解答
① AC→ = AB→ + BC→ = AB→ + AD→ = a→ + b→(平行四辺形なので BC→ = AD→)
② BD→ = AD→ − AB→ = b→ − a→(終点 D − 始点 B、すなわち AD→ − AB→)
③ M は AC の中点(対角線は互いを二等分)だから AM→ = (1/2)AC→ = (1/2)(a→ + b→)

ポイント つなぐ(和)・終点引く始点(差)が2大操作。平行四辺形では向かい合う辺が同じベクトル(BC→ = AD→、DC→ = AB→)になることを毎回使う。

解答
① AB→ = OB→ − OA→ = b→ − a→
② BC→ は OA→ と大きさが等しく逆向き(正六角形の性質)だから BC→ = −a→
③ AC→ = AB→ + BC→ = (b→ − a→) + (−a→) = b→ − 2a→

ポイント 正六角形は中心から6つの正三角形に分かれ、|OA→| = |OB→| = |辺| が成り立つ。まず「終点−始点」で AB→ を出し、あとは図の対称性で1辺ずつたどる。

解答
① a→ + b→ = (3+1, −1+2) = (4, 1)、大きさ √(4²+1²) = √17
② 2a→ − 3b→ = (6, −2) − (3, 6) = (3, −8)、大きさ √(3²+8²) = √73

ポイント 成分計算は各成分ごとに足し引き・定数倍。大きさは √(x²+y²)(原点からの距離、第2巻第3章と同じ)。

解答
AB→ = (4−1, −1−3) = (3, −4)、|AB→| = √(3²+4²) = 5
同じ向きの単位ベクトルは AB→/|AB→| = (1/5)(3, −4) = (3/5, −4/5)

ポイント AB→ = 終点 B − 始点 A。単位ベクトル(大きさ1)は「もとのベクトル ÷ その大きさ」で作る。

解答
a→·b→ = |a→||b→|cos60° = 3·2·(1/2) = 3
|a→ + b→|² = |a→|² + 2a→·b→ + |b→|² = 9 + 2·3 + 4 = 19 よって |a→ + b→| = √19

ポイント 内積の定義は |a→||b→|cosθ。大きさの2乗は展開して内積に化ける(|a→+b→|² = |a→|²+2a→·b→+|b→|²)— 第1巻の (a+b)² と同じ形。

解答
a→·b→ = 2·(−1) + 3·4 = −2 + 12 = 10
a→ − b→ = (2−(−1), 3−4) = (3, −1)、|a→ − b→| = √(3²+1²) = √10

ポイント 成分での内積は a₁b₁ + a₂b₂(掛けて足す)。大きさを求めるときは先に成分の差を出してから √(x²+y²)。

解答
a→·b→ = √3·0 + 1·2 = 2
|a→| = √((√3)²+1²) = 2、|b→| = √(0²+2²) = 2 cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|) = 2/(2·2) = 1/2
0°≦θ≦180° より θ = 60°

ポイント cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|)。内積・2つの大きさを出して代入するだけ。0°≦θ≦180° の範囲で角を決める。

解答
a→·b→ = 2·1 + 1·3 = 5、|a→| = √5、|b→| = √10
cosθ = 5/(√5·√10) = 5/√50 = 5/(5√2) = 1/√2 = √2/2
よって θ = 45°

ポイント 内積の符号がそのまま角の種類を表す:正なら鋭角・0なら直角・負なら鈍角。cos の値を有理化して既知の角に当てはめる。

解答
① 平行条件 a₁b₂ − a₂b₁ = 0 より 2·6 − (−3)·x = 0 → 12 + 3x = 0 → x = −4
② 垂直条件 a→·b→ = 0 より 2·x + (−3)·6 = 0 → 2x − 18 = 0 → x = 9

ポイント 平行は「たすき掛けの差 = 0」(a₁b₂ − a₂b₁ = 0)、垂直は「内積 = 0」。2つの条件をはっきり区別する。

解答
(1, 2) に垂直なベクトルは (2, −1) と (−2, 1)(内積 1·2 + 2·(−1) = 0)。
大きさは √(2²+1²) = √5 だから、単位ベクトルは
(2/√5, −1/√5) と (−2/√5, 1/√5)(= (2√5/5, −√5/5) と (−2√5/5, √5/5))

ポイント (a, b) に垂直なのは (b, −a) と (−b, a) の2方向。それぞれ大きさで割って単位化 — 符号±の両方が答え。

解答
① P→ = (1·a→ + 2·b→)/(2+1) = (a→ + 2b→)/3
② Q→ = (−1·a→ + 2·b→)/(2−1) = 2b→ − a→
③ G→ = (a→ + b→ + c→)/3

ポイント 内分(m:n)は (n a→ + m b→)/(m+n)(比の数がたすき掛けで相手にかかる)。外分は n → −n に置き換えるだけ。重心は3頂点の平均。

解答
G = ((2+(−1)+5)/3, (1+4+3)/3) = (6/3, 8/3) = (2, 8/3)
M = ((−1+5)/2, (4+3)/2) = (2, 7/2)

ポイント 座標の重心は各成分の平均、中点は2点の平均。位置ベクトルの公式を成分ごとに使っているだけ。

解答
2c→ − 3d→ = 2(3a→ + 2b→) − 3(a→ − b→) = 6a→ + 4b→ − 3a→ + 3b→ = 3a→ + 7b→

ポイント 一次独立な a→、b→ は文字のように扱って計算してよい(第1巻の文字式と同じ)。「a→ の係数」「b→ の係数」を別々に集める。

解答
AM→ = AB→ + BM→ = AB→ + (1/2)BC→ = a→ + (1/2)AD→ = a→ + (1/2)b→
AN→ = AD→ + DN→ = AD→ + (1/2)DC→ = b→ + (1/2)AB→ = (1/2)a→ + b→

ポイント 基準点 A から「たどって」表すのが定石。平行四辺形の等しい辺(BC→ = AD→ = b→、DC→ = AB→ = a→)を代入する。

解答
① (x, y) = (1, 2) + t(3, 1)、すなわち x = 1 + 3t、y = 2 + t
② y = 2 + t より t = y − 2。x = 1 + 3(y − 2) = 3y − 5 だから x − 3y + 5 = 0

ポイント 直線は「(通る点) + t(方向ベクトル)」。媒介変数 t を消せば、おなじみの x, y の直線の式に戻る(第2巻第3章とつながる)。

解答
p→ = (1−t)·OA→ + t·OB→ = (1−t)(1, 0) + t(4, 6) = (1 + 3t, 6t)
すなわち x = 1 + 3t、y = 6t(t = 0 で A、t = 1 で B を通る)

ポイント 2点を通る直線は p→ = (1−t)a→ + t b→。A → B の向きのベクトル AB→ = (3, 6) を使って p→ = A + t·AB→ と書いても同じ。

解答
AB→ = (4−1, 0−2, −1−3) = (3, −2, −4)
|AB→| = √(3² + (−2)² + (−4)²) = √(9+4+16) = √29

ポイント 空間でも「終点 − 始点」「大きさ = √(x²+y²+z²)」— 成分が1つ増えるだけで、平面の自然な拡張。

解答
M = ((2+0)/2, (1+3)/2, (0+4)/2) = (1, 2, 2)
OA = √(2² + 1² + 0²) = √5

ポイント 中点は各成分の平均、距離公式も成分が3つになるだけ。平面で覚えた式がそのまま通用する。

解答
a→·b→ = 1·0 + 0·1 + 1·1 = 1
|a→| = √(1+0+1) = √2、|b→| = √(0+1+1) = √2 cosθ = 1/(√2·√2) = 1/2 より θ = 60°

ポイント 空間の内積も a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃(掛けて足す、項が3つ)。なす角の求め方は平面とまったく同じ。

解答
a→·b→ = 1·x + (−1)·2 + 2·1 = x − 2 + 2 = x
垂直条件 a→·b→ = 0 より x = 0

ポイント 垂直 ⇔ 内積0 は空間でも同じ。成分の内積を x の式で表し、= 0 を解く。

解答
OM→ = (2/3)a→、ON→ = (1/2)b→
P は線分 AN 上にあるから、実数 s を用いて
OP→ = (1−s)OA→ + s ON→ = (1−s)a→ + (s/2)b→ …(1)
P は線分 BM 上にあるから、実数 t を用いて
OP→ = (1−t)OB→ + t OM→ = (2t/3)a→ + (1−t)b→ …(2)
a→、b→ は一次独立だから、(1)(2)の係数を比較して
1−s = 2t/3、s/2 = 1−t
これを解いて s = 1/2、t = 3/4
よって OP→ = (1/2)a→ + (1/4)b→

ポイント 「線分 AN 上」は (1−s)×(端) + s×(端) の形(係数の和が1)で書くと機械的。係数比較の根拠「a→、b→ は一次独立(平行でなく 0→ でもない)だから」の一言は記述の必須アイテム。検算:s = 1/2 を(1)に、t = 3/4 を(2)に入れて同じ式になるか。

解答
OC→ = (2a→ + b→)/3(AB を 1:2 に内分)、OD→ = (3/4)b→
P は直線 OC 上:OP→ = k OC→ = (2k/3)a→ + (k/3)b→
P は直線 AD 上:OP→ = (1−u)a→ + (3u/4)b→
係数比較して 2k/3 = 1−u、k/3 = 3u/4
これを解いて u = 2/5、k = 9/10
よって OP→ = (3/5)a→ + (3/10)b→

ポイント 「直線 OC 上」は原点を通るので OP→ = k OC→ と1文字でおける(こちらは係数の和1の形は不要)。k = 9/10 から OP:PC = 9:1 という比の情報まで読み取れる — 位置ベクトルは「どこで交わるか」を数で答えてくれる。

解答
s + t = 3 の両辺を 3 で割ると (s/3) + (t/3) = 1
そこで s' = s/3、t' = t/3 とおくと、s' + t' = 1、s' ≧ 0、t' ≧ 0 で
OP→ = s a→ + t b→ = s'(3a→) + t'(3b→)
OA'→ = 3a→、OB'→ = 3b→ となる点 A'、B' をとれば、P は
OP→ = s' OA'→ + t' OB'→(s'+t' = 1、s'、t' ≧ 0)
すなわち 点 P は、OA を 3 倍に延ばした点 A' と OB を 3 倍に延ばした点 B' を結ぶ線分 A'B' 上を動く

ポイント 存在範囲の合言葉は「係数の和 = 1 の形を作る」— 和が 1 なら直線(0 以上の条件つきで線分)。和が 3 なら「3 で割って新しい基準のベクトル 3a→、3b→ に読み替える」。s+t ≦ 1、s、t ≧ 0 なら △OAB の周と内部(発展)— 係数の条件が図形の形を決める。

解答
① cos∠AOB = (a→·b→)/(|a→||b→|) = 3/(2×3) = 1/2(∠AOB = 60°)
② sin∠AOB = √3/2 だから
S = (1/2)|a→||b→|sin∠AOB = (1/2)×2×3×(√3/2) = (3√3)/2
《別解》面積公式 S = (1/2)√(|a→|²|b→|²−(a→·b→)²) = (1/2)√(4×9−9) = (1/2)√27 = (3√3)/2

ポイント 面積公式 S = (1/2)√(|a→|²|b→|²−(a→·b→)²) は「(1/2)ab sinθ」を内積だけで書き直したもの — cosθ を経由せず一気に面積が出るので、成分・内積が与えられた問題ではこちらが速い。2通りの一致が検算になる。

解答
① |a→−b→|² = |a→|²−2a→·b→+|b→|² より
7 = 9−2a→·b→+4 → a→·b→ = 3
② cosθ = 3/(3×2) = 1/2 より θ = 60°
③ |a→+b→|² = 9+2×3+4 = 19 → |a→+b→| = √19

ポイント 「大きさの2乗 → 展開して内積を取り出す」— |a→±b→|² は (a±b)² と同じ展開公式で、符号だけが逆の兄弟。①と③で ∓2a→·b→ の符号が入れ替わることを体で覚える。

解答
AB→ = (3, 1)、AC→ = (1, 4)
S = (1/2)|3×4−1×1| = (1/2)×11 = 11/2

ポイント 成分版の面積公式 S = (1/2)|x₁y₂−x₂y₁|(AB→ = (x₁, y₁)、AC→ = (x₂, y₂))は、B2-1 の√公式に成分を代入して整理した形 — 「たすき掛けの差の絶対値の半分」。1つの頂点を始点にした2辺のベクトルを作るのが第一手。

解答
① H は直線 OB 上にあるから OH→ = t b→(t は実数)とおける。
AH→ = OH→−OA→ = t b→−a→
AH ⊥ OB より AH→·b→ = 0:
(t b→−a→)·b→ = t|b→|²−a→·b→ = 9t−3 = 0 → t = 1/3
よって OH→ = (1/3)b→
② |AH→|² = |(1/3)b→−a→|² = (1/9)×9−2×(1/3)×3+4 = 1−2+4 = 3
よって AH = √3

ポイント 垂線の足は「直線上の点を t でおく → 垂直条件(内積0)で t を決める」の2手 — 図形の垂線が1次方程式に化ける、ベクトルの威力の代表例。t = (a→·b→)/|b→|²(正射影の係数)という一般形も見えると強い。

解答
《証明》AB→ = b→、AC→ = c→ とおくと、仮定より |b→| = |c→|。
AM→ = (b→+c→)/2、BC→ = c→−b→ だから
AM→·BC→ = (1/2)(b→+c→)·(c→−b→) = (1/2)(|c→|²−|b→|²) = 0
AM→ ≠ 0→、BC→ ≠ 0→ なので AM ⊥ BC ∎

ポイント (b→+c→)·(c→−b→) = |c→|²−|b→|² は「和と差の積 = 2乗の差」— 文字式の展開公式がそのまま内積で成立する。図形の性質(二等辺三角形の対称性)が、計算1行の恒等式に翻訳される美しさを味わう問題。

解答
ℓ 上の点 P(x, y) について AP→ = (x−2, y−1) が n→ に垂直だから
n→·AP→ = 3(x−2)+4(y−1) = 0
よって 3x+4y−10 = 0
原点との距離は |3×0+4×0−10|/√(3²+4²) = 10/5 = 2

ポイント 直線 ax+by+c = 0 の係数 (a, b) は法線ベクトルそのもの — 第2巻第3章の「点と直線の距離」の公式の分母 √(a²+b²) は |n→| だった、という種明かし。法線でおくと「通る点+垂直」の情報が1行で式になる。

解答
OM→ = (a→+b→)/2
G は線分 CM を 2:1 に内分する(CG:GM = 2:1)から
OG→ = (1×OC→+2×OM→)/(2+1) = {c→+2×(a→+b→)/2}/3
= (a→+b→+c→)/3
これは △ABC の重心 の位置ベクトルである。

ポイント 空間でも内分の公式は平面と同一。中線 CM を頂点 C から 2:1 に分ける点が重心 — 「重心 = 3頂点の平均」が、中線の分点として導かれる構造ごと理解する。四面体 OABC の重心 (a→+b→+c→+0→)/4 への拡張も同じ発想。

解答
P が平面 ABC 上にある ⇔ AP→ = s AB→+t AC→ となる実数 s、t が存在する。
AB→ = (−1, 1, 0)、AC→ = (−1, 0, 1)、AP→ = (1, y, −1)
成分を比較して
−s−t = 1、s = y、t = −1
t = −1 を第1式に代入して −s+1 = 1 → s = 0
よって y = 0
《別解》OP→ = αOA→+βOB→+γOC→ かつ α+β+γ = 1 で表せることが同一平面上の条件。P(2, y, −1) = 2A+yB+(−1)C と読めるので α+β+γ = 2+y−1 = 1 → y = 0(同じ)

ポイント 平面 ABC 上の条件は2つの言い方:「AP→ が AB→、AC→ で張れる」/「係数の和が1(α+β+γ = 1)」。後者は B1-3(直線:和が1)の平面版 — 次元が上がっても「和 = 1」の思想は不変。

解答
1辺 1 の正四面体なので |a→| = |b→| = |c→| = 1、なす角はすべて 60° だから
a→·b→ = b→·c→ = c→·a→ = 1×1×cos60° = 1/2
① MN→ = ON→−OM→ = (b→+c→)/2−(1/2)a→ = (b→+c→−a→)/2
② MN→·a→ = (1/2)(a→·b→+a→·c→−|a→|²) = (1/2)(1/2+1/2−1) = 0 → MN ⊥ OA
MN→·BC→ = (1/2)(b→+c→−a→)·(c→−b→)
= (1/2)(|c→|²−|b→|²+a→·b→−a→·c→) = (1/2)(0+0) = 0 → MN ⊥ BC ∎
③ |MN→|² = (1/4)|b→+c→−a→|²
= (1/4)(|b→|²+|c→|²+|a→|²+2b→·c→−2a→·b→−2a→·c→)
= (1/4)(1+1+1+1−1−1) = 1/2
よって MN = √2/2

ポイント 正四面体の内積セット「|各ベクトル| = 1、どの内積も 1/2」を最初に書き出すのが作法 — 以後は代入だけの作業になる。「向かい合う辺の中点を結ぶ線分は両方の辺に垂直」は正四面体の有名性質:③の 3項の2乗展開(2乗3つ+内積3つ)は空間ベクトル計算の基本動作。

解答
AP→ = (x−1, y−2)、BP→ = (x−5, y−4)
AP→·BP→ = (x−1)(x−5)+(y−2)(y−4) = 0
x²−6x+5+y²−6y+8 = 0
(x−3)²+(y−3)² = 5
これは 中心 (3, 3)(線分 AB の中点)、半径 √5 の円 — すなわち線分 AB を直径とする円である。

