 6.0 kg·m/s

ポイント 速いボールより遅い車の方が桁違いに大きい — 運動量は質量の重みが効く量。①のような ×10ⁿ の掛け算(指数は足し算)も淡々と。

解答
v = p/m = 8.0/0.40 = 20 m/s

ポイント 割り算1回の逆算 — ただし 0.40 で割る計算(8.0/0.4 = 20)を暗算で誤らないこと。単位:kg·m/s ÷ kg = m/s ○。

解答
I = FΔt = 20×0.30 = 6.0 N·s

ポイント 力積 = 力 × 時間。「どれだけ強く」×「どれだけ長く」— 運動量をどれだけ変えられるかの通貨。

解答
力積 = F-t グラフの面積 = (1/2)×0.20×100 = 10 N·s

ポイント 力が変化するときは「F-t グラフの面積 = 力積」— v-t グラフの面積 = 変位(第1章)と同じ発想。衝突の瞬間の複雑な力も、面積なら扱える。

解答
F = I/Δt = 9.0/0.030 = 3.0×10² N

ポイント 平均の力 = 力積 ÷ 時間 — 一瞬の衝突でも「均せば何 N か」を語れる。接触時間が短いほど平均の力は巨大になる(A4 へ)。

解答
I = mv'−mv = 2.0×7.0−2.0×3.0 = 8.0 N·s(運動の向き)

ポイント 力積 = 運動量の変化 — 「後 − 前」の順で引く。力の詳細(大きさ・時間の内訳)を知らなくても変化だけで力積が決まる。

解答
0.50×v−0 = 6.0 → v = 12 m/s

ポイント 力積からの逆算。エネルギー原理(仕事 → 速さ)の時間版 — 与えた力積のぶんだけ mv が生まれる。

解答
図示:右を正。前:+15 m/s、後:−25 m/s。
I = 0.20×(−25)−0.20×(+15) = −5.0−3.0 = −8.0 N·s、すなわち左向きに 8.0 N·s

ポイント 向きが変わる衝突は符号の見せ場 — 変化量は 25−15 = 10 ではなく 25+15 = 40 m/s ぶん(第1章 A5-3 と同じ罠)。打ち返しは「止めてから逆に打ち出す」2倍仕事。

解答
はね返る向きを正:Δp = 0.15×{20−(−20)} = 6.0 N·s
F = 6.0/0.010 = 6.0×10² N

ポイント ボールの重さ(約 1.5 N)の 400 倍の力が一瞬はたらく — 衝突の力の激しさは「短い Δt で割る」ことから生まれる。

解答
Δp = 0.045×60 = 2.7 N·s
F = 2.7/(5.0×10⁻⁴) = 5.4×10³ N

ポイント 5.4×10³ N ≒ 550 kg 相当の力 — 高速カメラでしか見えない世界を、力積の割り算が教えてくれる。10⁻⁴ で割る指数計算を丁寧に。

解答
Δp = 2.0×6.0 = 12 N·s(どちらも同じ)
① F = 12/0.30 = 40 N
② F = 12/0.10 = 1.2×10² N

ポイント 力積 12 N·s は不変、時間 1/3 で力は 3 倍 — 概念チェック Q2 の数値版。「ふんわり受ける」の物理的意味が 40 N と 120 N の差。

解答
図示:前(4.0 kg が 3.0 m/s、2.0 kg が 0)/後(6.0 kg が v)。
運動量保存:4.0×3.0+0 = 6.0×v → v = 2.0 m/s(右向き)

ポイント 合体は「後の速度が共通」— 未知数が1つなので保存則1本で解ける最も基本の型。衝突の間の複雑な力は一切問わない、が保存則の強み。

解答
右を正:3.0×4.0+1.0×(−4.0) = 4.0×v
12−4.0 = 4.0v → v = 2.0 m/s(右向き)

ポイント 左向きの運動量は負で足す — 引き算になるのが「ベクトルの保存」の意味。答えの符号(+)を「右向き」と翻訳して締める。

解答
5.0×10³×2.0 = 8.0×10³×v → v = 1.25 ≒ 1.3 m/s

ポイント 実際の鉄道の連結がこの計算そのもの。有効数字2桁への丸め(1.25 → 1.3)も答えの一部。

解答
右を正。前:全体で 0。後:0.50×8.0+60×V = 0
V = −4.0/60 ≒ −0.067 → 左向きに 6.7×10⁻² m/s で動き出す

ポイント 全体の運動量 0 は投げた後も 0 — ボールの +4.0 を人の −4.0 が打ち消す(運動量の等分配、速さは質量の逆比)。ロケット推進の原理の最小モデル。

解答
0 = 2.0×3.0+3.0×v → v = −2.0 → 左向きに 2.0 m/s

ポイント ばねの力も内力なので保存則がそのまま使える。運動量の大きさは両者 6.0 kg·m/s で等しく、軽い方が速い(逆比)— 分裂の一般則。

解答
0 = 2.0×26+50×V → V = −52/50 = −1.04 → 後方に 1.0 m/s

ポイント 大砲の反動(reaction)は保存則の請求書 — 砲身を重くするほど反動の速さは小さい(V = mv/M)。「地面から見た速さ」と明記されていることも確認(基準系の意識)。

