解答
① x³+3×x²×2+3×x×4+8 = x³+6x²+12x+8
② (2x)³−3(2x)²y+3(2x)y²−y³ = 8x³−12x²y+6xy²−y³
③ a³+b³ 型(a = x、b = 3)なので x³+27

ポイント (a±b)³ は「1・3・3・1」の係数と、b の指数が1つずつ増える構造で覚える。③は「(和)×(2乗−積+2乗)」の形を見た瞬間に a³+b³ と反応できるように — 展開して確かめる検算も30秒でできる。

解答
① x³+2³ = (x+2)(x²−2x+4)
② (3a)³−b³ = (3a−b)(9a²+3ab+b²)
③ 係数 1、−6、12、−8 は (x−2)³ の展開と一致:(x−2)³

ポイント a³±b³ の因数分解は「同符号・逆符号・係数1」:a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) — 2つ目の因数の真ん中だけ符号が逆で、2ab にならない(係数1)ことに注意。③のような「1、3、3、1 の気配」(6 = 3×2、12 = 3×4、8 = 2³)にも敏感に。

解答
① 係数はパスカルの三角形の 1、4、6、4、1:
a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
② 一般項は ₅Cᵣ x⁵⁻ʳ 2ʳ。x³ の項は 5−r = 3 より r = 2。
係数は ₅C₂×2² = 10×4 = 40

ポイント 特定の係数を求めるときは展開し切らず、一般項 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ から r を逆算する。「x の指数 = 3」という方程式を立てるのが手順のすべて。

解答
① 一般項は ₄Cᵣ (2x)⁴⁻ʳ (−3y)ʳ。x²y² は r = 2 の項:
₄C₂×2²×(−3)² = 6×4×9 = 216
② 一般項は ₆Cᵣ x⁶⁻ʳ (−2)ʳ。x⁴ は r = 2 の項:
₆C₂×(−2)² = 15×4 = 60

ポイント 係数(2 や −3)も指数つきで一般項に含めること。符号は (−3)ʳ、(−2)ʳ の r の偶奇で決まる — 「マイナスを忘れて符号ミス」が最頻出の事故。

解答
筆算で割る:
x³+2x²−5x+1 = (x−2)(x²+4x+3)+7
よって 商 x²+4x+3、余り 7

ポイント 筆算は「最高次だけを見て商を立てる → 掛けて引く」の繰り返し。検算は A = B×Q+R に戻して展開(この等式が次章の剰余の定理の土台になる)。

解答
x の項がないので 2x³−3x²+0×x+4 と空きの次数を 0 で埋めて筆算:
2x³−3x²+4 = (x²−x+1)(2x−1)+(−3x+5)
よって 商 2x−1、余り −3x+5

ポイント ①欠けている次数は 0 を書いて桁をそろえる ②余りの次数は割る式の次数より低い(2次式で割れば余りは1次以下)— 余りを ax+b とおく設定(第2章で多用)の根拠がこれ。

解答
① 分母分子を因数分解して約分:
(x−3)(x+2)/{(x+2)(x−2)} = (x−3)/(x−2)
② {(x+1)(x−1)/x(x+3)} × {(x+3)/(x+1)} = (x−1)/x

ポイント 分数式の第一手は必ず因数分解。掛け算は「約分してから掛ける」と計算が軽い。

解答
① 通分して {(x+1)−(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = 2/(x²−1)
② 通分して {(x+3)(x+2)−(x+4)(x+1)}/{(x+1)(x+2)}
分子 = (x²+5x+6)−(x²+5x+4) = 2
よって 2/{(x+1)(x+2)}

ポイント ②のように「分子の高次の項が消える」設計が多い — 分子は最後まで展開して整理する。引き算では後ろの式全体にマイナス(かっこをつけて展開)がミス防止の要。

解答
右辺を展開:a(x²−2x+1)+bx−b+c = ax²+(−2a+b)x+(a−b+c)
左辺と係数比較:
a = 1、−2a+b = 3、a−b+c = 4
よって a = 1、b = 5、c = 8 → (a, b, c) = (1, 5, 8)
《別解》数値代入法:x = 1 で 8 = c、x = 0 で 4 = a−b+c、x = 2 で 14 = a+b+c → 連立して同じ結果。

ポイント 恒等式は「すべての x で成り立つ」から、係数がすべて一致する(係数比較法)。数値代入法は速いが、代入した値以外でも成り立つことの確認(または「2次式なら3つの値で決まる」の断り)が本来必要 — 答案では係数比較が安全。