ポイント AP→·BP→ = 0 ⇔ ∠APB = 90° ⇔ P は AB を直径とする円周上(直径に対する円周角)。中心が中点 (3, 3)、半径² = (AB/2)² = 20/4 = 5 と、図形的にも式が検算できる。「内積 0 の軌跡 = 円」は頻出の翻訳。

解答
球面:(x−1)²+(y+2)²+(z−3)² = 16
z = 0 を代入して (x−1)²+(y+2)²+9 = 16、すなわち (x−1)²+(y+2)² = 7
よって交わりの円は 中心 (1, −2, 0)、半径 √7

ポイント 球面は円の式の z 版(中心と半径で決まる)。平面で切った円の半径は √(r²−d²)(d = 中心と平面の距離 = |3|)— 第2巻第3章の「弦の長さ」と同じ三平方の構造が、1次元上がって「球と平面」に再登場する。

解答
|3p→−a→| = 6 の左辺を変形: |3p→−a→| = 3|p→−(1/3)a→| = 6 → |p→−(1/3)a→| = 2 よって P は、位置ベクトル (1/3)a→ の点(線分 OA を 1:2 に内分する点)を中心とする半径 2 の円をえがく。

ポイント 円のベクトル方程式の標準形は |p→−(中心)| = 半径。係数がじゃまなときは「くくり出して標準形に直す」— |3p→−a→| をそのまま眺めず、3 で割って中心を読む。方程式の"顔"を標準形に整える発想は、第2巻の平方完成と同じ。

解答
① a→·b→ = |a→||b→|cos60° = 3×2×(1/2) = 3(ア = 3)
② AB を 2:1 に内分するから OC→ = (1×a→+2×b→)/(2+1) = (a→+2b→)/3(イ = 2、ウ = 3)
③ |OC→|² = (1/9)|a→+2b→|² = (1/9)(|a→|²+4a→·b→+4|b→|²)
= (1/9)(9+12+16) = 37/9
よって OC = √37/3(エオ = 37、カ = 9、キ = 3)
④ OH→ = t a→ とおくと、BH→ = t a→−b→ で、BH ⊥ OA より
(t a→−b→)·a→ = 9t−3 = 0 → t = 1/3 → OH→ = (1/3)a→(ク = 3)
|BH→|² = |(1/3)a→−b→|² = (1/9)×9−(2/3)×3+4 = 1−2+4 = 3 よって BH = √3(ケ = 3)

ポイント
• ③のような |○a→+△b→|² は「2乗+2倍の内積+2乗」の3点セットで機械的に展開 — 係数(1 と 2)の2乗・積を丁寧に。
• ④は B3-1 と同じ「t でおく → 内積0」。BH の長さは、直角三角形 OBH で |b→|²−|OH→|² = 4−1 = 3 と三平方でも検算できる。

解答
① |AB→|² = |b→−a→|² = 4−2×2+4 = 4 → AB = 2
同様にすべての辺の長さが 2 なので、1辺 2 の正四面体(ア = 4、イ = 2)
② 重心の公式より OG→ = (a→+b→+c→)/3(ウ = 3)
③ |a→+b→+c→|² = |a→|²+|b→|²+|c→|²+2(a→·b→+b→·c→+c→·a→)
= 12+12 = 24
|OG→|² = 24/9 = 8/3、OG = √(8/3) = (2√6)/3(エ = 8、オ = 3、カ = 2、キ = 6、ク = 3) ④ OG→·AB→ = (1/3)(a→+b→+c→)·(b→−a→)
= (1/3)(a→·b→−|a→|²+|b→|²−a→·b→+b→·c→−c→·a→)
= (1/3)(−4+4+2−2) = 0(ケ = 0)
同様に OG→·AC→ = 0 なので、OG は平面 ABC に垂直。
⑤ △ABC は1辺 2 の正三角形なので、面積 = (√3/4)×2² = √3
④より OG が高さだから
体積 = (1/3)×√3×(2√6)/3 = (2√18)/9 = (2×3√2)/9 = (2√2)/3(コ = 2、サ = 2、シ = 3)

ポイント
• ③の |a→+b→+c→|² は「2乗3つ+内積3種×2」— 空間の対称的な設定では、この6項展開が何度も主役になる。
• ⑤の検算:1辺 x の正四面体の体積は x³/(6√2)。x = 2 なら 8/(6√2) = (2√2)/3 ○ — 公式との一致で締める。「垂直の証明(④)が高さの資格を与える」という論理の順序も、記述式でそのまま使える型。

解答
① z̄ = 3−2i で、点 z と点 z̄ は実軸に関して対称
② |z| = √(3²+2²) = √13
③ z z̄ = (3+2i)(3−2i) = 9+4 = 13 = (√13)² = |z|² ○

ポイント |z|² = z z̄ はこの章で最も働く等式(絶対値の2乗を「共役との積」に置き換えて計算する)。共役 = 実軸対称、絶対値 = 原点からの距離、という図形の言葉も常にセットで。

解答
① |α| = √(4+1) = √5
② α−β = 3−2i より、距離 = |α−β| = √(9+4) = √13

ポイント 距離は「差をとって絶対値」— 座標の距離公式 √{(x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²} と同じものを、複素数では |α−β| の3文字で書ける。

解答
① r = √2、cosθ = 1/√2、sinθ = 1/√2 → θ = π/4
z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
② r = √(3+1) = 2、cosθ = −√3/2、sinθ = 1/2 → θ = 5π/6
z = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6))

ポイント 手順:「①絶対値 r = √(a²+b²) ②cosθ = a/r、sinθ = b/r から両方の符号で象限を確定して θ を決める」。点 (a, b) を図示して角を目で確認するのが最強の検算。

解答
① r = 2、点は虚軸の負の側 → θ = 3π/2
z = 2(cos(3π/2) + i sin(3π/2))
② r = 3、点は実軸の負の側 → θ = π
z = 3(cos π + i sin π)

ポイント 軸上の点(実数・純虚数)は図から即断:正の実軸 θ = 0、虚軸上 θ = π/2 か 3π/2、負の実軸 θ = π。「−3 の偏角は π」— 負の数も立派な複素数として偏角をもつ。

解答
① 絶対値は 2×3 = 6、偏角は π/3+π/6 = π/2
z₁z₂ = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 6i
② 絶対値は 2/3、偏角は π/3−π/6 = π/6
z₁/z₂ = (2/3)(cos(π/6) + i sin(π/6)) = (2/3)(√3/2 + (1/2)i) = √3/3 + (1/3)i

ポイント 「積は"絶対値は掛け・偏角は足す"、商は"割り・引く"」— 掛け算が回転と拡大に化ける、この章の心臓部。成分のまま掛けるより圧倒的に速い場面が多い。

解答
① π/2 回転は i を掛けること:i(2+i) = −1+2i → −1+2i
② cos(π/3)+i sin(π/3) = 1/2+(√3/2)i を掛けて
2×(1/2+(√3/2)i) = 1+√3 i

ポイント 「原点中心の θ 回転 = cosθ+i sinθ を掛ける」。特に ×i = 90°回転 は反射で使えるように((2, 1) → (−1, 2):座標の回転公式と一致)。

解答
1+i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)) だから、ド・モアブルの定理より
(1+i)⁸ = (√2)⁸ {cos(8×π/4) + i sin(8×π/4)} = 16(cos 2π + i sin 2π) = 16

ポイント 高い累乗は「極形式 → 絶対値は n 乗・偏角は n 倍」の2手で終わる — 二項定理で展開するのとは比較にならない速さ。(√2)⁸ = 2⁴ = 16 の処理も落ち着いて。

解答
1−√3 i の絶対値は 2、偏角は −π/3(第4象限)だから
(1−√3 i)⁶ = 2⁶ {cos(−2π) + i sin(−2π)} = 64×1 = 64

ポイント 偏角は計算の便宜上負の角のまま使ってよい(n 倍して最後に 2π の整数倍を除けば同じ)。答えが実数になった = 偏角が π の整数倍まで回った、という図形的な意味も確認。

解答
z = r(cosθ + i sinθ) とおくと z³ = r³(cos 3θ + i sin 3θ) = 1(cos 0 + i sin 0)
絶対値:r³ = 1 → r = 1
偏角:3θ = 0+2kπ → θ = 2kπ/3(k = 0, 1, 2)
よって z = 1、cos(2π/3)+i sin(2π/3) = −1/2+(√3/2)i、cos(4π/3)+i sin(4π/3) = −1/2−(√3/2)i

ポイント 3つの解は単位円に内接する正三角形の頂点。虚数解2つは第2巻第2章の ω と ω² そのもの — 「ω³ = 1、ω²+ω+1 = 0」の正体が、円周の3等分点だったという種明かし。

解答
i = cos(π/2) + i sin(π/2)。z = r(cosθ+i sinθ) とおくと
r² = 1 → r = 1、2θ = π/2+2kπ → θ = π/4、5π/4
よって z = cos(π/4)+i sin(π/4)、cos(5π/4)+i sin(5π/4)
すなわち z = ±(√2/2)(1+i)

ポイント 偏角の方程式は「+2kπ を忘れずに書いてから k を動かす」— これを落とすと解が1つしか出ない。答えの2解は原点対称(正2角形 = 直径の両端)。検算:{(√2/2)(1+i)}² = (1/2)(1+2i−1) = i ○。

解答
① 点 1+2i からの距離が 3 → 中心 1+2i、半径 3 の円
② 点 2 と点 −2i から等距離 → 2点 2、−2i を結ぶ線分の垂直二等分線(直線 y = −x)

ポイント 「|z−α| は α からの距離」と音読できれば、①円 ②垂直二等分線は定義そのもの。②を成分で確かめると (x−2)²+y² = x²+(y+2)² → y = −x — 第2巻第3章の軌跡と同じ計算になる。

解答
① |z−(−1+i)| = 2 と読み替えて、中心 −1+i、半径 2 の円
② 2点 3、−1 から等距離 → 垂直二等分線。中点は 1 で、2点は実軸上にあるから、点 1 を通り実軸に垂直な直線(実部が 1 の直線)

ポイント ①のように z+● の形は z−(−●) に読み替える(中心の符号ミスが最多の事故)。②は「実軸上の2点の垂直二等分線 = 縦の直線」と図で即断できる。

解答
① (2α+1×β)/(1+2) = {2(−1+4i)+(5+i)}/3 = (3+9i)/3 = 1+3i
② (α+β)/2 = (4+5i)/2 = 2+(5/2)i

ポイント 内分・外分・重心の公式は位置ベクトルと完全に同一(第1章 A6)— 複素数は「1つの文字で書ける2次元ベクトル」だと実感できる場面。

解答
{(2+i)+(−1+2i)+(5−3i)}/3 = (6+0i)/3 = 2

ポイント 重心 = 3点の平均。虚部が打ち消し合って実数(実軸上の点)になった — 答えが実数や純虚数になるのは異常ではなく、図形の配置の反映。

解答
β−α = 2+i、γ−α = 1+3i
(γ−α)/(β−α) = (1+3i)/(2+i) = (1+3i)(2−i)/5 = (5+5i)/5 = 1+i
1+i の偏角は π/4 だから ∠BAC = π/4
(また |1+i| = √2 より AC = √2 AB という長さの比も同時に分かる)

ポイント (γ−α)/(β−α) は「A を原点に平行移動して、AB→ を基準に AC→ を測った複素数」 — 偏角がなす角、絶対値が長さの比。1つの割り算に角と比の2情報が詰まっている。

解答
(γ−α)/(β−α) = (3+ki)/(1+i) = (3+ki)(1−i)/2 = {(3+k)+(k−3)i}/2
① 一直線上 ⇔ この値が実数 ⇔ k−3 = 0 → k = 3
② 垂直 ⇔ この値が純虚数 ⇔ 3+k = 0(かつ虚部 ≠ 0)→ k = −3

ポイント 「実数なら一直線、純虚数なら垂直」— 割り算1回で共線・垂直の両方が判定できる万能テスト。分母の実数化(共役を掛ける)は第2巻第2章 A1 の技術。

解答
1+i = √2(cos(π/4)+i sin(π/4))、√3+i = 2(cos(π/6)+i sin(π/6)) だから
z = (√2/2){cos(π/4−π/6)+i sin(π/4−π/6)}
z = (√2/2)(cos(π/12)+i sin(π/12))
zⁿ = (√2/2)ⁿ{cos(nπ/12)+i sin(nπ/12)} が実数 ⇔ sin(nπ/12) = 0 ⇔ nπ/12 が π の整数倍 ⇔ n が 12 の倍数
よって最小の自然数は n = 12
このとき z¹² = (√2/2)¹²(cos π+i sin π) = (1/2)⁶×(−1) = −1/64

ポイント 商は成分計算せず、分子・分母を先に極形式にして「絶対値は割る・偏角は引く」が速い。「実数 ⇔ sin(偏角) = 0」の翻訳と、(√2/2)¹² = {(√2/2)²}⁶ = (1/2)⁶ の指数処理が2大要点。

解答
−8+8√3 i の絶対値は √(64+192) = 16、偏角は 2π/3(cos = −1/2、sin = √3/2)。
z = r(cosφ+i sinφ) とおくと z⁴ = r⁴(cos 4φ+i sin 4φ) だから
r⁴ = 16 → r = 2
4φ = 2π/3+2kπ → φ = π/6+kπ/2(k = 0, 1, 2, 3)
よって
z = 2(cos(π/6)+i sin(π/6)) = √3+i
z = 2(cos(2π/3)+i sin(2π/3)) = −1+√3 i
z = 2(cos(7π/6)+i sin(7π/6)) = −√3−i
z = 2(cos(5π/3)+i sin(5π/3)) = 1−√3 i

ポイント 4つの解は原点中心・半径 2 の円に内接する正方形の頂点(偏角が π/2 ずつ進む)。「+2kπ を書いてから k を動かす」— A5 と同じ作法の実戦版。検算:(√3+i)⁴ = 16(cos(2π/3)+i sin(2π/3)) = −8+8√3 i ○。

解答
《証明》ド・モアブルの定理より
(cosθ+i sinθ)³ = cos 3θ+i sin 3θ …(1)
一方、二項定理で左辺を展開すると
(cosθ+i sinθ)³ = cos³θ+3cos²θ(i sinθ)+3cosθ(i sinθ)²+(i sinθ)³
= (cos³θ−3cosθ sin²θ)+i(3cos²θ sinθ−sin³θ) …(2)
(1)(2)は同じ複素数だから、実部どうし・虚部どうしが等しい:
cos 3θ = cos³θ−3cosθ sin²θ = cos³θ−3cosθ(1−cos²θ) = 4cos³θ−3cosθ
sin 3θ = 3cos²θ sinθ−sin³θ = 3(1−sin²θ)sinθ−sin³θ = 3sinθ−4sin³θ ∎

ポイント 「同じものを2通りに計算して実部・虚部を比較」— 複素数による等式証明の王道。第2巻第4章で加法定理を重ねて出した3倍角が、ド・モアブル1行から現れる。cos 5θ など n 倍角も同じ手順で導ける汎用工場。

解答
両辺は 0 以上なので、2乗して
|z−4|² = 4|z−1|² (z−4)(z̄−4) = 4(z−1)(z̄−1)
z z̄−4z−4z̄+16 = 4z z̄−4z−4z̄+4
12 = 3z z̄ → |z|² = 4 → |z| = 2
よって 原点を中心とする半径 2 の円

ポイント 距離の比の条件(アポロニウスの円)は「2乗 → |●|² = ●×(●の共役) で展開」が定石 — x、y を持ち出さずに共役の計算だけで済む。−4z、−4z̄ が両辺で消える構造も味わいどころ。

解答
w = (z+1)/(z−1) を z について解くと
w(z−1) = z+1 → z(w−1) = w+1 → z = (w+1)/(w−1)(w ≠ 1)
これを |z| = 1 に代入して
|w+1|/|w−1| = 1、すなわち |w+1| = |w−1| よって w は 2点 −1、1 から等距離の点、すなわち 虚軸の全体をえがく。

ポイント 変換の軌跡は「逆に解いて z = (w の式)、それを z の条件に代入」— 文字 z を消して w だけの条件にする(第2巻第3章の軌跡と同じ大方針)。|w+1| = |w−1| を「2点 ±1 の垂直二等分線」と読み取るのが仕上げ。

解答
|z| = 1 より、点 z は原点中心・半径 1 の円上を動く。 定点 3+4i と原点(円の中心)の距離は |3+4i| = 5。
円上の点と定点の距離は「(中心との距離)±(半径)」の間を動くから
最大値 = 5+1 = 6、最小値 = 5−1 = 4

ポイント |z−α| は「点 α からの距離」— 図を描けば計算はほぼ不要で、中心・定点・半径の位置関係だけで決まる。最大・最小を与える点は、中心と定点を結ぶ直線と円の2交点。

解答
点 α を中心とする π/2 回転だから
γ = α+(β−α){cos(π/2)+i sin(π/2)} = α+(β−α)i
β−α = 2+i より
γ = (1+i)+(2+i)i = (1+i)+(−1+2i) = 3i

ポイント 回転公式 γ = α+(β−α)(cosθ+i sinθ) は「①中心を原点へずらす(β−α)②原点中心で回す(×cosθ+i sinθ)③中心を戻す(+α)」の3段の合成 — 動きで覚える。検算:|γ−α| = |−1+2i| = √5 = |β−α| ○(回転は長さを変えない)。

解答
γ は、点 2 を原点のまわりに ±π/3 だけ回転した点だから
γ = 2{cos(π/3)+i sin(π/3)} = 2(1/2+(√3/2)i) = 1+√3 i
または γ = 2{cos(−π/3)+i sin(−π/3)} = 1−√3 i
よって γ = 1±√3 i