解答
e = はね返る速さ/当たる速さ = 3.0/5.0 = 0.60

ポイント 壁・床との e は「速さの比」(相手が動かないので)。e は単位のない数で、0 ≦ e ≦ 1。

解答
当たる速さ v = √(2g×2.5)、はね返る速さ v' = √(2g×0.90)
e = v'/v = √(0.90/2.5) = √0.36 = 0.60

ポイント e = √(はねた高さ/落とした高さ) — g が約分され、高さの比だけで測れる(ボールの弾み測定の実験式)。速さの比 e と高さの比 e² の「2乗ずれ」(概念チェック Q5)。

解答
① h₁ = e²h = 0.25×1.6 = 0.40 m
② h₂ = e²h₁ = 0.25×0.40 = 0.10 m

ポイント はね返るたびに高さは e² 倍(等比数列!)— 第2巻…ではなく数学第2巻の数列がボールの運動に現れる。やがて高さは 0 に近づく(無限等比級数の香り)。

解答
右を正、衝突後を v₁、v₂ とする。
運動量保存:2.0×5.0 = 2.0v₁+3.0v₂ …(1)
反発係数:v₂−v₁ = 0.50×(5.0−0) = 2.5 …(2)
(2)より v₂ = v₁+2.5。(1)へ:10 = 2v₁+3v₁+7.5 → 5v₁ = 2.5
v₁ = 0.50 m/s、v₂ = 3.0 m/s(ともに右向き)

ポイント 未知数2つ → 保存則+反発係数の連立が衝突問題の標準装備。反発係数の式は「遠ざかる速さ(v₂−v₁)= e×近づく速さ」の形で立てると符号事故が減る。

解答
保存:4.0 = v₁+v₂/e = 1:v₂−v₁ = 4.0
連立して v₁ = 0、v₂ = 4.0 m/s

ポイント 同じ質量の弾性衝突は「速度の交換」 — A は完全に止まり、B が身代わりに飛んでいく。ビリヤードの止め球、ニュートンのゆりかご(B6-3)の正体。

解答
右を正:保存:2.0×6.0+4.0×(−3.0) = 2v₁+4v₂ → 2v₁+4v₂ = 0
反発:v₂−v₁ = 0.50×{6.0−(−3.0)} = 4.5
v₁ = −2v₂ を代入:3v₂ = 4.5 → v₂ = 1.5 m/s(右向き)、v₁ = −3.0 m/s(左向きに 3.0 m/s)

ポイント 全運動量がちょうど 0 の衝突 — 後も「2物体の運動量は等大逆向き」のまま。近づく速さは 6.0+3.0 = 9.0 m/s(差ではなく和:第1章の相対速度)— e の式の(v₁−v₂)は正面衝突で和になる。

解答
前:(1/2)×4.0×3.0² = 18 J
後:(1/2)×6.0×2.0² = 12 J
失われた量 = 6.0 J

ポイント 運動量は保存しても K は減る(合体 e = 0 が最も減る)。減った 6.0 J は変形・熱・音に化けた — 消えたのではなく「力学の帳簿の外」へ出ただけ。

解答
前:(1/2)×1.0×4.0²+0 = 8.0 J
後:0+(1/2)×1.0×4.0² = 8.0 J
等しい(保存されている)

ポイント e = 1 ⇔ 運動エネルギー保存 — 「弾性」の名の由来。逆に、K が保存する衝突と言われたら e = 1 と置いてよい(同値)。

解答
前:(1/2)×2.0×5.0² = 25 J
後:(1/2)×2.0×0.50²+(1/2)×3.0×3.0² = 0.25+13.5 = 13.75 ≒ 14 J
失われた量 = 25−13.75 = 11.25 ≒ 11 J

ポイント e = 0.50 では半分近くが失われた — e が小さいほど損失大。検算の視点:「後の K ≦ 前の K」は絶対(増えたら計算ミス確定)。

解答
ma = F に a = (v'−v)/Δt を代入:
m(v'−v)/Δt = F → 両辺に Δt を掛けて mv'−mv = FΔt ∎

ポイント 力積・運動量の関係は運動方程式の変形にすぎない — 新法則ではない。だからこそ、どんな運動にも(向きが変わっても)通用する。

解答
どちらも ma = F の「積み上げ」:
仕事と運動エネルギー — 距離で積む(F×x)。スカラー(向きなし)。(1/2)mv²−(1/2)mv₀² = Fx
力積と運動量 — 時間で積む(F×t)。ベクトル(向きあり)。mv'−mv = FΔt
同じ力でも「どれだけの距離」効いたかと「どれだけの時間」効いたかで、変わる量(K か p か)が異なる。