解答
両辺に (x+1)(x+2) を掛けて分母を払う:
3x+5 = a(x+2)+b(x+1)
x = −1 を代入:2 = a → a = 2
x = −2 を代入:−1 = −b → b = 1

ポイント 部分分数分解では分母が 0 になる値(x = −1、−2)を代入すると一方の文字が消えて即決まる — 数値代入法が最も輝く場面。この分解は数B「数列」の和の計算、数IIIの積分で主役になる。

解答
《証明》右辺を展開すると
(ax+by)² = a²x²+2abxy+b²y²
(ay−bx)² = a²y²−2abxy+b²x²
辺々加えて 右辺 = a²x²+b²y²+a²y²+b²x² = (a²+b²)(x²+y²) = 左辺 ∎

ポイント 等式の証明は「複雑な方(ここでは右辺)を変形して簡単な方に一致させる」か「左辺−右辺 = 0」。±2abxy が打ち消し合う構造まで見えると、式の対称性への感覚が育つ。

解答
《証明》(左辺)−(右辺) = a²+b²−1+2ab = (a+b)²−1
条件 a+b = 1 より = 1−1 = 0
よって a²+b² = 1−2ab ∎

ポイント 条件式のある証明は「条件を使える形(ここでは (a+b)²)を作る」か「1文字消去(b = 1−a を代入)」の2択。どちらでも書けるようにしておく。

解答
《証明》(左辺)−(右辺) = x²−2xy+y² = (x−y)² ≧ 0
よって x²+y² ≧ 2xy
等号が成り立つのは (x−y)² = 0、すなわち x = y のとき ∎

ポイント 不等式の証明の基本形:「差をとる → 平方完成 →(実数)² ≧ 0」。結論の不等号に等号が含まれるときは、等号成立条件まで述べて完結。

解答
《証明》(左辺)−(右辺) = a²+b²+c²−ab−bc−ca
= (1/2)(2a²+2b²+2c²−2ab−2bc−2ca)
= (1/2){(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²} ≧ 0
よって a²+b²+c² ≧ ab+bc+ca
等号は a−b = b−c = c−a = 0、すなわち a = b = c のとき ∎

ポイント 平方1つで書けないときは「2倍して平方の和に分ける」— (1/2){…} の変形は頻出の技巧なので手順ごと暗記してよい。「平方の和 ≧ 0、等号はすべて 0」の論理も定型。

解答
x > 0、4/x > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
x + 4/x ≧ 2√(x × 4/x) = 2√4 = 4
等号が成り立つのは x = 4/x、すなわち x² = 4 より x = 2(> 0)のとき。
よって 最小値 4(x = 2 のとき)

ポイント 「正の数どうし」で「掛けると x が消えるペア」→ 相加相乗の合図。等号成立の x を求めて初めて「最小値」と言える(不等式だけでは「4以上」しか言えていない)— この一言の有無が答案の評価を分ける。

解答
《証明》b/a > 0、a/b > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
b/a + a/b ≧ 2√{(b/a)×(a/b)} = 2√1 = 2
等号が成り立つのは b/a = a/b、すなわち a² = b²。
a > 0、b > 0 より a = b のとき ∎

ポイント 使う前に「両方とも正」を明言するのが作法(相加相乗の適用条件)。a² = b² から a = b に進むときも「正だから」の一言を添える。

解答
一般項は ₆Cᵣ (x²)⁶⁻ʳ (2/x)ʳ = ₆Cᵣ 2ʳ x¹²⁻²ʳ × x⁻ʳ = ₆Cᵣ 2ʳ x¹²⁻³ʳ
x³ の項:12−3r = 3 → r = 3
係数は ₆C₃×2³ = 20×8 = 160
定数項:12−3r = 0 → r = 4
₆C₄×2⁴ = 15×16 = 240

ポイント 「x の指数を r で表す → 指数の方程式」— この2手で分数型・積型のどんな展開でも係数が取れる。r が 0〜6 の整数になるかの確認(範囲外なら「その項は存在しない」)も忘れずに。