ポイント 正三角形は「1辺を 60° 回転すると隣の辺に重なる」図形 — 回転で頂点を作図する感覚。実軸の上下で±の2つあることを忘れない。検算:|γ| = |γ−2| = 2 ○(3辺すべて 2)。

解答
(γ−α)/(β−α) = 1+i = √2{cos(π/4)+i sin(π/4)} より
∠A = π/4、AC = √2 AB …(1)
また γ−β = (γ−α)−(β−α) = (1+i)(β−α)−(β−α) = i(β−α) だから
(γ−β)/(α−β) = i(β−α)/{−(β−α)} = −i
絶対値 1、偏角 −π/2 なので
∠B = π/2、BC = BA …(2)
(1)(2)より、△ABC は ∠B = 90° の直角二等辺三角形(BA = BC)

ポイント 1+i = √2 cis(π/4) の「45°・√2 倍」が見えた時点で、直角二等辺(45°-45°-90°、斜辺が他辺の √2 倍)の姿を予想できる。決め手は別の頂点でも比をとること — γ−β = i(β−α) を作る変形が急所。具体例 α = 0、β = 1、γ = 1+i を描くと一目瞭然。

解答
《証明》w = z+1/z とおく。w が実数 ⇔ w̄ = w、すなわち
z̄+1/z̄ = z+1/z
移項して z−z̄ = 1/z̄−1/z = (z−z̄)/(z z̄)
(z−z̄)(1−1/|z|²) = 0
よって z = z̄ または |z|² = 1
すなわち z が(0 でない)実数、または |z| = 1 ∎
(逆に、z が実数なら w = z+1/z は実数。|z| = 1 なら 1/z = z̄ より w = z+z̄ = 2×(実部)で実数)

ポイント 実数条件は「共役をとっても変わらない」の等式化が第一手。共通因数 (z−z̄) で割らずにくくる整理は、第1巻第1章の「両辺を文字で割らない」鉄則の複素数版(z = z̄ の解を失わないため)。|z| = 1 ⇔ 1/z = z̄ という便利な言い換えもここで手に入る。

解答
《証明》|w|² = w w̄ を用いる。
|α+β|² = (α+β)(ᾱ+β̄) = |α|²+αβ̄+ᾱβ+|β|² |α−β|² = (α−β)(ᾱ−β̄) = |α|²−αβ̄−ᾱβ+|β|² 辺々加えると、中央の2項が打ち消し合って
|α+β|²+|α−β|² = 2(|α|²+|β|²) ∎

ポイント これは中線定理(平行四辺形の法則)の複素数版 — 対角線の2乗の和 = 4辺の2乗の和。展開して消える構造はベクトルの |a→±b→|²(第1章 B2)と同一。「絶対値の2乗を見たら共役との積に直す」反射神経を作る問題。

解答
w = z/(z−2) とおく(z ≠ 2)。w が純虚数 ⇔ w̄ = −w かつ w ≠ 0
z̄/(z̄−2) = −z/(z−2)
分母を払って z̄(z−2) = −z(z̄−2)
z z̄−2z̄ = −z z̄+2z
2z z̄−2(z+z̄) = 0 → |z|²−(z+z̄) = 0
z = x+yi とおくと x²+y²−2x = 0、すなわち (x−1)²+y² = 1
また、w ≠ 0 より z ≠ 0、定義より z ≠ 2。
よって 中心 1、半径 1 の円(ただし 2点 0、2 を除く)

ポイント 純虚数条件は「w̄ = −w かつ w ≠ 0」— 除外点は「分子 = 0 の点」と「分母 = 0 の点」の2種類。図形の意味は「点 z から 2点 0、2 を見込む角が 90°」— 線分 0-2 を直径とする円(円周角の定理)。式と図の両面で確認したい。検算:z = 1+i(円上)で w = (1+i)/(−1+i) = −i ○ 純虚数。

解答
① z⁶ = cos(6×π/3)+i sin(6×π/3) = cos 2π+i sin 2π = 1(ア = 1)
② z³ = cos π+i sin π = −1(イウ = −1)
③ z ≠ 1 なので、等比数列の和の公式より
1+z+…+z⁵ = (z⁶−1)/(z−1) = 0/(z−1) = 0(エ = 0)
④ z = 1/2+(√3/2)i だから 1−z = 1/2−(√3/2)i
|1−z| = √(1/4+3/4) = 1(オ = 1) ⑤ z² = cos(2π/3)+i sin(2π/3) = −1/2+(√3/2)i だから
1+z+z² = 1+{1/2+(√3/2)i}+{−1/2+(√3/2)i} = 1+√3 i(カ = 1、キ = 3)

ポイント
• ③「1 の n 乗根をすべて足すと 0」は、n 個の頂点の重心が原点(円の中心)にあることの式版 — マーク式では答えの形(= 0)ごと覚えて時短してよい。
• ⑤の検算:1+z+z² = (z³−1)/(z−1) = −2/(z−1)。z−1 = −1/2+(√3/2)i で分母の絶対値の2乗は 1 だから、−2×(−1/2−(√3/2)i) = 1+√3 i ○ — 等比の和の公式が部分和にも使える。
• ④は「単位円上で偏角が π/3 離れた2点の距離 = 2sin(π/6) = 1」— 正六角形の1辺 = 半径という図形的事実そのもの。

解答
① β−α = (4+3i)−(1+2i) = 3+i(ア = 3)
AB = |β−α| = √(9+1) = √10(イウ = 10)
② γ = α+(β−α)i = (1+2i)+(3+i)i = (1+2i)+(−1+3i) = 5i(エ = 5)
③ C は B を A のまわりに π/2 回転した点だから
∠A = 90°、AC = AB = √10(オカ = 90)
面積 = (1/2)×AB×AC = (1/2)×√10×√10 = 5(キ = 5)
④ M = (β+γ)/2 = {(4+3i)+5i}/2 = (4+8i)/2 = 2+4i(ク = 2、ケ = 4)

ポイント
• ②の検算:|γ−α| = |−1+3i| = √10 = AB ○ — 「回転は長さを保つ」が③の二等辺の根拠そのもの。
• ④の M は直角の対辺(斜辺)BC の中点なので外接円の中心。実際 |M−α| = |1+2i| = √5、BC = |γ−β| = |−4+2i| = 2√5 で、AM = BC/2 ○(直角三角形の外接円は斜辺が直径)— 第1巻第7章の図形性質がここでも生きる。

解答
y² = 4px の形で 4p = 8 → p = 2
焦点 (2, 0)、準線 x = −2

ポイント y² = 4px の p(焦点までの距離)を読み取るだけ — 「4p = (係数)」と割る作業を焦らずに。焦点は曲線の内側、準線は反対側、と図の向きで検算する。

解答
① x² = 4py の形で 4p = −4 → p = −1
焦点 (0, −1)、準線 y = 1(下に開く放物線)
② p = 3 だから y² = 4×3×x、すなわち y² = 12x

ポイント x² = 4py 型は軸が y 軸(数Iの y = ax² の仲間:a = 1/(4p))。p の符号が開く向きを決める — p < 0 なら下(左)向き。②のような決定問題は p を特定して公式に戻すだけ。

解答
a = 5、b = 3 だから
長軸の長さ 10、短軸の長さ 6
c = √(25−9) = 4 より 焦点 (±4, 0)

ポイント 楕円の3点セット「a・b・c = √(a²−b²)」。長軸・短軸の"長さ"は 2a、2b(a、b そのものではない)— 問われている量を最後に確認。

解答
分母は y² の方が大きい(9 > 4)ので、長軸は y 軸上。
長軸の長さ 6、短軸の長さ 4
c = √(9−4) = √5 より 焦点 (0, ±√5)

ポイント 焦点は分母の大きい方の軸上 — 縦長の楕円では焦点が y 軸に乗る。c = √(大きい分母 − 小さい分母)と覚えれば向きの混乱がない。

解答
2a = 10 → a = 5、c = 3
b² = a²−c² = 25−9 = 16
よって x²/25+y²/16 = 1

ポイント 決定の手順は「2a と c を確定 → b² = a²−c²」の一本道。焦点が x 軸上なら大きい分母は x² 側 — 配置の確認まで含めて完答。

解答
焦点が y 軸上で c = 2、距離の和 = 2a = 6 → a = 3
b² = a²−c² = 9−4 = 5
長軸が y 軸上だから x²/5+y²/9 = 1

ポイント 「距離の和 = 2a」が楕円の定義そのもの。焦点が y 軸上のときは a² が y² の分母に入る — A3-1 と分母の位置が入れ替わる対比で覚える。

解答
a = 3、b = 2
頂点 (±3, 0)
c = √(9+4) = √13 より 焦点 (±√13, 0)
漸近線 y = ±(2/3)x

ポイント 双曲線は c = √(a²+b²)(足す!) — 楕円(引く)との最大の違い。漸近線 y = ±(b/a)x は「右辺を 0 にした式 x²/9−y²/4 = 0 を解いた直線」と覚えると平行移動後も対応できる。

解答
y²/4−x²/4 = 1 と見て、頂点・焦点は y 軸上。
頂点 (0, ±2)
c = √(4+4) = 2√2 より 焦点 (0, ±2√2)
漸近線 y = ±x

ポイント 右辺が −1 の型は上下に開く双曲線(頂点・焦点が y 軸上)。漸近線が y = ±x になる(a = b の)双曲線は直角双曲線と呼ばれる — xy = k 型(第2巻の反比例)の親戚。

解答
(x−2)²/9+(y+1)²/4 = 1
もとの焦点は c = √(9−4) = √5 より (±√5, 0)。これも同じだけ移動して
焦点 (2±√5, −1)

ポイント 平行移動は「x → x−2、y → y−(−1) = y+1」の置き換え。焦点・中心・準線・漸近線もそっくり同じ分だけ移動 — 曲線だけ動いて焦点が置き去り、というミスに注意。

解答
x²−4x+4(y²−2y)+4 = 0
(x−2)²−4+4(y−1)²−4+4 = 0
(x−2)²+4(y−1)² = 4
(x−2)²/4+(y−1)² = 1 — 中心 (2, 1) の楕円(a = 2、b = 1)
c = √(4−1) = √3 より 焦点 (2±√3, 1)

ポイント 一般形は「x、y それぞれで平方完成」して標準形へ — 第1巻第3章(2次関数)・第2巻第3章(円)と同じ整形技術の3度目の登場。y² の係数 4 でくくってから平方完成する順序に注意。

解答
y = x+1 を代入して x²/4+(x+1)² = 1
両辺 4 倍:x²+4(x+1)² = 4 → 5x²+8x = 0 → x(5x+8) = 0
x = 0、−8/5
よって共有点は (0, 1) と (−8/5, −3/5)

ポイント 曲線と直線は「代入 → 2次方程式」— 円のとき(第2巻第3章)と同じ流れ。分数の代入検算(x = −8/5 で 16/25+9/25 = 1 ○)まで丁寧に。

解答
y = x+k を代入して x²+4(x+k)² = 4
5x²+8kx+4k²−4 = 0
接する ⇔ 判別式 D = 0:
D/4 = (4k)²−5(4k²−4) = −4k²+20 = 0 → k² = 5
よって k = ±√5

ポイント 「接する ⇔ 重解 ⇔ D = 0」— 2次曲線でも判別式が主役(円のときの「距離 = 半径」の代わり)。±の2本(上下から接する)を図でイメージして本数を検算。

解答
cosθ = x/3、sinθ = y/2 を cos²θ+sin²θ = 1 に代入して
x²/9+y²/4 = 1 — 楕円

ポイント 三角関数の媒介変数は「cos²θ+sin²θ = 1 に押し込む」のが消去の定石。(a cosθ, b sinθ) が楕円の媒介変数表示 — 逆向き(楕円上の点をこの形でおく)は最大最小問題の武器になる(B3 へ)。

解答
① cosθ = (x−1)/2、sinθ = (y+3)/2 より
(x−1)²+(y+3)² = 4 — 中心 (1, −3)、半径 2 の円
② t = x+1 を y = t² に代入して
y = (x+1)² — 放物線

ポイント ①のような「+定数」は中心の平行移動。②のような多項式型は「t について解いて代入」— 消去の2大手段(恒等式に押し込む/解いて代入)を使い分ける。

解答
① x = 2cos(π/3) = 1、y = 2sin(π/3) = √3 → (1, √3)
② r = √(2+2) = 2、cosθ = −√2/2、sinθ = √2/2 → θ = 3π/4
(2, 3π/4)

ポイント 変換の3点セット「x = r cosθ、y = r sinθ、r² = x²+y²」。②では cos と sin の両方の符号で象限を確定してから θ を決める(第2章 A2 の極形式と同じ作業)。

解答
① r = √2、cosθ = 1/√2、sinθ = −1/√2 → θ = 7π/4
(√2, 7π/4)
② x = 4cos(5π/6) = −2√3、y = 4sin(5π/6) = 2 → (−2√3, 2)

ポイント 極形式(第2章)と極座標は同じ「距離と角」の言葉 — 複素数 z = r(cosθ+i sinθ) の (r, θ) がそのまま極座標。2つの章はデータの持ち方が共通している。

解答
① r = 4 ⇔ r² = 16 ⇔ x²+y² = 16(原点中心、半径 4 の円)
② 偏角が常に π/4 → 原点を通る傾き tan(π/4) = 1 の直線:y = x

ポイント r = (定数) は円、θ = (定数) は極を通る直線 — 極座標の「基本図形」。距離一定・角一定という定義がそのまま図形になる素直さを味わう。

解答
① 両辺に r を掛けて r² = 2r cosθ
x²+y² = 2x → (x−1)²+y² = 1(中心 (1, 0)、半径 1 の円)
② r cosθ = x そのものだから x = 3(y 軸に平行な直線)

ポイント ①の「両辺 r 倍」が極方程式攻略の最重要テクニック — r²、r cosθ、r sinθ の形を作れば機械的に x、y へ置き換わる。r = 2a cosθ ⇔ 中心 (a, 0) 半径 a の円、は頻出の対応。

解答
P(x, y) とすると、条件は
√{(x−2)²+y²} = |x+2|
両辺を2乗して
(x−2)²+y² = (x+2)²
x²−4x+4+y² = x²+4x+4
y² = 8x(焦点 (2, 0)、準線 x = −2 の放物線)

ポイント 点からの距離は √、直線 x = −2 からの距離は |x+2| — 絶対値も2乗で消える。結果はまさに A1-1 の放物線:定義 →「4p = 8」の対応を確認して公式と接続する。

解答
P(x, y) とすると、条件は
√{(x−3)²+y²}+√{(x+3)²+y²} = 10
√{(x+3)²+y²} = 10−√{(x−3)²+y²} として両辺を2乗:
(x+3)²+y² = 100−20√{(x−3)²+y²}+(x−3)²+y²
(x+3)²−(x−3)² = 12x だから
12x = 100−20√{(x−3)²+y²}
5√{(x−3)²+y²} = 25−3x
再び2乗して 25(x²−6x+9+y²) = 625−150x+9x²
16x²+25y² = 400
x²/25+y²/16 = 1(焦点 (±3, 0)、長軸 10 の楕円)

ポイント √ が2つあるときは「1つを孤立させて2乗」を2回 — 1回目の2乗で √ が1つに減る構造を見る。−150x が両辺で消える(定義の対称性の反映)のが計算の検算ポイント。2a = 10、c = 3、b² = 16 と、A3-1 の公式の"証明"になっている。

解答
P(x, y) とすると、条件は
√{(x−4)²+y²} = 2|x−1|
両辺を2乗して
(x−4)²+y² = 4(x−1)²
x²−8x+16+y² = 4x²−8x+4
3x²−y² = 12
x²/4−y²/12 = 1(双曲線)

ポイント 「距離の比が一定」の軌跡:比が 1(B1-1)なら放物線、1 より大きいと双曲線、1 未満なら楕円になる — この比を離心率という(発展)。−8x が両辺で消える設定の妙も味わいどころ。この双曲線は実戦3-2 で再登場する。

解答
y = x−2 を代入して x²/8+(x−2)²/2 = 1
両辺 8 倍:x²+4(x−2)² = 8 → 5x²−16x+8 = 0 …(※)
判別式 D/4 = 64−40 = 24 > 0 で確かに2点で交わる。
交点の x 座標を x₁、x₂ とすると、解と係数の関係より
x₁+x₂ = 16/5、x₁x₂ = 8/5
中点の x 座標は (x₁+x₂)/2 = 8/5、y 座標は 8/5−2 = −2/5
中点 (8/5, −2/5)
また (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)²−4x₁x₂ = 256/25−32/5 = 96/25
弦の長さ = √(1+1²)×|x₁−x₂| = √2×(4√6)/5 = 8√3/5

ポイント 交点を求めずに中点・弦長を出す「解と係数の関係」ルート(第2巻第3章 B2 と同じ技術)。弦長 = √(1+傾き²)×|x₁−x₂| の公式は、直線上の三平方から。(※)を解いてしまうと √ 混じりの座標で消耗する — 対称式で済ませるのが応用力。

解答
接線の公式より、点 (2, 1) における接線は
(2×x)/6+(1×y)/3 = 1
x/3+y/3 = 1
x+y = 3

ポイント 接線公式「x² → x₁x、y² → y₁y の置き換え」(円 x₁x+y₁y = r² と同じ形の拡張)。検算:y = 3−x を楕円に代入すると x²−4x+4 = (x−2)² = 0 と重解になる ○ — 公式を信じつつ、重解確認の1行が記述の保険になる。

解答
y = 2x+k を代入して x²−(2x+k)² = 1
x²−4x²−4kx−k² = 1
3x²+4kx+k²+1 = 0
接する ⇔ D = 0:
D/4 = (2k)²−3(k²+1) = k²−3 = 0
よって k = ±√3