ポイント この対比表が力学の見取り図 — 「高さ・距離の話 → エネルギー/時間・衝突の話 → 運動量」という道具選びの根拠になる。

解答
力積は F-t グラフの面積として求められる(細かい時間に区切れば各瞬間の FΔt の和)。
また、その面積を接触時間 Δt で割った高さをもつ長方形に均したときの高さが平均の力 — 「平均の力 × Δt = 実際の力積」となるように定めた力である。

ポイント 「グラフの面積」で複雑さを飲み込む発想は、v-t の面積 = 変位(第1章)、F-x の面積 = 仕事(第5章)に続く3例目 — 物理の通奏低音。

解答
A が B から受ける力を F とすると、作用反作用より B は A から −F を受ける…(向きを込めて逆)。それぞれの力積の関係:
A:m₁v₁'−m₁v₁ = −FΔt
B:m₂v₂'−m₂v₂ = +FΔt
辺々加えると右辺が消えて
m₁v₁'+m₂v₂' = m₁v₁+m₂v₂ ∎

ポイント 保存則の正体は「作用反作用の力積が足すと必ず消える」こと — 内力がどれほど巨大でも複雑でも、和には現れない。第4章の連結体で「足すと張力が消えた」のと同じ構造。

解答
衝突の接触時間 Δt はきわめて短く、外力(重力など)の力積 mgΔt は、衝突の内力の力積(平均の力が重力の数百倍:A4)に比べて無視できるほど小さいから。
— 衝突の直前と直後を比べる限り、運動量保存則は良い近似で成り立つ。

ポイント 「保存則の適用条件」を自分の言葉で言えるかが記述の分かれ目。逆に、衝突後に時間が経てば(重力の力積が積もれば)運動量は変わっていく — 保存は「瞬間の前後」の話。

解答
① 0 = m₁v₁−m₂v₂(逆向き)→ v₂ = m₁v₁/m₂(m₁ と逆向き)
② K₁:K₂ = (1/2)m₁v₁²:(1/2)m₂v₂² = m₁v₁²:m₂×(m₁v₁/m₂)² = m₁:m₁²/m₂ = m₂:m₁

ポイント 運動量は等分(等大逆向き)なのに、エネルギーは軽い方が多く持つ(逆比)— 銃と弾丸なら弾丸がエネルギーのほぼ全部を持ち去る。K = p²/(2m) と書けば「p 同じなら K ∝ 1/m」が一目。

解答
保存:m₁v₁ = m₁v₁'+m₂v₂' …(1)
反発:v₂'−v₁' = ev₁ …(2)
(2)より v₂' = v₁'+ev₁ を(1)へ:
m₁v₁ = (m₁+m₂)v₁'+em₂v₁
v₁' = (m₁−em₂)v₁/(m₁+m₂)、v₂' = (1+e)m₁v₁/(m₁+m₂)

ポイント v₂' はつねに正(必ず押し出される)、v₁' の符号は m₁ と em₂ の大小で決まる — 「はね返されるか、進み続けるか」が式の分子で判定できる。A8-1 は m₁ = 2、m₂ = 3、e = 0.5 の代入例(v₁' = 0.5、v₂' = 3.0 ○)。

解答
e = 1:v₁' = (m₁−m₂)v₁/(m₁+m₂)、v₂' = 2m₁v₁/(m₁+m₂)
① m₁ = m₂:v₁' = 0、v₂' = v₁ — 速度の交換(A8-2)。
② m₂ ≫ m₁:v₁' ≒ −v₁、v₂' ≒ 0 — 巨大な壁に当たったのと同じで、同じ速さではね返る。

ポイント 一般式から極端を読む練習 — 「壁との衝突 e = 1 で速さ不変」は、この式の m₂ → ∞ の極限として導かれる。逆(m₁ ≫ m₂)なら v₁' ≒ v₁、v₂' ≒ 2v₁:軽い球は2倍速で弾き飛ばされる。

解答
e = 0 では v₁' = v₂' = v(共通):
v = m₁v₁/(m₁+m₂)
ΔK = (1/2)m₁v₁²−(1/2)(m₁+m₂)v² = (1/2)m₁v₁²{1−m₁/(m₁+m₂)}
ΔK = m₁m₂v₁²/{2(m₁+m₂)}

ポイント 合体(e = 0)は損失が最大の衝突。損失の式の m₁m₂/(m₁+m₂) という組み合わせ(換算質量)は物理の随所で再登場する名脇役 — 等質量なら初めの K の半分が失われる(m₁ = m₂ で ΔK = (1/4)m₁v₁² = K/2)。

解答
当たる直前の速さ:√(2gh)。はね返り直後:e√(2gh)
達する高さ:h' = (e√(2gh))²/(2g) = e²h

ポイント 「速さは e 倍、高さは e² 倍」— A7 の数値群の一般式。e は速さの比として定義されているので、高さで測るときは √ を忘れずに(e = √(h'/h))。