解答
《証明》二項定理より (1+x)ⁿ = ₙC₀+ₙC₁x+ₙC₂x²+…+ₙCₙxⁿ …(※)
① (※)に x = 1 を代入すると
2ⁿ = ₙC₀+ₙC₁+ₙC₂+…+ₙCₙ ∎
② (※)に x = −1 を代入すると
0 = ₙC₀−ₙC₁+ₙC₂−…+(−1)ⁿₙCₙ ∎

ポイント 「二項係数の和 → (1+x)ⁿ に数値代入」は完全な定型。①+②を2で割れば「偶数番だけの和 = 2ⁿ⁻¹」も出る(共通テスト・二次とも頻出の発展)。組合せの言葉なら①は「n 人の部分集合の総数」— 意味づけも検算になる。

解答
(a+b+c)⁶ の一般項は 6!/(p!q!r!) × aᵖbᵠcʳ(p+q+r = 6)
① a³b²c の係数:6!/(3!×2!×1!) = 720/12 = 60
② a²b²c² の係数:6!/(2!×2!×2!) = 720/8 = 90

ポイント 多項係数は「6文字の並べ方(同じものを含む順列)」そのもの — aaabbc の並べ方が 60 通り、と第1巻第6章の知識で理解できる。公式の丸暗記より「順列としての意味」で覚えると崩れない。

解答
A = (x²−x+1)(x+2)+(3x−1)
= (x³+x²−x+2)+(3x−1)
= x³+x²+2x+1

ポイント (x²−x+1)(x+2) の展開は分配を1項ずつ丁寧に。求めた A を実際に x²−x+1 で割り直して商 x+2・余り 3x−1 に戻る検算が確実。

解答
x³+ax+b = (x−1)²(x+c) とおける(c は定数)。
右辺 = (x²−2x+1)(x+c) = x³+(c−2)x²+(1−2c)x+c
左辺(x² の係数 0)と係数比較:
c−2 = 0、a = 1−2c、b = c
よって c = 2、a = −3、b = 2
(検算:x³−3x+2 = (x−1)²(x+2) ○)

ポイント 「割り切れる = 余り 0 = 積の形でおける」の言い換えが第一手。実際に筆算して「余り = 0」から連立する方法でも同じ結果 — 2通りの道を持つ。

解答
x−1 = √2 の両辺を2乗して x²−2x+1 = 2、すなわち x²−2x−1 = 0 …(※)
x³−2x²+3x−1 を x²−2x−1 で割ると
x³−2x²+3x−1 = (x²−2x−1)×x+(4x−1)
(※)より x²−2x−1 = 0 だから
与式 = 0×x+4x−1 = 4(1+√2)−1 = 3+4√2

ポイント 「√ を含む値の高次式 → ①√ を孤立させて2乗し2次方程式を作る ②割り算で次数下げ」— 二次試験最頻出の型。割り算の等式 A = BQ+R が「B = 0 なら A = R」という値の計算装置になる、という見方が本質。

解答
《証明》a/b = c/d = k とおくと a = bk、c = dk。
(左辺) = (b²k²+d²k²)/(b²+d²) = k²(b²+d²)/(b²+d²) = k²
(右辺) = (bk×dk)/(bd) = k²
よって両辺は等しい ∎

ポイント 「= k」の置き方は比例式の万能キー。分母 b、d が 0 でないことは比例式の前提に含まれている(答案で軽く触れると丁寧)。

解答
《証明》条件より c = −(a+b)。
(左辺) = a³+b³+c³ = a³+b³−(a+b)³
= a³+b³−(a³+3a²b+3ab²+b³) = −3ab(a+b)
(右辺) = 3abc = 3ab×{−(a+b)} = −3ab(a+b)
よって両辺は等しい ∎

ポイント この等式は「a+b+c = 0 のとき a³+b³+c³ = 3abc」として結果ごと記憶推奨(対称式・因数分解の発展公式 a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(…) の特別な場合)。消去する文字はどれでもよい — 対称性があるからこそ。

解答
(x+y)/3 = (y+z)/4 = (z+x)/5 = k(≠ 0)とおくと
x+y = 3k、y+z = 4k、z+x = 5k
3式を辺々加えて 2(x+y+z) = 12k → x+y+z = 6k
順に引いて z = 6k−3k = 3k、x = 6k−4k = 2k、y = 6k−5k = k
よって x : y : z = 2 : 1 : 3

ポイント 連立の対称形は「全部足して総和を出し、各式を引く」が最速の定石。答えの比に k は残らない(比だから)。検算:x+y = 3k ○、y+z = 4k ○、z+x = 5k ○。