ポイント 双曲線でも「接する ⇔ D = 0」は同じ。ただし1つ注意 — 直線の傾きが漸近線の傾き ±1 と等しいときは x² の項が消えて2次方程式にならない(1点で交わるが接するのではない)。本問は傾き 2 ≠ ±1 なので安心して判別式が使える、という確認が上級者の一言。

解答
楕円上の点は P(2cosθ, sinθ) とおける(0 ≦ θ < 2π)。
x+2y = 2cosθ+2sinθ = 2√2 sin(θ+π/4)
−1 ≦ sin(θ+π/4) ≦ 1 で、どちらの値もとりうるから
最大値 2√2、最小値 −2√2

ポイント 「楕円上の点 → (a cosθ, b sinθ) とおく」が媒介変数の攻めの使い方 — 2変数 x、y の条件つき最大最小が、θ 1変数の三角関数の合成(第2巻第4章 B4)に化ける。=k とおいて判別式でも解けるが、合成の方が速い。

解答
《証明》x²+y² を計算すると
x²+y² = {(1−t²)²+(2t)²}/(1+t²)² = (1−2t²+t⁴+4t²)/(1+t²)²
= (1+t²)²/(1+t²)² = 1
よって、この曲線上の点はすべて単位円 x²+y² = 1 上にある。
次に、x = −1 となるためには 1−t² = −(1+t²)、すなわち 1 = −1 が必要で、これは不可能。
逆に、単位円上の (−1, 0) 以外の点は、対応する t(t = y/(1+x))によって表される。
よって、この曲線は 単位円 x²+y² = 1 から点 (−1, 0) を除いたものである ∎

ポイント 分子の展開で (1−t²)²+4t² = (1+t²)² ときれいに畳まれるのがこの表示の心臓部。t = tan(θ/2) とおいたときの cosθ、sinθ の表現(発展)としても有名で、「多項式(分数式)だけで円を表せる」— 除外点 1 点がその代償、という構造まで見えると深い。

解答
P(x, y) とおくと、P は AQ の中点だから Q = (2x−4, 2y)
Q は円 x²+y² = 4 上にあるので
(2x−4)²+(2y)² = 4
4(x−2)²+4y² = 4
(x−2)²+y² = 1 — 中心 (2, 0)、半径 1 の円

ポイント 軌跡の定石「動く点 Q を、求める点 P で逆に表して条件に代入」(第2巻第3章 B5 と同じ「つなぎの文字消去」)。Q = (2cosθ, 2sinθ) とおいて P = (cosθ+2, sinθ) → 消去、の媒介変数ルートでも同じ結論 — 2通りの道を持っておく。

解答
加法定理で展開して
r(cosθ cos(π/3)+sinθ sin(π/3)) = 2
(1/2)r cosθ+(√3/2)r sinθ = 2
(1/2)x+(√3/2)y = 2
x+√3 y = 4(直線)

ポイント r cos(θ−α) = d は「極からの距離が d、法線の向きが α の直線」— 実際、原点からこの直線までの距離は 4/√(1+3) = 2 ○、法線方向 (1, √3) の偏角は π/3 ○。直線の極方程式の標準形として顔を覚えておく。

解答
両辺に r を掛けて
r² = 2r cosθ+2r sinθ
x²+y² = 2x+2y
(x−1)²+(y−1)² = 2 — 中心 (1, 1)、半径 √2 の円

ポイント A9-2 の「両辺 r 倍」の合わせ技(cosθ と sinθ の両方)。r = 2a cosθ+2b sinθ ⇔ 中心 (a, b)、半径 √(a²+b²) の原点を通る円、という一般対応まで見えると強い(r = 0 が解に含まれる = 極を通る)。

解答
r+r cosθ = 2 より r = 2−x
r = √(x²+y²) だから √(x²+y²) = 2−x(2−x ≧ 0)
両辺を2乗して x²+y² = 4−4x+x²
y² = −4(x−1) — 放物線(頂点 (1, 0)、左に開く)

ポイント この放物線の焦点は 4p = −4 → 頂点から −1、すなわち原点(極)そのもの — 「焦点を極にとった2次曲線の極方程式 r = l/(1+e cosθ)」(e = 1 で放物線)の実例。惑星の軌道もこの形で書かれる、極座標の見せ場。

解答
① c = √(9−4) = √5 より 焦点 (±√5, 0)(ア = 5)
② 円上の点 (3cosθ, 3sinθ) の y 座標を 2/3 倍すると (3cosθ, 2sinθ) となり、C 上の点になる。
よって 2/3 倍(イ = 2、ウ = 3)
③ 2x+3y = 6cosθ+6sinθ = 6√2 sin(θ+π/4)
よって最大値 6√2(エ = 6、オ = 2)
④ y = x+k を代入して 4x²+9(x+k)² = 36
13x²+18kx+9k²−36 = 0
接する ⇔ D/4 = (9k)²−13(9k²−36) = 36(13−k²) = 0
よって k = ±√13(カキ = 13)

ポイント
• ②の「円をつぶすと楕円」は、楕円の面積 πab(数IIIで登場)や媒介変数表示の根拠になる見方 — ③の (3cosθ, 2sinθ) はこの縮小の式そのもの。
• ④の検算:接点での k の範囲を考えると、共有点をもつ条件は −√13 ≦ k ≦ √13 — 「接する = 共有点をもつ範囲の端」という位置づけも確認。

解答
① a = 2、c = √(4+12) = 4 より 頂点 (±2, 0)、焦点 (±4, 0)(ア = 2、イ = 4)
② 漸近線は y = ±(√12/2)x = ±√3 x(ウ = 3)
③ x = 4 を代入して 4−y²/12 = 1 → y² = 36 → y = ±6(エ = 6)
④ P(4, 6) について
PF = |6−0| = 6(P と F は x 座標が同じ)(オ = 6)
PF' = √{(4+4)²+6²} = √100 = 10(カキ = 10)
PF'−PF = 10−6 = 4 = 2a ○(ク = 4)

ポイント
• ④の PF は「x 座標が同じ2点の距離 = y 座標の差」で即答 — 焦点を通る垂直な弦(半直弦)の半分の長さでもある。
• 「距離の差 = 2a」が具体的な数で成り立つのを見る経験は、定義の実感として貴重。B1-3 で導いた双曲線がまさにこの C — 定義 → 導出 → 検証 の3点が章の中でつながっている。

解答
分子を分母で割って
y = {2(x−1)+3}/(x−1) = 2+3/(x−1)
漸近線は x = 1 と y = 2。
グラフは y = 3/x を x 軸方向に 1、y 軸方向に 2 だけ平行移動した直角双曲線(第1・3象限型)。

ポイント 分数関数はまず帯分数化(分子 = 分母×商+余り)— これで「基本形 k/x の平行移動」として漸近線・概形が読める。k = 3 > 0 なので双曲線は漸近線の交点から見て右上・左下に伸びる。

解答
y = {3(x+2)−1}/(x+2) = 3−1/(x+2)
漸近線は x = −2 と y = 3

ポイント 縦の漸近線は「分母 = 0」、横の漸近線は「商(x → ∞ での値)」— 帯分数化の結果と対応させて2本セットで即答できるように。

解答
根号の中 ≧ 0 より 2x−4 ≧ 0 → 定義域 x ≧ 2
√ の値は 0 以上だから 値域 y ≧ 0
y = √(2(x−2)) なので、グラフは y = √(2x) を x 軸方向に 2 だけ平行移動した、点 (2, 0) から右上に伸びる曲線(横向き放物線の上半分)。

ポイント 無理関数は「定義域の確認が第一手」。y² = 2(x−2)(y ≧ 0)と2乗すれば放物線の半分 — 第3章の y² = 4px とつながる。

解答
3−x ≧ 0 より 定義域 x ≦ 3、値域 y ≧ 0
(グラフは点 (3, 0) から左上に伸びる曲線)

ポイント x の係数が負だと左向きに伸びる。定義域の不等号の向きを根号の中の1次式から機械的に決める。

解答
y = x²+1(x ≧ 0、y ≧ 1)を x について解くと
x² = y−1 → x = √(y−1)(x ≧ 0 より正の方)
x と y を交換して f⁻¹(x) = √(x−1)(定義域 x ≧ 1)

ポイント 手順は「x について解く → x と y を交換」。もとの関数の値域 y ≧ 1 が逆関数の定義域になる — 定義域・値域の入れ替わりまで書いて完答。x ≧ 0 の制限があるから逆関数が作れる(制限がないと1つの y に x が2つ対応してしまう)。

解答
y = (2x+1)/(x−1) より y(x−1) = 2x+1
xy−y = 2x+1 → x(y−2) = y+1 → x = (y+1)/(y−2)
x と y を交換して f⁻¹(x) = (x+1)/(x−2)

ポイント 分数関数の逆関数は「分母を払って x について1次方程式を解く」— x でくくる整理が急所。検算:f(2) = 5 と f⁻¹(5) = 6/3 = 2 が往復すること ○。

解答
(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(2x−1) = (2x−1)²
(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x²−1

ポイント 合成は「内側から順に代入」— g∘f は「f してから g」。展開すると 4x²−4x+1 と 2x²−1 で明らかに別物:合成の順序は交換できないのが大原則。

解答
(g∘f)(x) = 1/(x+2)
(f∘g)(x) = 1/x+2
(f∘f)(x) = (x+2)+2 = x+4

ポイント 1/(x+2) と 1/x+2 — 括弧の位置だけの違いが別の関数を生む。定義域も変わる(前者は x ≠ −2、後者は x ≠ 0)ことに注意。

解答
① 分母・分子を n² で割って
(2+3/n)/(1+1/n²) → 2
② 分母・分子を n² で割って
(3/n+1/n²)/(1+2/n²) → 0/1 = 0

ポイント ∞/∞ 型は「分母の最高次で割る」— 1/n、1/n² → 0 だけが残る。次数を比べて「分子が高ければ ∞、同じなら係数比、低ければ 0」という速読も併用。

解答
共役な式を掛けて有理化:
√(n²+2n)−n = {(n²+2n)−n²}/{√(n²+2n)+n} = 2n/{√(n²+2n)+n}
分母・分子を n で割って
= 2/{√(1+2/n)+1} → 2/2 = 1

ポイント ∞−∞ 型は「有理化して ∞/∞ 型に変換」— √ を分母に追いやるのがコツ。√ の中に n を入れるとき √(n²+2n)/n = √(1+2/n) と、n = √n² として中に入れる処理を正確に。

解答
① |2/3| < 1 だから 0
② 分母・分子を 3ⁿ で割って
{1−(2/3)ⁿ}/{1+(2/3)ⁿ} → 1/1 = 1

ポイント rⁿ は |r| < 1 なら 0 — これが全ての基礎。指数の混じった ∞/∞ は「最大の底の n 乗で割る」と、(小/大)ⁿ → 0 だけが残る。

解答
① 分母・分子を 3ⁿ で割って
1/{(2/3)ⁿ+3} → 1/3 → 1/3
② 分母・分子を 4ⁿ で割って
{1−(−3/4)ⁿ}/4 → 1/4 → 1/4

ポイント 3ⁿ⁺¹ = 3×3ⁿ、4ⁿ⁺¹ = 4×4ⁿ と指数をそろえてから割る。②の (−3/4)ⁿ は負の公比でも |−3/4| < 1 なら 0(符号ごと 0 に潰れる)。

解答
① 初項 1、公比 1/3(|r| < 1 で収束)
和 = 1/(1−1/3) = 3/2
② 初項 2、公比 −1/2(|r| < 1 で収束)
和 = 2/{1−(−1/2)} = 2/(3/2) = 4/3

ポイント 無限等比級数は「収束の確認(|r| < 1)→ a/(1−r)」の2段 — 収束の一言を書かずに公式だけ使うのは減点対象。負の公比は分母が 1+|r| になる。

解答
0.727272… = 0.72+0.0072+0.000072+…
初項 72/100、公比 1/100 の無限等比級数だから
和 = (72/100)/(1−1/100) = 72/99 = 8/11

ポイント 循環小数の正体は無限等比級数(第1巻第1章の「x = 0.72…とおいて 100x−x」の背後にある構造)。公比は循環節の長さで決まる(2桁なら 1/100)。

解答
① (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 → 4
② 分母・分子を x² で割って (3−1/x)/(1+2/x²) → 3

ポイント 0/0 型は「約分できる因数(x−a)が必ず隠れている」— 分子を因数分解して消す。x → ∞ は数列と同じく最高次で割る。

解答
① 有理化して
{(x+4)−4}/[x{√(x+4)+2}] = 1/{√(x+4)+2} → 1/4 → 1/4
② 有理化して
x/{√(x²+x)+x} = 1/{√(1+1/x)+1} → 1/2

ポイント √ を含む 0/0・∞−∞ は有理化が万能の第一手。①の答え 1/4 は「√x+4 の x = 0 での接線の傾き」— 次章の微分係数の予告編になっている。

解答
① sin3x/x = 3×sin3x/(3x) → 3×1 = 3
② (sin5x/5x)×(2x/sin2x)×(5/2) → 1×1×(5/2) = 5/2

ポイント sin▲/▲ の形を作る(▲を一致させ、つじつまの係数を外に出す)— lim sinx/x = 1 の使い方はこの1パターンに尽きる。答えは「角の係数の比」になる。

解答
① tanx/x = (sinx/x)×(1/cosx) → 1×1 = 1
② 分母・分子に 1+cosx を掛けて
(1−cos²x)/{x²(1+cosx)} = (sinx/x)²×1/(1+cosx) → 1×(1/2) = 1/2

ポイント ②の「1+cosx を掛けて sin² を作る」は三角極限の3大技の1つ(①割る ②そろえる ③1+cos)。結果 1/2 は頻出なので、導出ごと覚えて即答できるように。

解答
《証明》f(x) = x³+x−3 とおくと、f(x) は多項式なので連続。
f(1) = 1+1−3 = −1 < 0
f(2) = 8+2−3 = 7 > 0
f(1) と f(2) は異符号だから、中間値の定理より
f(c) = 0 となる c が 1 < c < 2 に少なくとも1つ存在する ∎

ポイント 解の存在証明の型:「連続の確認 → 両端の符号 → 中間値の定理」の3行。「連続だから」の一言が論理の要(不連続な関数では飛び越えられる)。

解答
lim_{x→1} f(x) = lim_{x→1} (x−1)(x+1)/(x−1) = lim_{x→1} (x+1) = 2
連続の条件は lim_{x→1} f(x) = f(1) だから a = 2

ポイント 連続 ⇔ 「極限値 = その点での値」— 定義そのものを使う問題。グラフでいえば「穴のあいた直線 y = x+1 の穴 (1, 2) を a で埋める」作業。

解答
−1 ≦ cos(nπ/4) ≦ 1 だから、各辺を n(> 0)で割って
−1/n ≦ (1/n)cos(nπ/4) ≦ 1/n
lim_{n→∞}(−1/n) = lim_{n→∞}(1/n) = 0 なので、はさみうちの原理より
lim_{n→∞} (1/n)cos(nπ/4) = 0

ポイント cos(nπ/4) は収束しない(振動する)が、有界(−1 以上 1 以下)であることが使える — 「振動 × 0 に向かう量 → はさみうち」が定石。両側の極限が一致することまで書いて原理を適用する。

解答
n ≧ 2 のとき、与えられた不等式 2ⁿ > n(n−1)/2 より
0 < n/2ⁿ < n/{n(n−1)/2} = 2/(n−1)
lim_{n→∞} 2/(n−1) = 0 なので、はさみうちの原理より
lim_{n→∞} n/2ⁿ = 0

ポイント 「(多項式)/(指数)→ 0 — 指数は多項式より速く増える」の代表例。評価の元になる 2ⁿ = (1+1)ⁿ ≧ 1+n+n(n−1)/2 は二項定理から(必要な次数の項だけ残して捨てる)。0 < ではさむ下側も忘れずに。

解答
特性方程式 α = (1/2)α+1 より α = 2。
a_{n+1}−2 = (1/2)(aₙ−2) だから、{aₙ−2} は初項 a₁−2 = −1、公比 1/2 の等比数列:
aₙ−2 = −(1/2)ⁿ⁻¹
aₙ = 2−(1/2)ⁿ⁻¹
(1/2)ⁿ⁻¹ → 0 だから lim_{n→∞} aₙ = 2

ポイント 第2巻第7章の特性方程式がそのまま数IIIの主役に — 「一般項を求めてから極限」が基本ルート。極限値 2 が特性方程式の解 α と一致するのは偶然でなく、「動かなくなる値(不動点)」だから。

解答
部分和を求める。部分分数分解 1/{k(k+1)} = 1/k−1/(k+1) より
Sₙ = (1/1−1/2)+(1/2−1/3)+…+{1/n−1/(n+1)} = 1−1/(n+1)
よって 和 = lim_{n→∞} Sₙ = lim_{n→∞} {1−1/(n+1)} = 1

ポイント 等比型でない無限級数は「部分和 Sₙ を閉じた式にしてから n → ∞」— 定義に忠実に2段で書く。望遠鏡和(第2巻第7章 B2)が極限と合体した、数III頻出の型。

解答
初項 x、公比 1−x の無限等比級数。収束条件は
(i) 初項 x = 0、または (ii) |1−x| < 1 すなわち 0 < x < 2
よって 収束する x の範囲は x = 0 または 0 < x < 2(まとめて 0 ≦ x < 2)
和は
(i) x = 0 のとき すべての項が 0 だから 和 = 0
(ii) 0 < x < 2 のとき 和 = x/{1−(1−x)} = x/x = 1