解答
1回ごとに高さが e² 倍になるから、n 回後は
hₙ = e²ⁿ h

ポイント 公比 e² の等比数列 — 数学第2巻(数列)がボールのバウンドに現れる。0 < e < 1 なら hₙ → 0:バウンドはやがて消える(その総時間が有限になる話は数IIIの無限級数)。

解答
床に平行な成分:vcosθ のまま(なめらかな床は水平方向に力を及ぼさない)
床に垂直な成分:vsinθ → evsinθ
はね返りの角:tanθ' = (evsinθ)/(vcosθ) = e tanθ
速さ:v' = v√(cos²θ+e²sin²θ)

ポイント 斜め衝突は「成分ごとに別ルール」— 平行は素通り、垂直だけ e 倍。e < 1 なら θ' < θ:はね返りは寝る(低くなる)。バウンドしたボールが伸びてくる感覚の正体。

解答
進行方向の保存:2m×v = m×2v+m×v₂'
→ v₂' = 0:他方の破片はその場に静止する

ポイント 一方が2倍速をもらうと、もう一方は運動量をすべて譲って止まる — 保存則の帳尻。数値でなく式が結論を強制する気持ちよさを味わう1問。

解答
図示:衝突前の運動量 mv(x 方向)。後:A は y 方向に mv₁、B は p_B。
成分の保存:x:mv = p_Bx/y:0 = mv₁+p_By → p_By = −mv₁
B の運動量の大きさ:√{(mv)²+(mv₁)²} = m√(v²+v₁²)
B の速さ = (m/M)√(v²+v₁²)、向きは元の進行方向から A と反対側に tanφ = v₁/v の角

ポイント 平面の保存則は「x と y、成分ごとに独立に保存」— ベクトルの分解(第3章)がここでも主役。A が上に曲がれば B は必ず下に曲がる(y 成分の帳尻)。

解答
図示:前の運動量 mv(東)、後 mv(北)。力積 = 後 − 前 = mv(北)−mv(東)。
東向きの矢印を引いて北向きの矢印を足す — 直角二等辺三角形の斜辺:
大きさ = √2 mv、向きは北西(西と北のちょうど中間、元の進行方向から 135°)

ポイント 「速さが同じだから力積 0」は大誤り — 向きの変化そのものが運動量の変化。ベクトルの引き算を矢印の図で実行する、平面力積の代表問題。

解答
mv+0 = (M+m)V → V = mv/(M+m)

ポイント 「飛び乗り」は人と台車の合体(e = 0)。摩擦(人の靴と台車の間)は内力なので保存則は無傷 — 「何が内力で何が外力か」は着目する系の決め方しだい、という視点が育つ問題。

解答
進行方向を正。前:(M+m)v。後:台車 MV、人 −mu。
(M+m)v = MV−mu
V = {(M+m)v+mu}/M

ポイント V > v — 人を後ろへ押し出した反動で台車は加速する(ロケットの原理を1回分だけやった形)。「地面から見た速さ u」という基準の明示が式を1通りに決める — 「台車から見て u」なら別の式になる(発展)。

解答
A → B:同質量・e = 1 なので速度交換(B3-2 ①)— A は止まり、B が v で進む。
B → C:同じく速度交換 — B が止まり、C が v で進む。
最終:A は静止、B は静止、C が速さ v で進む

ポイント 「ニュートンのゆりかご」の理論 — 端の1球だけが飛び出すのは、速度交換のバケツリレー。運動量保存だけなら「2球が v/2 で飛ぶ」解もあり得るが、e = 1(K 保存)がそれを禁止している:2つの保存則の合わせ技で答えが1つに絞られる。

解答
① v = √(2×9.8×1.6) = √31.36 = 5.6 m/s(ア = 5、イ = 6)
② v' = √(2×9.8×0.90) = √17.64 = 4.2 m/s(ウ = 4、エ = 2)
③ e = 4.2/5.6 = 0.75(オカ = 75)
④ 上向きを正:I = 0.20×{4.2−(−5.6)} = 0.20×9.8 = 1.96 ≒ 2.0 N·s(キ = 2、ク = 0)
⑤ ΔK = (1/2)×0.20×(5.6²−4.2²) = 0.10×(31.36−17.64) = 1.372 ≒ 1.4 J(ケ = 1、コ = 4)

ポイント
• ③は e = √(0.90/1.6) = √0.5625 = 0.75 と高さの比の√でも出る — 2ルートの一致。
• ④の「9.8」は偶然ではなく 5.6+4.2:向きが変わる衝突は速さの和(A3-3 の型)。⑤で失われた 1.4 J は、mgh の差 0.20×9.8×0.70 = 1.372 J とも一致 ○。