解答
《証明》a > 0、b > 0 より両辺とも正。
(左辺)²−(右辺)² = (a+2√(ab)+b)−(a+b) = 2√(ab) > 0
よって (左辺)² > (右辺)² であり、両辺は正だから √a+√b > √(a+b) ∎

ポイント √ を含む不等式は「差をとる」より「2乗して比べる」が圧倒的に楽。ただし冒頭で「両辺とも正(または0以上)」を宣言しないと論理が成立しない — この宣言が採点ポイント。

解答
《証明》両辺とも 0 以上なので、2乗の差で比較する。
(右辺)²−(左辺)² = (|a|²+2|a||b|+|b|²)−(a+b)²
= (a²+2|ab|+b²)−(a²+2ab+b²) = 2(|ab|−ab)
|ab| ≧ ab だから (右辺)²−(左辺)² ≧ 0 両辺は 0 以上なので |a+b| ≦ |a|+|b|
等号は |ab| = ab、すなわち ab ≧ 0 のとき(a、b が同符号または一方が 0) ∎

ポイント 絶対値の処理は「|a|² = a²、|a||b| = |ab|」で2乗の世界へ持ち込むのが定石。等号条件 ab ≧ 0 は「同じ向きなら足しても長さが減らない」という数直線のイメージと一致 — 意味で検算する。

解答
《証明》(左辺)−(右辺) = (a+b)/2 − √(ab) = (a−2√(ab)+b)/2
a ≧ 0、b ≧ 0 より a = (√a)²、b = (√b)² と表せるから
= {(√a)²−2√a√b+(√b)²}/2 = (√a−√b)²/2 ≧ 0
よって (a+b)/2 ≧ √(ab)
等号は √a = √b、すなわち a = b のとき ∎

ポイント いつも「使う側」の相加相乗を、自分で証明できるようにしておく(記述で問われる)。核心は「a を (√a)² と見て平方完成」— 差をとる基本方針(A7)がここでも貫かれている。

解答
x−1 > 0 に注目して、ペアが作れる形にずらす:
x + 4/(x−1) = (x−1) + 4/(x−1) + 1
x−1 > 0、4/(x−1) > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
(x−1) + 4/(x−1) ≧ 2√4 = 4
よって 与式 ≧ 4+1 = 5
等号は x−1 = 4/(x−1)、すなわち (x−1)² = 4。x−1 > 0 より x−1 = 2 → x = 3。
最小値 5(x = 3 のとき)

ポイント そのまま x と 4/(x−1) に相加相乗を使っても積から変数が消えないので失敗する。「分母に合わせて分子側をずらす(+1 で調整)」が絶対の定石。

解答
展開すると ab + 4 + 1 + 4/(ab) = ab + 4/(ab) + 5
ab > 0、4/(ab) > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
ab + 4/(ab) ≧ 2√4 = 4
よって 与式 ≧ 4+5 = 9
等号は ab = 4/(ab)、すなわち (ab)² = 4。ab > 0 より ab = 2(例:a = 2、b = 1)。
最小値 9

ポイント 積の形はまず展開してみる — ab というカタマリのペアが現れる。等号条件が「ab = 2 を満たすすべての (a, b)」という曲線上の点全体になるのも面白いところ(最小値の存在は例を1つ示せば十分)。

解答
《誤りやすい解法》x+1/x ≧ 2(等号 x = 1)、x+4/x ≧ 4(等号 x = 2)より積 ≧ 8 …?
→ 2つの等号は x = 1 と x = 2 で同時に成立しないので、8 は最小値ではない!
《正しい解答》展開すると
x² + 4 + 1 + 4/x² = x² + 4/x² + 5
x² > 0、4/x² > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
x² + 4/x² ≧ 2√4 = 4
よって 与式 ≧ 4+5 = 9
等号は x² = 4/x²、すなわち x⁴ = 4。x > 0 より x² = 2 → x = √2。
最小値 9(x = √2 のとき)

ポイント 不等式を2回使って掛け合わせるときは、等号が同じ x で同時に成立するかを必ず点検 — 成立しないなら「≧ 8」は正しくても「最小値 8」は誤り。この罠は定期試験・入試の超頻出。回避策は「先に展開して相加相乗を1回で済ませる」。