ポイント 無限等比級数の収束条件は「初項 = 0 または |公比| < 1」— 初項 0 の場合を落とすのが最頻出ミス。和が x によらず 1 になる(x = 0 だけ 0)という不連続な結果も、この型の名物。

解答
最初の正三角形の周の長さは 3×2 = 6。
中点連結定理より、次の正三角形の1辺は前の 1/2 — 周の長さも 1/2 倍になる。
よって周の長さは 初項 6、公比 1/2 の無限等比級数をなし、|1/2| < 1 で収束して
総和 = 6/(1−1/2) = 12

ポイント 図形の反復操作は「相似比 → 公比」の読み替えが全て(周・辺の長さは相似比、面積なら相似比の2乗が公比)。第1巻第7章の中点連結定理が、無限級数の初項・公比を与える部品になる。

解答
x → 1 で分母 → 0。極限値が存在するためには分子 → 0 が必要:
1+a+b = 0 → b = −a−1
このとき 分子 = x²+ax−a−1 = (x−1)(x+a+1) だから
lim_{x→1} (x−1)(x+a+1)/(x−1) = lim_{x→1} (x+a+1) = a+2
これが 3 に等しいので a+2 = 3 → a = 1、b = −2
(検算:(x²+x−2)/(x−1) = (x−1)(x+2)/(x−1) → 3 ○)

ポイント 「分母 → 0 なのに収束 ⇒ 分子 → 0(必要条件)」で文字を1つ減らし、約分してから極限値と比較 — 係数決定の完全な型。必要条件で出した答えが十分でもあることを検算で確かめる流れまで含めて作法。

解答
x²−4 = (x−2)(x+2) に注意する。
x → 2+0 のとき x > 2 で |x−2| = x−2:
(x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 → 4
x → 2−0 のとき x < 2 で |x−2| = −(x−2):
(x−2)(x+2)/{−(x−2)} = −(x+2) → −4
右極限と左極限が一致しないので、lim_{x→2} は存在しない

ポイント 絶対値は「左右で場合分け」— 片側極限の存在と、両者の一致(= 極限の存在)は別の話。グラフでいえば x = 2 で値が 4 と −4 に「割れて」いる状態。

解答
√(4x²+x) = x√(4+1/x)(x > 0)だから
√(4x²+x)+ax = x{√(4+1/x)+a}
x → ∞ で √(4+1/x) → 2 なので、a > −2 なら +∞、a < −2 なら −∞ に発散。
収束するのは a = −2 のときに限る。このとき有理化して
√(4x²+x)−2x = x/{√(4x²+x)+2x} = 1/{√(4+1/x)+2} → 1/4
よって a = −2、極限値 1/4

ポイント 「収束する a を探す」型は、まず x でくくって発散の主犯を特定(√(4x²+…) ~ 2x)— 主要部を打ち消す a だけが生き残る。決めた後は A8-2 と同じ有理化。

解答
sin3x/tan2x = (sin3x/3x)×(2x/tan2x)×(3x/2x)
= (sin3x/3x)×(2x/tan2x)×(3/2)
x → 0 で sin3x/3x → 1、tan2x/2x → 1 だから
極限は 1×1×(3/2) = 3/2

ポイント sin も tan も「▲/▲ = 1 の形」に整えるのは同じ(tanx/x → 1 は A9-2 で確認済み)。答えは角の係数比 3/2 — 形を作れば結果は係数だけが語る。

解答
半角(2倍角)の公式より 1−cos2x = 2sin²x だから
(1−cos2x)/x² = 2sin²x/x² = 2(sinx/x)² → 2×1² = 2

ポイント 1−cos2x を見たら 2sin²x への書き換えが最速(第2巻第4章の2倍角)。A9-2 ②の「1+cos を掛ける」でも解けるが、公式変形の方が1行速い — 両ルートを持つ。

解答
t = x−π とおくと、x → π のとき t → 0 で、x = π+t だから
sinx = sin(π+t) = −sin t
よって lim_{x→π} sinx/(x−π) = lim_{t→0} (−sin t)/t = −1

ポイント x → a(a ≠ 0)の三角極限は「t = x−a とおいて t → 0 に平行移動」— sinx/x = 1 は「0 のまわり」でしか使えないから。加法定理(sin(π+t) = −sin t)で新しい変数の式に書き直す。

解答
① S₂ の1辺は、直角二等辺三角形の斜辺として
√{(1/2)²+(1/2)²} = √2/2
② 相似比が √2/2 だから面積比は (√2/2)² = 1/2。
a₁ = 1 で、{aₙ} は公比 1/2 の等比数列:
aₙ = (1/2)ⁿ⁻¹
③ 初項 1、公比 1/2(|r| < 1 で収束)の無限等比級数だから
Σaₙ = 1/(1−1/2) = 2
④ Sₙ の周の長さは 4×(√2/2)ⁿ⁻¹。初項 4、公比 √2/2(|r| < 1)で収束し
総和 = 4/(1−√2/2) = 8/(2−√2) = 8(2+√2)/{(2−√2)(2+√2)} = 8(2+√2)/2 = 8+4√2

ポイント
• 長さは相似比(√2/2)、面積は相似比の2乗(1/2)が公比 — 何の量を足すかで公比が変わるのが本問の学びの核。
• ④の分母の有理化 8/(2−√2) = 4(2+√2) は第1巻第1章の技術 — 無限級数の答えの整形で頻繁に再登場する。

解答
① 中心と隣り合う2頂点が作る三角形は、頂角 2π/n、等辺 1 の二等辺三角形。
1辺の長さ = 2×1×sin(π/n) = 2sin(π/n)
② Lₙ = n×2sin(π/n) = 2n sin(π/n)
ここで Lₙ = 2π×{sin(π/n)/(π/n)}
n → ∞ のとき π/n → 0 だから sin(π/n)/(π/n) → 1
よって lim_{n→∞} Lₙ = 2π
③ 二等辺三角形1個の面積は (1/2)×1×1×sin(2π/n) だから
Sₙ = (n/2)sin(2π/n)
Sₙ = π×{sin(2π/n)/(2π/n)} で、n → ∞ のとき 2π/n → 0 だから
lim_{n→∞} Sₙ = π

ポイント
• ②③の変形の芯は「Lₙ = 2π×(sin▲/▲)、Sₙ = π×(sin▲/▲) の形に無理やり整える」— 求めたい極限値が係数として先に浮かび上がる構造。
• 結果の意味:内接正 n 角形の周と面積が、n を増やすと円周 2π・円の面積 π に限りなく近づく — 「多角形で円を近似する」古代からの発想が、lim sinx/x = 1 で正当化される。この見方は第7章(積分・区分求積)への橋になる。

解答
f'(x) = lim_{h→0} {1/(x+h)−1/x}/h
= lim_{h→0} [{x−(x+h)}/{x(x+h)}]/h
= lim_{h→0} (−h)/{h x(x+h)}
= lim_{h→0} {−1/(x(x+h))} = −1/x²

ポイント 定義計算の型は「通分 → h で約分 → h → 0」。結果は (x⁻¹)' = −x⁻² と公式 (xᵖ)' = pxᵖ⁻¹ の p = −1 の場合に一致 — 公式の根拠を一度は手で確かめる。

解答
f'(x) = lim_{h→0} {√(x+h)−√x}/h
分子を有理化して
= lim_{h→0} h/[h{√(x+h)+√x}]
= lim_{h→0} 1/{√(x+h)+√x} = 1/(2√x)

ポイント √ の定義計算は有理化(第4章 A8 の技術)で h を約分。(x^(1/2))' = (1/2)x^(−1/2) と、これも指数公式の p = 1/2 の場合。

解答
① y = x⁻³ より y' = −3x⁻⁴ = −3/x⁴
② y = x^(1/2) より y' = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x)

ポイント 分数・√ はまず xᵖ の形に直す — あとは「指数が前に降りて 1 減る」の同じリズム。答えは分数・√ の形に戻して書くのが読みやすい。

解答
① y = x^(2/3) より y' = (2/3)x^(−1/3) = 2/(3 ³√x)
② y = x^(−1/2) より y' = −(1/2)x^(−3/2) = −1/(2x√x)

ポイント ³√x² = x^(2/3)(「³√ は 1/3 乗、2乗は分子」)。指数法則(第2巻第5章)の運用力がそのまま微分の計算力になる。

解答
y' = (x²+1)'(x³−2x)+(x²+1)(x³−2x)'
= 2x(x³−2x)+(x²+1)(3x²−2)
= 2x⁴−4x²+3x⁴+x²−2 = 5x⁴−3x²−2

ポイント (fg)' = f'g+fg':「片方ずつ微分して足す」。検算:先に展開すると y = x⁵−x³−2x → y' = 5x⁴−3x²−2 ○ — 積の公式と展開の一致で公式への信頼を作る。

解答
y' = 2(x²−3)+(2x+1)×2x = 2x²−6+4x²+2x = 6x²+2x−6

ポイント 展開してから微分もできるが、因数の形のまま微分する練習をここで積む — 三角・指数が混ざると展開できなくなるので、積の公式が唯一の道になる(B1 へ)。

解答
y' = {(2x−1)'(x²+1)−(2x−1)(x²+1)'}/(x²+1)²
= {2(x²+1)−(2x−1)×2x}/(x²+1)²
= (2x²+2−4x²+2x)/(x²+1)² = (−2x²+2x+2)/(x²+1)²

ポイント 商の公式は「(上'×下−上×下')/下²」— 分子の引き算の順序が最大の事故ポイント(「上の微分が先」)。分母は展開せず (x²+1)² のまま置く。

解答
① (1/g)' = −g'/g² より y' = −2x/(x²+3)²
② y' = {1×(x+1)−x×1}/(x+1)² = 1/(x+1)²

ポイント 分子が定数の①は簡易版 (1/g)' = −g'/g² で1行。②のように分子が整理でよく消えるのは、帯分数化 y = 1−1/(x+1) からも見える(こちらで微分しても同じ答え — 検算になる)。

解答
① y' = 5(2x+3)⁴×(2x+3)' = 5(2x+3)⁴×2 = 10(2x+3)⁴
② y' = 3(x²+1)²×(x²+1)' = 3(x²+1)²×2x = 6x(x²+1)²

ポイント 「外側の微分 × 中身の微分」 — 中身をひとかたまり u とみなして (u⁵)' = 5u⁴、最後に u' を掛ける。「×中身の微分」を忘れるのが数III最初の関門 — 声に出して習慣化する。

解答
① y = (x²+1)^(1/2) より
y' = (1/2)(x²+1)^(−1/2)×2x = x/√(x²+1)
② y = (x²+x+1)⁻² より
y' = −2(x²+x+1)⁻³×(2x+1) = −2(2x+1)/(x²+x+1)³

ポイント √ や分数も「xᵖ 化 → チェーンルール」の同じ流れで統一処理できる — 商の公式を使うより速い場面が多い。①の形 x/√(x²+1) は今後何度も再会する頻出の答え。

解答
① y' = cos 3x×(3x)' = 3cos 3x
② y = (cos x)² より y' = 2cos x×(cos x)' = 2cos x×(−sin x) = −2sin x cos x = −sin 2x

ポイント 三角関数の微分は必ずチェーンルールとセット(角や中身の微分を掛ける)。(cos x)' = −sin x のマイナスが最頻出の落とし穴。②の答えは2倍角で整理すると美しい。

解答
① y' = {1/cos²2x}×2 = 2/cos²2x
② 積の公式で y' = 1×sin x+x×cos x = sin x+x cos x

ポイント (tan x)' = 1/cos²x は商の公式 (sin/cos)' から導ける(分子が cos²+sin² = 1 に畳まれる)。②は「多項式×三角」— 積の公式の出番はこういう展開できない積にある。

解答
① y' = e^(3x)×3 = 3e^(3x)
② y' = {1/(x²+1)}×(x²+1)' = 2x/(x²+1)

ポイント eˣ は「微分しても形が変わらない」唯一の関数 — 中身の微分だけが外に出る。(log ●)' = ●'/● の形で覚えると②が1行になる。

解答
① y' = 2ˣ log 2
② y' = 1/(x log 2)

ポイント 底が e 以外は log(底)の補正が付く — (aˣ)' = aˣ log a、(log_a x)' = 1/(x log a)。底の変換公式 log₂x = log x/log 2(第2巻第5章)から②を導いておくと忘れない。

解答
① e の定義そのもの:e
② (1+2/x)ˣ = {(1+2/x)^(x/2)}²
x/2 → ∞ で (1+2/x)^(x/2) → e だから、極限は e²

ポイント e の定義は「(1+微小)^(1/微小) → e」— ②のように指数を「1/微小」にそろえてからべきで調整する。この「そろえる」操作は sinx/x の三角極限と同じ発想。

解答
① e の定義(h → 0 版):e
② (e^(2x)−1)/x = 2×(e^(2x)−1)/(2x)
2x → 0 で (e^(2x)−1)/(2x) → 1 だから、極限は 2

ポイント lim (eʰ−1)/h = 1 は「(eˣ)' = eˣ」の正体(x = 0 での微分係数が 1)。三角の sin▲/▲ = 1 と同様、▲をそろえるだけで係数が答えになる。

解答
① y' = 4x³−6x² より y'' = 12x²−12x
② y' = cos x より y'' = −sin x

ポイント 高次導関数は「もう一度微分するだけ」。②の y'' = −y(2回微分すると符号が反転して戻る)は、sin・cos が「微分で4周期の循環」をなす構造の入り口。

解答
dx/dt = 2t、dy/dt = 3t²
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/(2t) = 3t/2

ポイント 媒介変数の微分は「t で微分したものどうしの商」— y を x で直接表せなくても傾きが出せるのが強み(第3章の媒介変数表示と接続)。分母 dx/dt ≠ 0 の確認も一言。

解答
積の公式と (e^(−x))' = −e^(−x) より
y' = 2x×e^(−x)+x²×(−e^(−x)) = x(2−x)e^(−x)

ポイント e^(−x) の微分のマイナス(中身 −x の微分)を落とさない。答えは e^(−x) でくくって因数分解した形まで整える — 次章で y' = 0 を解くとき(増減表)この形が威力を発揮する。

解答
(log ●)' = ●'/● を使う。中身の微分は
(x+√(x²+1))' = 1+x/√(x²+1) = {√(x²+1)+x}/√(x²+1)
よって
y' = [{√(x²+1)+x}/√(x²+1)]/{x+√(x²+1)} = 1/√(x²+1)

ポイント 分子に x+√(x²+1) が再登場して約分で消える、有名な仕掛けの1問。結果 1/√(x²+1) は第7章(積分)で「∫dx/√(x²+1) = log(x+√(x²+1))」として逆向きに再会する — 覚える価値のあるペア。

解答
商の公式より
y' = {cos x(1+cos x)−sin x×(−sin x)}/(1+cos x)²
= (cos x+cos²x+sin²x)/(1+cos x)²
= (cos x+1)/(1+cos x)² = 1/(1+cos x)

ポイント 分子で sin²+cos² = 1 が発動して (1+cos x) が現れ、分母と約分 — 三角の微分計算は「公式で整理して次数を下げる」後処理までがワンセット。y = tan(x/2) と同じ関数(半角の公式)であることを知ると、結果の美しさに納得がいく。

解答
x > 0 で y > 0。両辺の自然対数をとると
log y = x log x
両辺を x で微分して
y'/y = 1×log x+x×(1/x) = log x+1
よって y' = y(log x+1) = xˣ(log x+1)

ポイント xˣ は「底も指数も変数」なので (xᵖ)' も (aˣ)' も使えない — 対数微分法だけが道。左辺の微分が y'/y になる(合成関数:log y を x で微分)ことの理解が核心。

解答
両辺の絶対値の対数をとると
log|y| = 2log|x+1|+3log|x+2|−4log|x+3|
両辺を x で微分して
y'/y = 2/(x+1)+3/(x+2)−4/(x+3)
よって y' = y{2/(x+1)+3/(x+2)−4/(x+3)}
(y = (x+1)²(x+2)³/(x+3)⁴ を代入した形でもよい)

ポイント 商の公式でゴリ押しすると数行の泥沼 — 対数微分法なら指数が係数に降りて分数の和になり1行。「累乗の積・商を見たら log」の反射を作る問題。

解答
《証明》y = aˣ(y > 0)の両辺の自然対数をとると
log y = x log a
両辺を x で微分して
y'/y = log a
よって y' = y log a = aˣ log a ∎

ポイント 公式 (aˣ)' の出どころを自分の手で。aˣ = e^(x log a) と書き直してチェーンルール、という別証明も同じ結論 — 「a の世界は e に翻訳して処理する」数IIIの基本思想。

解答
x²+y² = 25 の両辺を x で微分すると(y は x の関数とみなす)
2x+2y×y' = 0
よって dy/dx = −x/y(y ≠ 0)
点 (3, 4) では 傾き = −3/4 → −3/4

ポイント y² を x で微分すると 2y×y'(チェーンルール:y の関数を x で微分)— これが陰関数微分の全て。答え −x/y は「半径 OP(傾き y/x)と接線が垂直」という円の幾何(第2巻第3章)と一致 ○。

解答
y² = 4x の両辺を x で微分して
2y×y' = 4 → y' = 2/y
点 (1, 2) では dy/dx = 1

ポイント y について解かずに(y = ±2√x の場合分け不要で)傾きが出るのが陰関数微分の利点。第3章の放物線 y² = 4px の接線公式 y₁y = 2p(x+x₁) をこの方法で導くこともできる。

解答
dx/dt = 1−cos t、dy/dt = sin t
よって dy/dx = sin t/(1−cos t)(cos t ≠ 1)
t = π/2 のとき sin(π/2)/(1−cos(π/2)) = 1/(1−0) = 1