解答
① 振れ上がり(エネルギー保存):(1/2)(M+m)V² = (M+m)gh
V = √(2×9.8×0.20) = √3.92 ≒ 2.0 m/s
② めり込み(運動量保存):mv = (M+m)V
0.050×v = 1.0×1.98 → v = 39.6 ≒ 40 m/s
③ 前:(1/2)×0.050×39.6² ≒ 39.2 J/後:(1/2)×1.0×1.98² ≒ 1.96 J
失われた量 ≒ 37 J、割合 = 37.2/39.2 ≒ 95 %
④ めり込む過程 — 運動量保存(内力のみ・一瞬)。エネルギー保存は使えない:弾丸がめり込む際、熱や変形に大きなエネルギーが逃げるから(実際 95 % が失われた)。
振れ上がる過程 — 力学的エネルギー保存(張力は仕事をしない)。運動量保存は使えない:張力・重力という外力の力積が、時間をかけて運動量を変えていくから。

ポイント
• 損失割合が M/(M+m) = 0.95 になるのは B3-3 の一般式の帰結 — 重い木片ほど「速さの情報」だけ残してエネルギーを食う。だからこの装置は弾速の測定器として機能する(K は失われても p は無傷)。
• ④の言語化がこの問題の本体 — 「どの区間でどの保存則か」を理由つきで言えれば、力学の設計思想を理解した証。

解答
① 保存:mv₀ = mv₁+2mv₂/反発:v₂−v₁ = ev₀
連立して v₁ = (1−2e)v₀/3、v₂ = (1+e)v₀/3
② v₁ < 0 ⇔ 1−2e < 0 ⇔ e > 1/2
③ e = 1:v₁ = −v₀/3、v₂ = 2v₀/3
K(後)= (1/2)m(v₀/3)²+(1/2)(2m)(2v₀/3)² = mv₀²/18+8mv₀²/18 = (1/2)mv₀² = K(前)○
④ e = 0:v₁ = v₂ = v₀/3。
ΔK = (1/2)mv₀²−(1/2)(3m)(v₀/3)² = (1/2)mv₀²−mv₀²/6 = mv₀²/3

ポイント
• ②の境目 e = 1/2 は「m₁ = em₂」(B3-1 の分子)の実例 — 相手が重い(2m)ので、e が半分を超えると押し返される。
• ④は B3-3 の一般式 m₁m₂v₀²/{2(m₁+m₂)} = m×2m×v₀²/(2×3m) = mv₀²/3 と一致 ○ — はじめの K の 2/3 が失われる、e = 0 の激しさ。

Q1:× — 速度は「速さ+向き」:向きが変わり続ける = 加速している。加速度は中心向きに v²/r。「加速 = スピードアップ」という思い込みをここで完全に捨てる。

Q2:(b) — 力の図に「向心力」という矢印を描いてはいけない — 描くのは張力・重力・垂直抗力などの実在の力だけで、その中心向きの合力を mv²/r に等しいとおく。

Q3:× — 切れた瞬間の速度は接線方向 — 慣性の法則により、球はそのまま接線方向へまっすぐ飛ぶ。「外向きに飛ぶ」ように見えるのは回転系の錯覚。

Q4:(b) — 地上から見れば「体はまっすぐ進もうとし、電車が内側へ曲がる」だけ。加速度系(電車内)に立ったときにだけ、つじつま合わせとして現れるのが慣性力・遠心力。

Q5:(b) — F = mv²/r は v の2乗:速さ2倍で4倍。カーブの速度超過が急激に危険になる理由。

解答
n = 1/T = 1/0.50 = 2.0 回/s
ω = 2π/T = 2×3.14/0.50 = 12.56 ≒ 13 rad/s

ポイント ω は「1 秒あたり何ラジアン回るか」— 1 周 = 2π rad を T 秒で。T・n・ω は互いに換算できる3つの顔(どれか1つ分かれば全部出る)。

解答
T = 1/n = 1/3.0 = 0.333 ≒ 0.33 s
ω = 2πn = 2×3.14×3.0 = 18.84 ≒ 19 rad/s

ポイント モーターの「回転数」表示から ω へ:ω = 2πn の直行便が実用的。rad は角度の自然単位(無次元)なので、ω の単位は実質 1/s。

解答
T = 60 s より ω = 2π/60 = 0.1047 ≒ 0.10 rad/s

ポイント 身近な回転の ω を見積もる感覚 — 秒針 0.10、分針はその 1/60、地球の自転は 7.3×10⁻⁵ rad/s(B4-3 へ)。

解答
v = rω = 2.0×3.0 = 6.0 m/s
a = rω² = 2.0×3.0² = 18 m/s²(中心向き)

ポイント a は rω² と v²/r の2つの顔(v = rω でつながっている)— ω が与えられたら rω²、v が与えられたら v²/r と、持ち駒で選ぶ。向き(中心向き)まで書いて完答。

解答
ω = v/r = 2.0/0.50 = 4.0 rad/s
a = v²/r = 2.0²/0.50 = 8.0 m/s²(中心向き)

ポイント v = rω の逆算。同じ v でも半径が小さいほど a は大きい(急カーブほど激しい)— a = v²/r の r が分母にいる意味。

解答
a = v²/r = 20²/50 = 8.0 m/s²(中心向き)