解答
① 一般項は ₅Cᵣ (2x)⁵⁻ʳ。x³ の項は r = 2:
₅C₂×2³ = 10×8 = 80(アイ = 80)
② 一般項は ₆Cᵣ x⁶⁻ʳ (1/x²)ʳ = ₆Cᵣ x⁶⁻³ʳ
定数項は 6−3r = 0 → r = 2:₆C₂ = 15(ウエ = 15)
③ 101⁵ = (100+1)⁵ = ₅C₀+₅C₁×100+₅C₂×100²+₅C₃×100³+₅C₄×100⁴+₅C₅×100⁵
100² = 10000 なので、₅C₂×100² 以降の項はすべて 10000 で割り切れる。
よって余りは前の2項:₅C₀+₅C₁×100 = 1+500 = 501(オカキ = 501)

ポイント
• ③の一般形:「(10ᵏ±1)ⁿ を 10 のべきで割った余り」は、二項展開して割る数の倍数になる項を捨てるだけ。合同式を知らなくても余りが求まる、二項定理の強力な応用。
• 501 < 10000 の確認(余りは割る数より小さい)も一瞬で済む検算。

解答
① 相加平均・相乗平均の関係より x + 16/x ≧ 2√16 = 8(ア = 8)
等号は x = 16/x、x² = 16、x > 0 より x = 4(イ = 4)
② x + 9/(x−2) = (x−2) + 9/(x−2) + 2
x−2 > 0 だから (x−2)+9/(x−2) ≧ 2√9 = 6
よって 与式 ≧ 8。等号は (x−2)² = 9、x−2 = 3 → x = 5 のとき最小値 8(ウ = 5、エ = 8)
③ 相加平均・相乗平均の関係より t = x+4/x ≧ 2√4 = 4(オ = 4)(等号は x = 2)
与式 = t²−8t+20 = (t−4)²+4
t ≧ 4 の範囲で、軸 t = 4 は範囲の左端 → t = 4 のとき最小。
t = 4 となるのは x = 2 のときだから、x = 2 のとき最小値 4(カ = 2、キ = 4)

ポイント
• ③は「おき換え → 新しい変数の変域 → その範囲での2次関数の最小」という、数IIで何度も現れる思考パターンの初登場。変域 t ≧ 4 を出させる誘導([オ])が「変域を忘れるな」というメッセージそのもの。
• もし軸が範囲の内部(たとえば t ≧ 3 で軸 t = 4)なら頂点で最小 — 第1巻第3章 A3・B1 の「軸と区間」の議論がそのまま再利用される。既習の道具が章をまたいで連結する感覚をつかんでほしい。

解答
① 実部・虚部ごとに:4−2i
② 6−4i+3i−2i² = 6−i+2 = 8−i
③ 1+4i+4i² = 1+4i−4 = −3+4i

ポイント i を文字のように計算し、i² が出たら −1 に置き換える — これだけ。答えは必ず a+bi の形に整理する。

解答
① 分母の共役 1+i を分母分子に掛けて
(1+3i)(1+i)/{(1−i)(1+i)} = (1+4i+3i²)/(1+1) = (−2+4i)/2 = −1+2i
② (2−i)(3−i)/{(3+i)(3−i)} = (6−5i+i²)/(9+1) = (5−5i)/10 = 1/2 − (1/2)i

ポイント 分母の実数化は「共役を掛ける」。分母は (a+bi)(a−bi) = a²+b² で必ず正の実数になる。

解答
① √8 i = 2√2 i
② 先に i の形に直してから掛ける:√2 i×√3 i = √6 i² = −√6
③ (2√3 i)/√3 = 2i

ポイント ②が本章最初の関門:√a×√b = √(ab) は a、b が負のときは使えない。「√(マイナス)を見たら反射的に √○ i に直す」を徹底する。

解答
x、y は実数なので、x+y と x−y も実数。複素数の相等より
x+y = 4、x−y = 2
連立を解いて x = 3、y = 1

ポイント 「実部 = 実部、虚部 = 虚部」で方程式が2本手に入る — 複素数の等式1本は実数の等式2本分。「x、y は実数」という前提があって初めて使える論法である点も答案で意識する。

解答
① x = −1±√(1−5) = −1±√(−4) = −1±2i
② x = {3±√(9−16)}/4 = {3±√(−7)}/4 = (3±√7 i)/4