ポイント サイクロイド(円が転がるとき円周上の点が描く曲線)は媒介変数の代表選手 — 第7章(面積・弧長)まで付き合う重要曲線。dy/dx は t の式のままでよい(x に直す必要はない)。

解答
《証明》lim_{x→0} |x| = 0 = f(0) なので、f(x) は x = 0 で連続。
微分係数の定義で h → 0 の左右を調べると
lim_{h→+0} {|h|−0}/h = lim_{h→+0} h/h = 1
lim_{h→−0} {|h|−0}/h = lim_{h→−0} (−h)/h = −1
右極限と左極限が一致しないので、f'(0) は存在しない。
よって f(x) = |x| は x = 0 で連続だが微分可能でない ∎

ポイント 「連続 ⇐ 微分可能」だが逆は不成立 — その最も有名な反例。グラフの言葉では「つながっているが尖っている」:微分可能 = なめらか(接線が引ける)、の感覚を式で裏づける問題。

解答
x = 1 で微分可能なら連続でもあるから
(連続)lim_{x→1−0} f(x) = f(1):2 = 1+a+b …(1)
(微分係数の一致)x > 1 側の f'(x) = 2x+a、x < 1 側の f'(x) = 2 より
2+a = 2 …(2)
(2)より a = 0、(1)より b = 1
(このとき x ≧ 1 で f(x) = x²+1、f'(1) = 2 が両側で一致 ○)

ポイント つなぎ目の微分可能性は「値の一致(連続)+ 傾きの一致」の2条件 — 第2巻第6章 B1-3「接する ⇔ 値と傾きが一致」と同じ構造が、区分的に定義された関数で再登場。連続の条件を忘れて傾きだけ合わせるのが定番ミス。

解答
y' = 1×eˣ+x×eˣ = (x+1)eˣ
y'' = eˣ+(x+1)eˣ = (x+2)eˣ
そこで y⁽ⁿ⁾ = (x+n)eˣ と推測し、帰納法で示す。
《証明》
(i) n = 1 のとき:y' = (x+1)eˣ で成立。
(ii) n = k のとき y⁽ᵏ⁾ = (x+k)eˣ と仮定すると
y⁽ᵏ⁺¹⁾ = {(x+k)eˣ}' = eˣ+(x+k)eˣ = (x+k+1)eˣ
となり、n = k+1 でも成立。
(i)(ii)より、すべての自然数 n について y⁽ⁿ⁾ = (x+n)eˣ ∎

ポイント 第 n 次導関数は「2〜3回微分して規則を発見 → 帰納法で確定」が正式ルート(第2巻第7章 B5 の帰納法がここで働く)。「微分するたびに x の係数へ +1 が溜まる」構造が見えれば推測は自然。

解答
① 商の公式より
f'(x) = {1×(x²+1)−x×2x}/(x²+1)² = (1−x²)/(x²+1)²
② f'(0) = 1/1 = 1、f'(1) = 0/4 = 0
③ f'(x) = 0 ⇔ 分子 = 0 ⇔ 1−x² = 0 ⇔ x = ±1
④ 分母・分子を x² で割って(x ≠ 0)
f(x) = (1/x)/(1+1/x²)
x → ∞ でも x → −∞ でも 1/x → 0 だから、どちらも 0

ポイント
• ③のように分数関数の f' = 0 は「分子 = 0」だけ解けばよい(分母は常に正)— ①で分子を因数分解できる形に整えておく意味がここにある。
• ②の f'(1) = 0 と③の x = ±1 が対応:x = 1 は「接線が水平になる点」。④の極限 0 は「x 軸が漸近線」— 次章でこの関数のグラフが完成する。

解答
① log(1+h)/h = log(1+h)^(1/h)
h → 0 で (1+h)^(1/h) → e だから、log の連続性より
極限は log e = 1
② 定義より
(log x)' = lim_{h→0} {log(x+h)−log x}/h = lim_{h→0} (1/h)log(1+h/x)
t = h/x とおくと h = tx、h → 0 のとき t → 0 で
(1/h)log(1+t) = (1/x)×log(1+t)/t
①より log(1+t)/t → 1 だから
(log x)' = 1/x ∎
③ t = eʰ−1 とおくと eʰ = 1+t、h = log(1+t) で、h → 0 のとき t → 0。
(eʰ−1)/h = t/log(1+t) = 1/{log(1+t)/t} → 1/1 = 1
④ 定義より
(eˣ)' = lim_{h→0} (e^(x+h)−eˣ)/h = lim_{h→0} eˣ×(eʰ−1)/h
③より (eʰ−1)/h → 1 だから
(eˣ)' = eˣ ∎

ポイント
• ④の変形 e^(x+h)−eˣ = eˣ(eʰ−1) — 指数法則で eˣ をくくり出すと、x に無関係な極限③だけが残る。「eˣ は微分しても不変」の理由は、この分離ができる指数法則そのもの。
• ③のおき換え t = eʰ−1(逆関数への乗り換え)で①が再利用できる — log と e の公式が表裏一体である構造ごと理解すると、公式忘れが怖くなくなる。

解答
y' = eˣ より、傾きは e。
y = e(x−1)+e = ex

ポイント 接線は「傾き f'(a)・点 (a, f(a))」の直線 — 数IIと同じ型で、微分する関数だけが豊かになった。この接線が原点を通る事実は B1-1 で再登場する。

解答
y' = 1/x より、傾きは 1/e。
y = (1/e)(x−e)+1 = x/e

ポイント これも原点を通る接線 — y = eˣ と y = log x は y = x に関して対称(逆関数)なので、接線どうしも y = ex と y = x/e で対称になっている。

解答
y' = 2x より接線の傾きは 2、法線の傾きは −1/2。
y = −(1/2)(x−1)+1 = −x/2+3/2

ポイント 法線 = 接線と直交する直線:傾きは −1/f'(a)(積が −1)。「接線を出してから傾きを反転」の2段で機械的に。

解答
y' = 1/(2√x) より接線の傾きは 1/2、法線の傾きは −2。
y = −2(x−1)+1 = −2x+3

ポイント 無理関数でも手順は不変。法線は物理(光の反射・入射)や最短距離の議論で主役になる補助線。

解答
f'(x) = (1−x²)/(x²+1)²(第5章 実戦5-1)
f'(x) = 0 ⇔ x = ±1。増減表:

x	…	−1	…	1	…
f'	−	0	+	0	−
f	↘	−1/2	↗	1/2	↘

x = −1 で極小値 −1/2、x = 1 で極大値 1/2

ポイント 分数関数の f' の符号は分子だけで決まる(分母は常に正)。増減表の書式は数IIと同一 — 対象の関数が広がっただけ。

解答
定義域は x ≠ 0。f'(x) = 1−4/x² = (x²−4)/x²
f'(x) = 0 ⇔ x = ±2。増減表(x = 0 で切れる):
x < −2 で増加、−2 < x < 0 で減少、0 < x < 2 で減少、x > 2 で増加。
x = −2 で極大値 −4、x = 2 で極小値 4

ポイント 極大値 −4 < 極小値 4 という逆転が起こるのは、定義域が x = 0 で分断されているから — 極値は「局所的な山谷」であって全体の大小ではない、の好例。x > 0 側の最小値 4 は相加相乗 x+4/x ≧ 2√4 = 4 とも一致 ○。

解答
f'(x) = (1−x)e⁻ˣ
0 ≦ x ≦ 3 で f'(x) = 0 ⇔ x = 1。
f(0) = 0、f(1) = 1/e(極大)、f(3) = 3/e³
3/e³ > 0 だから
最大値 1/e(x = 1)、最小値 0(x = 0)

ポイント e⁻ˣ > 0 なので f' の符号は (1−x) だけで決まる — 第5章 B1 で強調した「因数分解した形の導関数」がここで効く。端の値 3/e³ ≒ 0.15 との比較まで丁寧に。

解答
f'(x) = 1−2cos x = 0 ⇔ cos x = 1/2 ⇔ x = π/3、5π/3
増減:0 ≦ x < π/3 で減少、π/3 < x < 5π/3 で増加、5π/3 < x ≦ 2π で減少。
候補:f(0) = 0、f(π/3) = π/3−√3(極小)、f(5π/3) = 5π/3+√3(極大)、f(2π) = 2π
5π/3+√3 ≒ 6.97 > 2π ≒ 6.28、π/3−√3 ≒ −0.69 < 0 だから
最大値 5π/3+√3(x = 5π/3)、最小値 π/3−√3(x = π/3)

ポイント 三角方程式 cos x = 1/2 を範囲内で全部拾う(第2巻第4章)。端 f(0)、f(2π) と極値の比較は近似値で大小を確定させる — π ≒ 3.14、√3 ≒ 1.73 の暗算力が答案を支える。

解答
y' = 3x²−6x、y'' = 6x−6 = 6(x−1)
x < 1 で y'' < 0(上に凸)、x > 1 で y'' > 0(下に凸)。
x = 1 の前後で凹凸が変わるから、変曲点は (1, −2)

ポイント 凹凸は f'' の符号、変曲点は「f'' = 0 かつ符号が変わる点」— 増減(f')と同じ論法を1階深くやるだけ。3次関数の変曲点はグラフの点対称の中心でもある。

解答
y' = 4x³−12x、y'' = 12x²−12 = 12(x+1)(x−1)
y'' の符号は x = ±1 の前後でどちらも変わる。
y(±1) = 1−6 = −5 より、変曲点は (1, −5) と (−1, −5)

ポイント y'' = 0 の解が複数あればそれぞれで符号変化を確認。「y'' = 0 だから変曲点」は誤り(y = x⁴ の x = 0 は変曲点でない)— 極値のときの f' と同じ注意が f'' にも要る。

解答
定義域 x ≠ 0。y' = 1−1/x² = (x²−1)/x²
増減:x = −1 で極大値 −2、x = 1 で極小値 2(A3-2 と同様)。
漸近線:x → ±0 で y → ∓∞ より x = 0(y 軸)。
また y−x = 1/x → 0(x → ±∞)より y = x(斜めの漸近線)。
概形:第1象限と第3象限に、直線 y = x と y 軸を漸近線とする2本の枝(双曲線型)。

ポイント 数IIIのグラフの新要素は斜めの漸近線:「y−(直線) → 0」を確かめる。y = x+1/x は「x に 1/x のさざ波が乗った形」— 遠方で直線に吸い付く感覚をもつ。

解答
y' = (1−x)e⁻ˣ:x < 1 で増加、x > 1 で減少、x = 1 で極大値 1/e。
y'' = (x−2)e⁻ˣ:x = 2 の前後で符号が変わり、変曲点 (2, 2/e²)。
極限:x → ∞ で y → 0(x 軸が漸近線)、x → −∞ で y → −∞。
概形:原点を通り、x = 1 で山(高さ 1/e)を作り、x = 2 で反り返りながら x 軸に沿って 0 に近づく曲線。

ポイント 「多項式 × e⁻ˣ」は遠方で指数が勝って 0 に潰れる(第4章 B1-2 の「指数は多項式より強い」)— この型のグラフは頻出中の頻出で、B4-1・実戦6-2 で主役を張る。

解答
《証明》f(x) = eˣ−1−x とおくと f'(x) = eˣ−1
x > 0 で eˣ > 1 だから f'(x) > 0、よって f(x) は x ≧ 0 で増加。
f(0) = 0 なので、x > 0 で f(x) > f(0) = 0
すなわち eˣ > 1+x ∎

ポイント 不等式証明の型「差をとって最小値(または増加+始点)≧ 0」— 数IIの手法がそのまま。1+x は eˣ の x = 0 での接線:「凸な曲線は接線の上」という図形的意味も添えたい。

解答
《証明》f(x) = x−1−log x とおくと f'(x) = 1−1/x = (x−1)/x
0 < x < 1 で f' < 0、x > 1 で f' > 0 だから、f(x) は x = 1 で最小値 f(1) = 0 をとる。
よって x > 0 で f(x) ≧ 0、すなわち log x ≦ x−1(等号は x = 1 のとき) ∎

ポイント y = x−1 は y = log x の (1, 0) における接線 — A7-1 と対をなす「対数は接線の下」。この2つの不等式は極限評価(実戦6-1)や e の評価で繰り返し使われる基本部品。

解答
v = dx/dt = 3t²−12t+9 = 3(t−1)(t−3)、a = dv/dt = 6t−12
① v(2) = 3×1×(−1) = −3、a(2) = 12−12 = 0
② 向きが変わる ⇔ v の符号が変わる ⇔ t = 1 と t = 3

ポイント 速度は位置の微分、加速度は速度の微分 — 「微分 = 変化率」の物理的な顔。②は「v = 0」でなく「v = 0 かつ符号が変わる」(極値の判定と同じ論理)。

解答
① f(x) = √x、f'(x) = 1/(2√x) で f(4+h) ≒ 2+h/4
h = 0.02 として √4.02 ≒ 2+0.005 = 2.005
② h ≒ 0 で (1+h)ⁿ ≒ 1+nh だから
(1.002)¹⁰ ≒ 1+10×0.002 = 1.02

ポイント 近似式 f(a+h) ≒ f(a)+f'(a)h は「曲線を接線で代用」— h が小さいほど精密。②の (1+h)ⁿ ≒ 1+nh は物理・化学の計算でも常用される万能近似。

解答
接点を (a, eᵃ) とおくと、接線は y = eᵃ(x−a)+eᵃ
原点を通るから 0 = eᵃ(−a)+eᵃ = eᵃ(1−a)
eᵃ ≠ 0 より a = 1。よって接線は y = ex(接点 (1, e))

ポイント 「接点をおく → 条件で接点を決める」— 第2巻第6章 B1 の型が超越関数でも不変。eᵃ ≠ 0 で割る一言(方程式の処理の丁寧さ)まで含めて答案。

解答
接点の x 座標を t とすると、接する条件は
(値の一致)log t = at (傾きの一致)1/t = a
第2式より at = 1。第1式に代入して log t = 1 → t = e
よって a = 1/e(接点 (e, 1)、接線 y = x/e)

ポイント 「接する ⇔ 値と傾きの2条件」の連立(第2巻第6章 B1-3 と同じ骨格)。結果は A1-2 の接線そのもの — 「原点を通る log x の接線はただ1本」という図の理解とセットで。

解答
第5章 B3-3 より、t = π/2 における dy/dx = sin t/(1−cos t) = 1
対応する点は (π/2−1, 1)。よって接線は
y = 1×{x−(π/2−1)}+1 = y = x−π/2+2

ポイント 媒介変数の曲線でも「傾き(dy/dx)と通る点」がそろえば接線は書ける — 点の座標も t を代入して作る。x を消去できない曲線を扱えるのが媒介変数微分の存在意義。

解答
f'(x) = 1−a/x²。x = 2 で極値をもつ必要条件は f'(2) = 1−a/4 = 0 → a = 4
このとき f'(x) = (x²−4)/x² は x = 2 の前後で − → + と変わるので、確かに極小。
a = 4、極小値 f(2) = 2+2 = 4

ポイント f'(2) = 0 は必要条件にすぎない — 十分性(符号変化)の確認が答案の生命線(第2巻第6章 B2 の作法の数III版)。

解答
f'(x) = {a(x²+1)−(ax+b)×2x}/(x²+1)² = (−ax²−2bx+a)/(x²+1)²
条件は f(1) = (a+b)/2 = 1 かつ f'(1) = (−a−2b+a)/4 = −b/2 = 0
よって b = 0、a = 2。
このとき f(x) = 2x/(x²+1)、f'(x) = 2(1−x²)/(x²+1)² は x = 1 の前後で + → − となり、極大値 f(1) = 1 ○
a = 2、b = 0

ポイント 「x = 1 で極値 1」は2つの等式(値と f' = 0)— 条件の翻訳を落とさない。決定後の増減確認(極大であること)までが1セット。

解答
《証明》f(x) = log x は x > 0 で連続かつ微分可能。区間 [a, b] に平均値の定理を用いると
(log b−log a)/(b−a) = f'(c) = 1/c
を満たす c が a < c < b に存在する。
a < c < b より 1/b < 1/c < 1/a だから
1/b < (log b−log a)/(b−a) < 1/a ∎

ポイント 平均値の定理の使い方は「差の商を f'(c) に置き換え、c の範囲で評価」の一本槍。「存在する c」を不等式ではさむ、この間接的な論法が数IIIの証明の新しい型。

解答
x = 0 は解でない(1 ≠ 0)ので、k = eˣ/x と分離できる。
g(x) = eˣ/x とおくと g'(x) = eˣ(x−1)/x²
x > 0:x = 1 で極小値 g(1) = e。x → +0 で +∞、x → ∞ で +∞。
x < 0:g'(x) < 0 で減少。x → −∞ で 0(に下から近づく)、x → −0 で −∞。
よって y = g(x) と y = k の共有点を数えて
k < 0 のとき 1 個/0 ≦ k < e のとき 0 個/k = e のとき 1 個/k > e のとき 2 個

ポイント 定数分離 → 増減+両端の極限でグラフの「値域の地図」を作る — 数IIIの解の個数は極値だけでなく極限(漸近のふるまい)が境目になるのが新しい。x < 0 の枝(負の値だけをとる)を忘れると k < 0 を落とす。

解答
《証明》f(x) = eˣ−1−x−x²/2 とおくと
f'(x) = eˣ−1−x
A7-1 より x > 0 で eˣ > 1+x、すなわち f'(x) > 0。
よって f(x) は x ≧ 0 で増加し、f(0) = 0 だから x > 0 で f(x) > 0
すなわち eˣ > 1+x+x²/2 ∎

ポイント 「微分したら1つ前の不等式が現れる」階段構造 — A7-1 → 本問 → eˣ > 1+x+x²/2+x³/6 → … と無限に続けられる(eˣ の多項式近似の芽)。証明済みの結果を f' の符号評価に使う連携が学びどころ。