ポイント 重力加速度に迫る大きさ — 時速 72 km でこのカーブは「横向きに 0.8 G」の世界。数値に現実の感覚を対応させる訓練。

解答
F = mv²/r = 0.20×3.0²/0.50 = 3.6 N

ポイント 円運動の運動方程式 mv²/r = F — 左辺が「必要量」、右辺が実在の力(張力など)の中心成分。この 3.6 N を「何が」担うかが次テーマ以降の主題。

解答
F = mrω² = 2.0×1.5×4.0² = 48 N

ポイント ω 版の mrω²。単位:kg×m×(1/s)² = kg·m/s² = N ○ — 次元チェックが公式の形を保証してくれる。

解答
張力が向心力:mv²/r = T
0.50×v²/0.40 = 20 → v² = 16 → v = 4.0 m/s

ポイント 「切れる限界 = 張力が最大値」(第4章 A3-3 の円運動版)。v² で効くので、速さを少し上げただけで張力は急増する — ハンマー投げの緊張感。

解答
図示:中心向きの力は張力のみ(重力と垂直抗力は鉛直でつり合い)。
T = mv²/r = 0.30×4.0²/0.80 = 6.0 N

ポイント 水平面内の円運動は「鉛直はつり合い、水平(中心向き)は運動方程式」の2階建て — 鉛直方向を1行書いてから本題へ、が作法。

解答
向心力を担うのは静止摩擦力。滑る直前:μmg = mrω²
ω² = μg/r = 0.50×9.8/0.50 = 9.8 → ω = 3.13 ≒ 3.1 rad/s

ポイント 摩擦力が中心向きにはたらく(物体が外へ滑ろうとするのを引き留める)— 摩擦が向心力を演じる代表例。m が消えるので、重くても軽くても限界は同じ。

解答
μmg = mv²/r → v² = μgr = 0.50×9.8×45 = 220.5
v ≒ 15 m/s(約 54 km/h)

ポイント 車がカーブを曲がれるのは摩擦のおかげ(第4章 B6-2 の親戚)。雨で μ が半分になれば限界速度は 1/√2 倍 — 「濡れた道でスピードを落とす」の定量的根拠。

解答
図示:小球に重力 mg(下)と張力 T(糸の方向)。鉛直はつり合い、水平(中心向き)は運動方程式。
① 鉛直:Tcos60° = mg → T = 0.10×9.8/0.50 = 1.96 ≒ 2.0 N
② 半径 r = Lsin60°。水平:Tsin60° = mrω² より
mg tan60° = m(Lsin60°)ω² → ω² = g/(Lcos60°) = 9.8/0.20 = 49
ω = 7.0 rad/s

ポイント 円錐振り子は「鉛直つり合い+水平 mrω²」の代表格。整理すると ω² = g/(Lcosθ) — 半径 r でなく「高さ Lcosθ」だけで決まる、が結論の美点。

解答
T = mg/cos30° = 1.96×2/1.73 = 2.26 ≒ 2.3 N
ω² = g/(Lcos30°) = 9.8/(0.90×0.865) = 9.8/0.779 = 12.6 → ω ≒ 3.5 rad/s

ポイント 角が小さいほど T は mg に近く、ω は小さい(ゆっくり)— 速く回すほど糸が持ち上がる(θ 増)という日常の観察が、ω² = g/(Lcosθ) の増加関数性そのもの。

解答
周期 T = 2π/ω = 2π√(Lcosθ/g) = 2×3.14×√(0.10/9.8)
= 6.28×0.101 = 0.634 ≒ 0.63 s

ポイント 周期の公式 2π√(Lcosθ/g) — 中の √(高さ/g) という形は、次章の単振り子 2π√(L/g) の予告編。質量 m が消えることも確認。

解答
慣性力 = ma = 50×2.0 = 1.0×10² N、加速の向きと逆(進行方向の後ろ向き)

ポイント 慣性力は「乗り物の中に立った瞬間に発生する見かけの力」— 大きさ ma、向きは加速度の逆。発車で後ろへよろける体感の正体。

解答
電車内では、重力 mg(下)と慣性力 ma(後ろ)と張力のつり合い。
tanθ = ma/mg = a/g = 2.45/9.8 = 0.25

ポイント 第4章 B6-3 と同じ答えを「車内のつり合い」で再現 — 地上(運動方程式)でも車内(慣性力+つり合い)でも物理は同じ。車内の方が式が「静力学」になって楽なことが多い。

解答
エレベーター内では、下向きの慣性力 ma が加わり、見かけの重力加速度は g' = g+a = 11 m/s²。
読み = mg' = 0.50×11 = 5.5 N

ポイント 「見かけの重力 g±a」という読み替えが慣性力の実用形 — 第4章 A10-3 の運動方程式と同じ答えに、つり合いだけで到達する。

解答
遠心力 = mrω² = 0.20×0.40×5.0² = 2.0 N(外向き)
回る観測者から見ると、外向きの遠心力 2.0 N と中心向きの静止摩擦力 2.0 N がつり合って静止している。

ポイント 地上:「摩擦力が向心力(mrω²)」/回転系:「摩擦力と遠心力がつり合い」— 同じ 2.0 N を2つの文法で語る。どちらか一方の立場で最後まで書き切ること。