解答
《証明》f(x) = x/e−log x とおくと f'(x) = 1/e−1/x = (x−e)/(ex)
0 < x < e で f' < 0、x > e で f' > 0 だから、f は x = e で最小値 f(e) = 1−1 = 0。
よって x > 0 で f(x) ≧ 0、すなわち log x ≦ x/e(等号は x = e) ∎
関係:y = x/e は B1-2 で求めた「原点を通る y = log x の接線」— この不等式は「log x のグラフ全体が接線 y = x/e の下側にある」ことを表している(上に凸な曲線は接線の下)。

ポイント 不等式・接線・凸性の三位一体:接線を求める(B1-2)ことと、接線ではさむ不等式(本問)は同じ現象の2つの顔。「凸性 → 接線との上下関係」という見方は評価問題の視力になる。

解答
y' = 2xe⁻ˣ−x²e⁻ˣ = x(2−x)e⁻ˣ(第5章 B1-1)
y' = 0 ⇔ x = 0、2。増減:x < 0 減少、0 < x < 2 増加、x > 2 減少。
x = 0 で極小値 0、x = 2 で極大値 4/e²
y'' = (2−2x)e⁻ˣ−(2x−x²)e⁻ˣ = (x²−4x+2)e⁻ˣ
y'' = 0 ⇔ x = 2±√2 で、その前後で符号が変わるから 変曲点は x = 2±√2 の2点
極限:x → ∞ で y → 0(x 軸が漸近線)、x → −∞ で y → ∞。
概形:x ≦ 0 から下りてきて原点で底(接地)、x = 2 で山(高さ 4/e² ≒ 0.54)、2つの変曲点で反りを変えながら x 軸へ潰れていく曲線。

ポイント 「多項式 × e⁻ˣ」のグラフの完全版:y' も y'' も e⁻ˣ でくくれば多項式の符号問題に落ちる。原点で x 軸に接する(y = y' = 0)、遠方で 0 — この形は確率・統計の分布曲線にも通じる頻出プロファイル。

解答
速度ベクトルは (dx/dt, dy/dt) = (−2sin t, 2cos t)
速さ = √(4sin²t+4cos²t) = 2(一定)
加速度ベクトルは (−2cos t, −2sin t) で、大きさ = 2

ポイント 円運動の名場面:速さ一定でも速度(向き)は変わり続け、加速度は中心を向く(加速度ベクトル = −(位置ベクトル))。「加速度 ≠ スピードの変化」という概念の整理を、微分の計算が裏づける。

解答
体積 V = (4/3)πr³ を t で微分すると(r は t の関数)
dV/dt = 4πr²×(dr/dt)
r = 5、dr/dt = 1 を代入して dV/dt = 4π×25×1 = 100π (cm³/秒)

ポイント 関連変化率は「関係式を作ってから t で微分」(合成関数の微分が自動で dr/dt を連れてくる)。係数 4πr² が球の表面積であること — 「体積の増える速さ = 表面積 × 半径の伸びる速さ」の直観と一致 ○。

解答
① 商の公式より f'(x) = {(1/x)×x−log x}/x² = (1−log x)/x²
② f'(x) = 0 ⇔ log x = 1 ⇔ x = e
0 < x < e で f' > 0(増加)、x > e で f' < 0(減少)。
x = e で最大値 f(e) = 1/e
③ 《証明》log t ≦ t−1 に t = √x(x > 1)を代入すると
(1/2)log x ≦ √x−1 < √x → log x < 2√x
よって x > 1 で 0 < f(x) = log x/x < 2√x/x = 2/√x
lim_{x→∞} 2/√x = 0 だから、はさみうちの原理より lim_{x→∞} f(x) = 0 ∎
④ e < π で、②より f(x) は x > e で減少するから
f(e) > f(π) すなわち 1/e > (log π)/π
両辺に eπ(> 0)を掛けて π > e log π = log π^e
π = log e^π だから log e^π > log π^e
log は増加関数なので e^π > π^e

ポイント
• ③の「t への代入で √x を作る」は、既知の不等式を強い評価に化けさせる標準技 — logx は √x より遅い、が結論。
• ④の核心は「a^b と b^a の比較 → log をとって (log x)/x の値の比較」という翻訳。e^π ≒ 23.1、π^e ≒ 22.5 — 僅差の勝負をグラフの単調性が裁く名問。

解答
g(x) = xe⁻ˣ とおくと g'(x) = (1−x)e⁻ˣ
増減:x < 1 で増加、x > 1 で減少。極大値 g(1) = 1/e。
極限:x → ∞ で g(x) → 0(正の側から)、x → −∞ で g(x) → −∞。
また g(0) = 0 で、x < 0 では g(x) < 0、x > 0 では g(x) > 0。
y = g(x) と y = k の共有点の個数を数えて
k > 1/e のとき 0 個
k = 1/e のとき 1 個
0 < k < 1/e のとき 2 個
k ≦ 0 のとき 1 個

ポイント
• k = 0 が「ちょうど1個(x = 0)」、0 < k < 1/e が「山の両側で2個」— x → ∞ で 0 に近づくが到達しないことが個数を分ける。極限は「見えない境界線」。
• グラフの部品(増減・極値・極限)がすべて既出(A6-2)— 良いグラフを1枚持っていれば、解の個数は「水平線を上下させて眺める」だけの作業になる。

解答
① ∫(2x³+3x⁻²)dx = x⁴/2−3x⁻¹+C = x⁴/2−3/x+C
② ∫x^(1/2)dx = (2/3)x^(3/2)+C = (2/3)x√x+C

ポイント 数IIと同じ「指数を1増やして割る」— ただし p が負・分数でも同じ公式が回る。答えを微分して戻る検算(10秒の保険)を習慣に。

解答
① log|x|+C
② ∫x^(1/3)dx = (3/4)x^(4/3)+C = (3/4)x ³√x+C

ポイント 1/x だけは log|x| — 公式 xᵖ⁺¹/(p+1) が p = −1 で分母 0 になる穴を、log が埋めている。絶対値を忘れない(x < 0 でも成立させるため)。

解答
① 2sin x+3cos x+C
② tan x+C

ポイント 微分の表を「右から左へ」読む — (−cos x)' = sin x だから ∫sin x = −cos x:符号の出入りが三角積分の最頻出ミス。

解答
① eˣ−log|x|+C
② 3ˣ/log 3+C

ポイント (aˣ)' = aˣ log a の log a を「割って返す」のが ∫aˣ = aˣ/log a。e は log e = 1 だから何も付かない — e が「積分の世界の標準通貨」である理由。

解答
① (1/2)×(2x+1)⁵/5+C = (2x+1)⁵/10+C
② (1/3)sin 3x+C

ポイント 中身が 1次式なら「普通に積分して、中の傾きで割る」— 合成関数の微分(×a)の逆再生(÷a)。微分して戻るかの検算が最も効くのがこの型。

解答
① −(1/2)e^(−2x)+C
② (1/3)log|3x+2|+C

ポイント ①はマイナス(÷(−2))、②は log|1次式| ÷ 傾き — この2つが定積分・面積計算で毎回登場する基礎部品になる。

解答
u = x²+1 とおくと du = 2x dx、すなわち x dx = (1/2)du
∫x(x²+1)³dx = (1/2)∫u³du = u⁴/8+C = (x²+1)⁴/8+C

ポイント 置換の合図は「中身の微分(2x)が外に(定数倍で)いる」こと — かたまり u と du の在庫確認をしてからおき換える。最後は必ず x の式に戻す。

解答
① u = sin x とおくと du = cos x dx
∫u²du = u³/3+C = sin³x/3+C
② 分子 2x が分母 x²+1 の微分だから
log(x²+1)+C

ポイント ②の「●'/● = log|●|」は数IIIで最も回転数の多い公式(x²+1 > 0 なので絶対値不要)。①のように「1つ残して相方を u に」が三角の置換の型。

解答
f = x、g' = eˣ として
∫x eˣ dx = x eˣ−∫1×eˣ dx = x eˣ−eˣ+C = (x−1)eˣ+C

ポイント 部分積分 ∫fg' = fg−∫f'g:「微分して軽くなる x を f に、積分が楽な eˣ を g' に」— 役割分担を間違えると式が重くなる方向に進む。

解答
① ∫x cos x dx = x sin x−∫sin x dx = x sin x+cos x+C
② log x = 1×log x と見て f = log x、g' = 1:
∫log x dx = x log x−∫x×(1/x)dx = x log x−x+C

ポイント ②の「1 を掛けて部分積分」は log 系の名品 — log x は「微分すると 1/x に軽くなる」ので f 側が定位置。結果 x log x−x は暗記級の頻出。

解答
① [−cos x] を 0 から π まで:(−cos π)−(−cos 0) = 1+1 = 2
② [log x] を 1 から e まで:log e−log 1 = 1−0 = 1

ポイント ①「sin の山1つ分の面積 = 2」②「1/x の 1〜e の面積 = 1」— どちらも今後何度も使う基準の値。上端−下端の順序は数IIと同じ。

解答
① A5-1 の結果を使って [(x−1)eˣ] を 0 から 1 まで:0−(−1) = 1
② [−1/x] を 1 から 2 まで:(−1/2)−(−1) = 1/2

ポイント 定積分は「不定積分(の1つ)を作ってから代入」— 部分積分の結果も原始関数としてそのまま使える。①の答え 1 の潔さも記憶に。

解答
半角の公式 sin²x = (1−cos 2x)/2 より
∫[0→π] (1−cos 2x)/2 dx = [x/2−sin 2x/4] を 0 から π まで
= (π/2−0)−0 = π/2

ポイント 2乗の三角は半角で1次に下げる — sin²・cos² を見た瞬間の反射にする。「sin²x の 0〜π の積分 = π/2(区間の半分)」は回転体の体積で主役になる基準値。

解答
① cos²x = (1+cos 2x)/2 より、A7-1 と同様に π/2
② sin x cos x = (1/2)sin 2x より
(1/2)[−cos 2x/2] を 0 から π/2 まで = (1/4)+(1/4) = 1/2

ポイント sin²+cos² = 1 を 0〜π で積分すると π — ①と A7-1 の和が π になるのは当然、という検算の視点。②は u = sin x の置換でも同じ(2ルート確認)。

解答
u = x²+1 とおくと du = 2x dx。x:0 → 1 のとき u:1 → 2。
∫[0→1] x(x²+1)³dx = (1/2)∫[1→2] u³du = (1/2)[u⁴/4] を 1 から 2 まで
= (1/2)×(16−1)/4 = 15/8

ポイント 定積分の置換は「区間も u の世界に引っ越す」— x に戻す必要がなくなるのが不定積分との違い(戻し忘れ・区間忘れの事故を同時に防げる)。

解答
① x = sin θ(0 ≦ θ ≦ π/2)とおくと dx = cos θ dθ、x:0 → 1 で θ:0 → π/2
√(1−sin²θ) = cos θ だから
∫[0→π/2] cos²θ dθ = π/4(A7-2)→ π/4
② x = tan θ とおくと dx = dθ/cos²θ、1+tan²θ = 1/cos²θ、x:0 → 1 で θ:0 → π/4
∫[0→π/4] dθ = π/4

ポイント √(a²−x²) には x = a sin θ、1/(a²+x²) には x = a tan θ — 三角置換の2大指定席。①は「単位円の 1/4 の面積 = π/4」そのもの:答えに π が現れる理由は円が隠れているから。

解答
sin x は奇関数なので対称区間の積分は 0。cos x は偶関数なので
∫[−π/2→π/2] cos x dx = 2∫[0→π/2] cos x dx = 2[sin x] = 2×1 = 2

ポイント 対称区間では「奇関数は消え、偶関数は 2 倍」— 計算前の一瞥で仕事が半減する(第2巻第6章 A7 の拡張)。sin・奇数乗は奇、cos・偶数乗は偶。

解答
① 上端が x の定積分の微分:log x
② ∫[0→1] f(t)dt は定数なので A とおくと f(x) = eˣ+2A
A = ∫[0→1] (e^t+2A)dt = (e−1)+2A
よって −A = e−1 → A = 1−e
f(x) = eˣ+2−2e

ポイント ①「積分して微分すると元どおり」②「上下端が数字の定積分 = ただの定数 A」— 第2巻第6章 B4 の2大原理が、関数の顔ぶれを変えて再登場。②は求めた f で A を再計算して一致を確認(A = 1−e ○)。

解答
u = x−1 とおくと x = u+1、dx = du。x:1 → 2 で u:0 → 1。
∫[0→1] (u+1)√u du = ∫[0→1] (u^(3/2)+u^(1/2))du
= [2u^(5/2)/5+2u^(3/2)/3] を 0 から 1 まで = 2/5+2/3 = 16/15

ポイント √(1次式) は「中身ごと u にして、余った x は u+1 で書き直す」— 展開すれば xᵖ の積分に落ちる。区間の引っ越し(1→2 が 0→1 に)も同時に。

解答
cos³x = cos²x×cos x = (1−sin²x)cos x
u = sin x とおくと du = cos x dx、x:0 → π/2 で u:0 → 1。
∫[0→1] (1−u²)du = 1−1/3 = 2/3

ポイント 奇数乗は「1つ残して残りを相方に書き換える」 — cos を1つ残し、cos² = 1−sin² で u = sin の世界へ。偶数乗(半角で次数下げ)との使い分けが三角積分の分岐点。

解答
u = log x とおくと du = dx/x。x:e → e² で u:1 → 2。
∫[1→2] du/u = [log u] = log 2−log 1 = log 2

ポイント 1/(x log x) = (1/log x)×(1/x) — 1/x が log x の微分である構造を見抜く。log の中に log が現れる「入れ子」も、置換1回で1階層ほどける。

解答
∫[0→π] x sin x dx = [x×(−cos x)] を 0 から π まで−∫[0→π] (−cos x)dx
= (π−0)+[sin x] を 0 から π まで = π+0 = π

ポイント 定積分の部分積分は「[fg] の代入と残りの積分を分けて処理」。x sin x(0〜π)= π はきれいな基準値 — 対称性(x = π/2 中心)から π×(sinの面積2)/2 = π と読む別視点もある。

解答
f = log x、g' = x として
∫[1→e] x log x dx = [x²/2×log x] を 1 から e まで−∫[1→e] (x²/2)×(1/x)dx
= e²/2−(1/2)∫[1→e] x dx = e²/2−(1/2)×(e²−1)/2 = (e²+1)/4

ポイント log が絡む積は必ず log を f(微分する側)に — 1/x に化けて x のべきと合流し、ただの多項式積分に落ちる。x を f にすると ∫x²/2 × … と log が生き残って泥沼。

解答
I = ∫eˣ sin x dx とおく。部分積分を2回:
I = eˣ sin x−∫eˣ cos x dx = eˣ sin x−(eˣ cos x+∫eˣ sin x dx)
= eˣ(sin x−cos x)−I
よって 2I = eˣ(sin x−cos x) より
I = (1/2)eˣ(sin x−cos x)+C

ポイント eˣ × 三角 は部分積分を2回すると同じ積分 I が右辺に再登場する — 「I の方程式」として解くのが名物の型。検算:微分して eˣ sin x に戻る ○。

解答
与式 = lim_{n→∞} (1/n)Σₖ₌₁ⁿ (k/n)²
f(x) = x² の区分求積だから
= ∫[0→1] x²dx = 1/3

ポイント もっとも基本の形 — Σk² の公式(第2巻第7章)で計算して極限をとっても 1/3 に一致する。「和の公式が使えない関数でも積分なら計算できる」のが区分求積の存在価値。

解答
n/(n²+k²) = (1/n)×1/{1+(k/n)²} だから
与式 = lim_{n→∞} (1/n)Σₖ₌₁ⁿ 1/{1+(k/n)²}
= ∫[0→1] dx/(1+x²) = π/4(A8-2 ②)

ポイント 「分母・分子を n² で割って k/n を作る」整形が主役。答えに π が出る驚き — 有理数の和の極限に円周率が現れるのは、背後に tan の置換(円)がいるから。

解答
与式 = lim_{n→∞} (1/n)Σₖ₌₁ⁿ sin(kπ/n) = lim_{n→∞} (1/n)Σₖ₌₁ⁿ f(k/n)(f(x) = sin πx)
= ∫[0→1] sin πx dx = [−cos πx/π] を 0 から 1 まで = (1/π)+(1/π) = 2/π

ポイント kπ/n = π×(k/n) と読んで f(x) = sin πx — 角の中の k/n を見抜く。第4章 実戦4-2(多角形→円)と同じ「分割して足して極限」が、公式として整備された姿。

解答
① 《証明》k ≦ x ≦ k+1 で 1/(k+1) ≦ 1/x ≦ 1/k。等号が常には成り立たないので、辺々を k から k+1 まで積分すると(積分は大小を保つ)
1/(k+1) = ∫[k→k+1] dx/(k+1) < ∫[k→k+1] dx/x < ∫[k→k+1] dx/k = 1/k ∎
② 《証明》①の右側の不等式 ∫[k→k+1] dx/x < 1/k を k = 1, 2, …, n について辺々加えると
Σₖ₌₁ⁿ ∫[k→k+1] dx/x < Σₖ₌₁ⁿ 1/k
左辺は区間がつながって ∫[1→n+1] dx/x = log(n+1)
よって 1+1/2+…+1/n > log(n+1) ∎

ポイント 「階段(和)と曲線(積分)を面積で比較」— 区分求積の兄弟にあたる評価技術。この不等式から「調和級数 Σ1/k は発散する」(log(n+1) → ∞)という有名な事実が従う — 第4章「lim aₙ = 0 でも級数は収束するとは限らない」の実例。