解答
r = 0.40×sin60° = 0.40×1.73/2 = 0.346 m
rω²/g = 0.346×49/9.8 = 1.73 = tan60° ○(成立)

ポイント 回転系では円錐振り子は「ただの3力のつり合い」(第3章 B1-1 と同じ図で、水平の力が遠心力に変わっただけ)。2つの立場の答えの一致は、慣性力という道具の健全性の証明。

解答
ω = 2πn = 2×3.14×15 = 94.2 rad/s
遠心力/重力 = rω²/g = 0.25×94.2²/9.8 = 0.25×8874/9.8 ≒ 226
約 2.3×10² 倍

ポイント 「230 G」の世界 — 水滴は重力の数百倍の"見かけの重力"で外へ絞り出される。遠心分離機・遠心力の応用は rω² が ω の2乗で稼ぐ(高速回転の威力)ことに尽きる。

解答
図示:最下点では張力 T(上 = 中心向き)、重力 mg(下)。中心向きを正:
mv²/r = T−mg
T = m(g+v²/r) = 0.20×(9.8+3.5²/0.50) = 0.20×(9.8+24.5) = 6.86 ≒ 6.9 N

ポイント 最下点の張力は mg より大きい(重力を支えた上で、さらに向心力ぶんを引く)— ブランコの最下点でずしりと重くなる感覚。

解答
最高点では張力 T も重力 mg も下向き = 中心向き:
mv²/r = T+mg
T = m(v²/r−g) = 0.20×(24.5−9.8) = 2.94 ≒ 2.9 N

ポイント 最高点では重力が向心力を手伝うので張力は軽い。同じ速さなら T(下)−T(上)= 2mg — 最下点と最高点の張力差は必ず重力2つ分以上になる(実際は速さも違うので差はさらに開く:B5)。

解答
たるむ直前:T = 0。このとき重力だけが向心力:
mg = mv²/r → v² = gr = 9.8×0.40 = 3.92
v ≒ 2.0 m/s

ポイント 「たるまない ⇔ T ≧ 0」の翻訳(第3章・第4章の「限界 = 等号」の系譜)。限界では重力がちょうど全部の向心力 — √(gr) は鉛直円運動の合言葉。

解答
1 周の道のりは円周 2πr、かかる時間は周期 T。
v = 2πr/T。ここで ω = 2π/T だから v = rω ∎

ポイント 「弧の長さ = 半径 × 角(rad)」を時間で割っただけ — rad という単位が v = rω をこの単純さにしている(度のままなら換算係数まみれ)。

解答
速さは v のまま向きだけ Δθ 変わるので、速度ベクトルの変化は、半径 v・中心角 Δθ の弧の長さで近似できて
|Δv| ≒ vΔθ = vωΔt a = |Δv|/Δt = vω = (rω)ω = rω² = v²/r ∎

ポイント 「速度ベクトルの先端も円を描く」— 位置の円運動(半径 r、速さ v)と相似な"速度の円運動"(半径 v、速さ a)。この見方ができれば a = vω は暗記でなく風景になる。

解答
向心力はつねに中心向き、速度はつねに接線方向で、両者はつねに垂直。
仕事 W = Fxcosθ で θ = 90° だから W = 0 ∎
仕事が 0 なら運動エネルギーは変化しない(第5章)— よって速さは一定のまま:「等速」円運動であることと整合する。

ポイント 「向きだけ変えて速さを変えない」のが垂直な力の役割 — 第5章 B6-2(張力・垂直抗力)と同じ論法が、円運動の「等速」の保証書になる。

解答
鉛直:Tcosθ = mg → T = mg/cosθ
水平(半径 r = Lsinθ):Tsinθ = mrω² → mgtanθ = mLsinθ·ω²
ω = √{g/(Lcosθ)}、周期 = 2π√(Lcosθ/g)

ポイント 答えに入るのは L でも r でもなく Lcosθ(振り子の"高さ") — 同じ高さの円錐振り子は角度によらず同じ周期で回る、という隠れた美しい定理。

解答
向心力を担うのは静止摩擦力。滑る直前で f = μN = μmg:
mrω² ≦ μmg → ω ≦ √(μg/r)

ポイント m が消える(限界は質量によらない)。r が大きいほど限界 ω は小さい — 回転円板の外側ほど先に滑る(メリーゴーラウンドの端の危うさ)。

解答
① 摩擦が向心力:mv²/r ≦ μmg → v ≦ √(μgr)
② バンクでは垂直抗力 N の水平成分が向心力:
水平:Nsinθ = mv²/r/鉛直:Ncosθ = mg
割って tanθ = v²/(gr) → v = √(gr tanθ)

ポイント ②は摩擦ゼロでも曲がれる「設計解」— 高速道路・競技場のカーブが傾いている理由。第3章 B1-3(斜面を水平力で支える)と同じ図で、水平力の役が mv²/r に変わっただけ。

解答
電車内では、小球に重力 mg(下)・慣性力 ma(後ろ)・張力 T の3力がつり合う。
水平:Tsinθ = ma/鉛直:Tcosθ = mg
tanθ = a/g、T = m√(a²+g²)

ポイント 第4章 B6-3(地上・運動方程式)と同じ答え — 慣性力を入れると動力学が静力学に化けるのが最大の御利益。√(a²+g²) は「見かけの重力の大きさ」。

解答
エレベーター内の見かけの重力加速度は g' = g+a(下向き)。
内から見れば「加速度 g' の自由落下」:
h = (1/2)g't² → t = √{2h/(g+a)}

ポイント 「g を g+a に置き換えるだけで、第2章の落体の公式が全部使える」— 慣性力は公式の再利用装置。a → 0 で通常の √(2h/g) ○、a = −g(自由落下)で t → ∞(浮いたまま:無重量)○。

解答
車内では、重力 mg(下)と慣性力 ma(後ろ)の合力 — 鉛直から後方に tanφ = a/g 傾いた「見かけの重力」m√(a²+g²) — だけを受ける。
初速 0 だから、小球はその傾いた向きにまっすぐ、等加速度で落ちる(車内から見た"斜めの自由落下")。

ポイント 「見かけの重力の向きに世界が傾く」— 振り子(B3-1)が傾いて止まる向きと、物が落ちる向きが同じであることに気づけば、加速度系の世界観が1枚の絵になる。

解答
回転系では、物体は静止して見え、外向きの遠心力 mrω² と中心向きの静止摩擦力 f がつり合う:
f = mrω²
滑らない条件 f ≦ μmg より mrω² ≦ μmg → ω ≦ √(μg/r)(B2-2 と一致 ○)

ポイント 運動方程式(地上)とつり合い(回転系)— 式は同じ1本に帰着する。検算にもう一方の立場を使う、という二刀流が円運動の安全運転。

解答
回転系での3力のつり合い:
水平:Tsinθ = mrω²(遠心力と張力の水平成分)
鉛直:Tcosθ = mg
割って tanθ = rω²/g → r = Lsinθ を代入して ω² = g/(Lcosθ)(B2-1 と一致 ○)

ポイント A7-2 の数値確認の一般化。第3章の「角度のあるつり合い」(B1)に遠心力を1本足すだけ — 静力学の技術がそのまま円運動に輸出できる。

解答
赤道上の物体は半径 R、角速度 ω = 2π/T の円運動をしている。回転系(地表)では外向きの遠心力 mRω² がはたらき、見かけの重力は
g' = g−Rω² = g−4π²R/T²
数値:ω = 2π/(8.6×10⁴) ≒ 7.3×10⁻⁵ rad/s
Rω² = 6.4×10⁶×(7.3×10⁻⁵)² ≒ 3.4×10⁻² m/s²(g の約 0.3 %)

ポイント 体重計の読みは赤道でわずかに軽い — 遠心力は日常に実在する(見かけの)効果。もし自転が約 17 倍速ければ Rω² = g:赤道の物は浮く(その周期が第8章・万有引力の「地表すれすれの人工衛星」につながる)。

解答
最下点から角 θ の位置の高さは r(1−cosθ)(第5章 B2-2)。
エネルギー保存:(1/2)mv₀² = (1/2)mv²+mgr(1−cosθ)
v² = v₀²−2gr(1−cosθ)
中心向きの運動方程式:T−mgcosθ = mv²/r
T = m{v₀²/r+g(3cosθ−2)}

ポイント 「その場の運動方程式+区間のエネルギー保存」— 鉛直円運動の2本柱を1問に凝縮した基本形。θ = 0 で T = m(v₀²/r+g)(A8-1)○、cosθ の係数 3g は「エネルギー由来の 2g+力の分解由来の g」の合算。

解答
最高点(θ = 180°)で糸がたるまない条件:T ≧ 0。
B5-1 の式に cosθ = −1 を代入:
T = m{v₀²/r−5g} ≧ 0 → v₀ ≧ √(5gr)
(最高点での速さは v² = v₀²−4gr ≧ gr — 「最高点で v² ≧ gr」と同じこと)

ポイント √(5gr) は鉛直円運動の代名詞 — 内訳は「最高点に登る 4gr+最高点で回り続ける gr」。数字の 5 を暗記するのでなく、この分解で再構成できるように。

解答
棒は押す力も出せるので、最高点で T < 0(棒が支える)でもよく、条件は「最高点で v ≧ 0」だけ:
(1/2)mv₀² ≧ mg×2r → v₀ ≧ 2√(gr)
糸は引くことしかできない(T ≧ 0 が必須)ため √(5gr) が必要 — 道具の力学的性質(引く専用か、押し引き両用か)が条件式を変える。

ポイント √(5gr) ≒ 2.24√(gr) > 2√(gr):糸の方が厳しい。「糸・レール(内側)は T, N ≧ 0」「棒・溝つきレールは v ≧ 0」— 条件の翻訳表として整理。