解答
t の積分では x は定数なので、x を積分の外に出す:
F(x) = x∫[0→x] e^t dt−∫[0→x] t e^t dt
第1項の微分は(積の微分)∫[0→x] e^t dt+x eˣ、第2項の微分は x eˣ。
F'(x) = ∫[0→x] e^t dt+x eˣ−x eˣ = [e^t] を 0 から x まで = eˣ−1

ポイント (x−t) 型は「x を外に出してから微分」 — そのまま d/dx∫ = 中身、とやるのは誤り(中身にも x がいる)。x∫…dt の微分に積の公式が要る点が急所。

解答
両辺を x で微分して f(x) = eˣ
x = a を代入すると左辺は 0 だから 0 = eᵃ−2 → a = log 2

ポイント 変数上端の積分方程式の2大操作「微分して f を出す/x = a を代入して a を出す」(第2巻第6章 B4-3 の数III版)。両方やって初めて完答。

解答
① I₁ = ∫[1→e] log x dx = [x log x−x] を 1 から e まで = (e−e)−(0−1) = 1
② 《証明》f = (log x)ⁿ、g' = 1 として部分積分:
Iₙ = [x(log x)ⁿ] を 1 から e まで−∫[1→e] x×n(log x)ⁿ⁻¹×(1/x)dx
= (e×1−0)−n∫[1→e] (log x)ⁿ⁻¹dx = e−n Iₙ₋₁ ∎
③ I₂ = e−2I₁ = e−2
I₃ = e−3I₂ = e−3(e−2) = 6−2e

ポイント
• ②の [x(log x)ⁿ] は x = e で e、x = 1 で 0 — log 1 = 0、log e = 1 が区間 [1, e] を漸化式に最適な舞台にしている。
• 検算の感覚:区間 [1, e] で 0 ≦ log x ≦ 1 だから 0 < Iₙ < e−1、しかも n が増えるほど小さくなるはず — I₁ = 1 > I₂ = e−2 ≒ 0.72 > I₃ = 6−2e ≒ 0.56 ○。

解答
① 与式 = lim (1/n)Σₖ₌₁ⁿ √(k/n) = ∫[0→1] √x dx = [2x^(3/2)/3] = 2/3
② 部分積分(f = log(1+x)、g' = 1)で
∫[0→1] log(1+x)dx = [(1+x)log(1+x)−(1+x)] を 0 から 1 まで
= (2log 2−2)−(0−1) = 2log 2−1
③ 与式を aₙ とおき、対数をとると
log aₙ = (1/n){log((n+1)/n)+log((n+2)/n)+…+log((2n)/n)}
= (1/n)Σₖ₌₁ⁿ log(1+k/n)
区分求積法より lim_{n→∞} log aₙ = ∫[0→1] log(1+x)dx = 2log 2−1
log は連続だから lim aₙ = e^(2log2−1) = e^(log4)/e = 4/e

ポイント
• ②の原始関数は「(1+x)log(1+x)−(1+x)」— ∫log x = x log x−x の平行移動版(u = 1+x の置換でも同じ)。
• ③の型「積・累乗根の極限 → log をとって区分求積」は最上位の定番。答え 4/e ≒ 1.47 — n 個の因数の"幾何平均的な大きさ"が 4/e という美しい着地。

解答
eˣ > 0 なので
S = ∫[0→1] eˣdx = [eˣ] を 0 から 1 まで = e−1

ポイント 面積の3手順「①交わり・区間 ②上下(符号)確認 ③積分」は数IIと同一 — 積分できる関数が増えただけ。e−1 ≒ 1.72 の量感も持つ。

解答
① S = ∫[1→e] dx/x = [log x] = 1
② S = ∫[0→π] sin x dx = 2(第7章 A6-1)

ポイント 「1/x の 1〜e:面積 1」「sin の山:面積 2」— この2つは面積の"度量衡"。ここを暗算で通過できると応用問題の景色が変わる。

解答
交点:√x = x → x = x²(x ≧ 0)→ x = 0、1
0 ≦ x ≦ 1 では √x ≧ x(例:x = 1/4 で 1/2 > 1/4)。
S = ∫[0→1] (√x−x)dx = [2x^(3/2)/3−x²/2] = 2/3−1/2 = 1/6

ポイント (上)−(下)の確認は中間の1点代入が確実。答え 1/6 — y = x² と y = x の間(数IIの1/6公式)と同じ値になるのは、y = √x が y = x² の逆関数(y = x 対称)だから。

解答
y = eˣ と y = e の交点は x = 1。0 ≦ x ≦ 1 で e ≧ eˣ。
S = ∫[0→1] (e−eˣ)dx = [ex−eˣ] を 0 から 1 まで = (e−e)−(0−1) = 1

ポイント 「横線 y = e が上、曲線が下」の素直な差。答えの 1 は、A1-1 の e−1 と合わせて縦 e×横 1 の長方形(面積 e)を2分している — 図で検算できる関係。

解答
この範囲では cos x ≧ sin x。
S = ∫[0→π/4] (cos x−sin x)dx = [sin x+cos x] を 0 から π/4 まで
= √2−1 → √2−1

ポイント [sin x+cos x] の上端 π/4 で √2/2+√2/2 = √2 — 合成 √2 sin(x+π/4) の最大値が顔を出す。三角の面積は端点の値の美しさまで味わう。

解答
tan x = sin x/cos x で、分子が分母の微分の(−1)倍だから
S = ∫[0→π/3] tan x dx = [−log|cos x|] を 0 から π/3 まで
= −log(1/2)+log 1 = log 2

ポイント ∫tan x dx = −log|cos x|+C は「●'/● = log|●|」(第7章 A4-2)の代表例 — 導出ごと覚える。答えが log になるのは 1/x 系の面積の親戚だから。

解答
V = π∫[−2→2] (4−x²)dx = 2π∫[0→2] (4−x²)dx(偶関数)
= 2π[4x−x³/3] を 0 から 2 まで = 2π(8−8/3) = 32π/3

ポイント 結果は (4/3)π×2³ — 球の体積公式 (4/3)πr³ が回転体の積分から導かれる瞬間。π∫y²dx は「半径 y の円盤を厚み dx で積む」意味ごと理解する。

解答
V = π∫[0→π] sin²x dx = π×π/2 = π²/2(第7章 A7-1)

ポイント 回転体では y² が現れる → 三角なら必ず半角で次数下げ — 第7章 A7 の「sin² の積分 = 区間の半分」がそのまま体積の主計算になる。

解答
x² = y だから
V = π∫[0→4] x²dy = π∫[0→4] y dy = π[y²/2] = 8π

ポイント y 軸回転は「x² を y の式にして dy で積分」— 主役の変数が y に交代する。x について解く(逆関数を作る)処理が入口。

解答
交点は x = 0、1。0 ≦ x ≦ 1 で x ≧ x²(直線が外側)。
V = π∫[0→1] {x²−(x²)²}dx = π∫[0→1] (x²−x⁴)dx = π(1/3−1/5) = 2π/15

ポイント 2曲線間の回転体は「(外)²−(内)² を積分」— 先に差をとってから2乗する誤り {(x−x²)²} が最頻出事故。ドーナツの断面(外円−内円)を思い浮かべる。

解答
y' = x^(1/2) = √x だから 1+(y')² = 1+x
L = ∫[0→1] √(1+x)dx = [2(1+x)^(3/2)/3] を 0 から 1 まで
= (2/3)(2√2−1) → (2/3)(2√2−1)

ポイント 長さの公式 √(1+(y')²) は「微小な直角三角形の斜辺 √(dx²+dy²)」の積み上げ — 1+(y')² が平方や1次式に化ける関数だけが出題される(逆算で作られている)。

解答
dx/dt = −sin t、dy/dt = cos t
L = ∫[0→π] √(sin²t+cos²t)dt = ∫[0→π] 1 dt = π

ポイント 答えは半径 1 の半円周 π — 公式が円周の長さを正しく再現することの確認。媒介変数版 √((dx/dt)²+(dy/dt)²) は「速さを時間で積分 = 道のり」と同じ式(A7 へ)。

解答
位置の変化 = ∫[0→3] (2t−4)dt = [t²−4t] = 9−12 = −3
v の符号は t = 2 で − から + に変わるから
道のり = ∫[0→2] (4−2t)dt+∫[2→3] (2t−4)dt = 4+1 = 5

ポイント 変化量は符号つき、道のりは |v| の積分 — 「戻った分も歩いた距離に数える」のが道のり。v = 0 の時刻で区間を切るのが唯一の手間。

解答
速さ = √(sin²t+cos²t) = 1
道のり = ∫[0→2π] 1 dt = 2π

ポイント 単位円を1周 — 道のり = 円周 2π ○。「道のり = 速さの積分 = 軌跡の長さ」で、A6-2 と同じ計算が物理の顔で再登場している。

解答
交点:√x = x² → x = x⁴ → x(x³−1) = 0 → x = 0、1
0 ≦ x ≦ 1 で √x ≧ x²。
S = ∫[0→1] (√x−x²)dx = [2x^(3/2)/3−x³/3] = 2/3−1/3 = 1/3

ポイント y = √x と y = x² は y = x に関して対称(互いに逆関数)— 囲む図形も対称で、A2-1 の 1/6 が2枚分(1/6×2 = 1/3)という対称性による検算が効く。

解答
接線は y = ex(第6章 B1-1、接点 (1, e))。
0 ≦ x ≦ 1 で eˣ ≧ ex(下に凸な曲線は接線の上)。
S = ∫[0→1] (eˣ−ex)dx = [eˣ−ex²/2] を 0 から 1 まで
= (e−e/2)−1 = e/2−1

ポイント 「凸な曲線と接線の間」— 上下判定は凸性で即断できる(第6章 B3-3 の視点)。接点 x = 1 で差が 0 になる(囲みが閉じる)構造も図で確認。

解答
x = t−sin t より dx = (1−cos t)dt。t:0 → 2π が x:0 → 2π に対応。
S = ∫[x:0→2π] y dx = ∫[0→2π] (1−cos t)(1−cos t)dt = ∫[0→2π] (1−cos t)²dt
= ∫[0→2π] (1−2cos t+cos²t)dt = 2π−0+π = 3π

ポイント 媒介変数の面積は「y dx の dx を (dx/dt)dt に翻訳」— x に直せない曲線でも面積が出る。cos²t の 0〜2π の積分 = π(区間の半分)を即答できるか(第7章 A7)。答え 3π = 円の面積 π の3倍は覚える価値のある名結果。

解答
V = π∫[0→1] (eˣ)²dx = π∫[0→1] e^(2x)dx = π[e^(2x)/2] を 0 から 1 まで
= π(e²−1)/2

ポイント (eˣ)² = e^(2x) — 指数法則で2乗を指数の2倍に。∫e^(2x) = e^(2x)/2(第7章 A3-2 の f(ax+b) 型)まで一直線。

解答
y = log x を x について解くと x = e^y。y:0 → 1。
V = π∫[0→1] x²dy = π∫[0→1] e^(2y)dy = π(e²−1)/2

ポイント B2-1 とまったく同じ値になるのは偶然でない — 2つの立体は y = x に関する対称(逆関数の関係)で、x 軸回転と y 軸回転が互いに移り合うから。「答えの一致に理由を見つける」姿勢が力になる。

解答
底面の円を x²+y² ≦ 1 とし、x 軸に垂直な平面で切る。
位置 x での切り口の正方形の1辺は 2√(1−x²) だから、断面積は
S(x) = {2√(1−x²)}² = 4(1−x²)
V = ∫[−1→1] 4(1−x²)dx = 8∫[0→1] (1−x²)dx = 8×(1−1/3) = 16/3

ポイント 回転体でなくても「断面積を積分」で体積は出る — V = ∫S(x)dx が体積の本当の定義(π∫y² はその特別な場合)。切り口の1辺 = 弦の長さ 2√(1−x²)、を図で確定させるのが勝負。

解答
dx/dt = 1−cos t、dy/dt = sin t
(dx/dt)²+(dy/dt)² = (1−cos t)²+sin²t = 2−2cos t = 4sin²(t/2)
0 ≦ t ≦ 2π で sin(t/2) ≧ 0 だから
L = ∫[0→2π] 2sin(t/2)dt = 2[−2cos(t/2)] を 0 から 2π まで = 2(2+2) = 8

ポイント 2−2cos t = 4sin²(t/2)(半角の公式)で √ が外れる — サイクロイドの計算はこの1手が心臓。√ を外すとき sin(t/2) の符号確認(0 ≦ t/2 ≦ π で非負)を忘れない。長さ 8 = 半径の8倍、面積 3π とともに暗記級の名数値。

解答
y' = (eˣ−e⁻ˣ)/2
1+(y')² = 1+(e^(2x)−2+e^(−2x))/4 = (e^(2x)+2+e^(−2x))/4 = {(eˣ+e⁻ˣ)/2}²
よって √(1+(y')²) = (eˣ+e⁻ˣ)/2(> 0)
L = ∫[0→1] (eˣ+e⁻ˣ)/2 dx = [(eˣ−e⁻ˣ)/2] を 0 から 1 まで = (e−1/e)/2

ポイント カテナリーは「1+(y')² が完全平方になる」奇跡の曲線(電線のたるみの形)。(eˣ±e⁻ˣ)/2 のペアが微分で入れ替わる構造 — 双曲線関数 cosh・sinh の入り口でもある。

解答
位置の変化 = ∫[0→2π] sin t dt = [−cos t] = (−1)−(−1) = 0
sin t は 0 ≦ t ≦ π で正、π ≦ t ≦ 2π で負だから
道のり = ∫[0→π] sin t dt+∫[π→2π] (−sin t)dt = 2+2 = 4

ポイント 「行って戻って元の位置(変化 0)、でも歩いた道のりは 4」— 振動運動の1往復。|v| の積分は符号の変わり目 t = π で区間を割る、A7-1 と同じ作法。

解答
交点:sin 2x = sin x → 2sin x cos x−sin x = sin x(2cos x−1) = 0
→ x = 0、π/3、π
0 ≦ x ≦ π/3 では sin 2x ≧ sin x、π/3 ≦ x ≦ π では sin x ≧ sin 2x。
S₁ = ∫[0→π/3] (sin 2x−sin x)dx = [−cos 2x/2+cos x] を 0 から π/3 まで
= (1/4+1/2)−(−1/2+1) = 1/4
S₂ = ∫[π/3→π] (sin x−sin 2x)dx = [−cos x+cos 2x/2] を π/3 から π まで
= (1+1/2)−(−1/2−1/4) = 9/4
S = S₁+S₂ = 1/4+9/4 = 5/2

ポイント 交点で上下が入れ替わる → 区間を切ってそれぞれ正の向きに — まとめて積分すると打ち消される(第2巻第6章 B5-2 の罠と同じ)。sin x(2cos x−1) = 0 の因数分解が交点調べの入口。

解答
全体の面積は ∫[1→e²] dx/x = log e² = 2。
2等分の条件は ∫[1→a] dx/x = 1、すなわち log a = 1
よって a = e

ポイント 1/x の面積は log がそのまま「面積の目盛り」— log a = (1 から a までの面積) という見方をすれば、2 の半分 1 を与える a = e は一瞬。e とは「1/x の下の面積がちょうど 1 になる地点」という、e のもう1つの定義に触れる問題。

解答
交点は x = 0、1。0 ≦ x ≦ 1 で √x ≧ x(外側が √x)。
V = π∫[0→1] {(√x)²−x²}dx = π∫[0→1] (x−x²)dx = π(1/2−1/3) = π/6

ポイント 「外² − 内²」の型(A5-2 と同じ)— (√x)² = x で式が一気に軽くなる。面積 1/6(A2-1)と体積 π/6 — 同じ図形の2つの顔を並べて仕上げる。

解答
① S(a) = ∫[0→a] e⁻ˣdx = [−e⁻ˣ] を 0 から a まで = 1−e⁻ᵃ
② a → ∞ で e⁻ᵃ → 0 だから lim S(a) = 1
③ V(a) = π∫[0→a] e^(−2x)dx = π[−e^(−2x)/2] を 0 から a まで = π(1−e^(−2a))/2
④ lim V(a) = π/2

ポイント
• 「無限に長いのに面積は 1、体積は π/2」— 指数関数の減衰はすそ野の寄与を有限に抑え込むほど速い(多項式 1/x では ∫[1→∞] が発散:B4-2 の log の伸びと対照)。
• ②④のように「まず有限区間で計算 → 極限」は、広い意味の積分(広義積分)への正式な入り口 — 答案の書式ごと覚える。

解答
① S = ∫[1→e] log x dx = [x log x−x] を 1 から e まで = 0−(−1) = 1
② V₁ = π∫[1→e] (log x)²dx
部分積分で ∫[1→e] (log x)²dx = [x(log x)²]−2∫[1→e] log x dx = e−2×1 = e−2
よって V₁ = π(e−2)
③ y = log x ⇔ x = e^y。D を y 軸回転すると、高さ y(0 ≦ y ≦ 1)での断面は
外半径 e(直線 x = e)、内半径 e^y(曲線)の円環。
V₂ = π∫[0→1] {e²−(e^y)²}dy = π∫[0→1] (e²−e^(2y))dy
= π[e²y−e^(2y)/2] を 0 から 1 まで = π{(e²−e²/2)−(−1/2)} = π(e²+1)/2

ポイント
• ②の ∫(log x)² = e−2 は実戦7-1 の漸化式 I₂ = e−2I₁ の再演 — 章をまたいで部品が再利用されるのが数IIIの試験の実際。
• ③は「y で切るとドーナツ型(外 e、内 e^y)」の見取りがすべて — 回転軸に垂直に切る、外²−内²、逆関数への乗り換え、と本章の技術の総集編。