ポイント D < 0 でも解の公式はそのまま — √(負) を i で書き直すだけ。答えの2つの解が互いに共役になっていることを毎回確認(検算になる)。

解答
D/4 = (k−1)²−(k²−3) = −2k+4 = 2(2−k)
k < 2 のとき D > 0:異なる2つの実数解
k = 2 のとき D = 0:重解
k > 2 のとき D < 0:異なる2つの虚数解

ポイント 「解の種類の判別」= D の符号で3分割して答える定型。虚数解が仲間入りしたので、D < 0 の答えが「解なし」から「異なる2つの虚数解」に変わった — 第1巻第3章との違いはここだけ。

解答
解と係数の関係より
① α+β = −(−4)/2 = 2
② αβ = 5/2 → 5/2
③ α²+β² = (α+β)²−2αβ = 4−5 = −1

ポイント 方程式を解かずに解の情報が手に入るのが解と係数の関係の価値。③が負になるのは α、β が虚数だから(実数なら2乗の和は負にならない)— 結果の吟味も学べる好例。

解答
α+β = 3、αβ = 1
① (α+β)²−2αβ = 9−2 = 7
② (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−9 = 18
③ (α+β)/(αβ) = 3

ポイント 第1巻第1章の対称式3点セットがそのまま再登場。「解の対称式 → 基本対称式(和と積)→ 解と係数の関係」という3段の橋を意識する。

解答
① 和 = −1、積 = −6 → x²+x−6 = 0
② 和 = 6、積 = 9−2 = 7 → x²−6x+7 = 0

ポイント 公式 x²−(和)x+(積) = 0。符号は「マイナス和・プラス積」— x²+... と書き始めてから符号ミスするのが定番なので、展開 (x−α)(x−β) = x²−(α+β)x+αβ に立ち返って確認。

解答
① 和 = 4、積 = (2+i)(2−i) = 4+1 = 5 → x²−4x+5 = 0
② 求める2数は x²−2x−8 = 0 の2解。
(x−4)(x+2) = 0 → 4 と −2

ポイント ②は公式の逆向き:「和と積が分かっている2数」は2次方程式を作って解けば求まる。①は共役ペアから実数係数の方程式ができる仕組み(和・積が実数になる)の確認でもある。

解答
剰余の定理より、余りは割る式を 0 にする値の代入で求まる。
① P(2) = 8−8+6−5 = 1
② P(−1) = −1−2−3−5 = −11

ポイント 剰余の定理「x−k で割った余り = P(k)」は、割り算の等式 P(x) = (x−k)Q(x)+R に x = k を代入すると Q の項が消えることから出る — 由来ごと理解すれば忘れない。x+1 = x−(−1) なので代入するのは −1。

解答
① P(1) = 2+a−3 = a−1 = 1 → a = 2
② P(x) = 2x³+2x−3 だから P(−1) = −2−2−3 = −7

ポイント 「余りの条件 → P(k) = 数値」という方程式に翻訳する。筆算不要で係数が決まるのが剰余の定理の威力。

解答
P(x) = x³−2x²−5x+6 とおく。P(1) = 1−2−5+6 = 0 なので、因数定理より x−1 が因数。
割り算して P(x) = (x−1)(x²−x−6) = (x−1)(x−3)(x+2)
よって x = 1、3、−2

ポイント 因数の発見は「±(定数項6の約数)= ±1、±2、±3、±6 を順に代入」。1 → −1 → 2 → … の順に試すのが速い。1つ見つかれば、あとは割り算(または組立除法)で次数が下がる。

解答
P(1) = 1+1−2 = 0 より x−1 が因数。
x³+x²−2 = (x−1)(x²+2x+2)
x²+2x+2 = 0 を解いて x = −1±√(1−2) = −1±i
よって x = 1、−1±i

ポイント 2次まで下げたら解の公式(虚数解も可)で最後まで。3次方程式は複素数の範囲で必ず3個の解をもつ(重解は重複して数える)— 「解が3つそろったか」が検算の視点。

解答
2解を α、β とすると α+β = −3、αβ = k
差が1より (α−β)² = 1
(α−β)² = (α+β)²−4αβ = 9−4k = 1
よって k = 2
(検算:x²+3x+2 = 0 の解は −1、−2 で差は1 ○)

ポイント α−β のままでは±の不定さが残るので、2乗して対称式にするのが定石。(α−β)² = (α+β)²−4αβ は第1巻第1章の変形公式そのもの。

解答
2解を α、2α とおける。解と係数の関係より
α+2α = 6 → α = 2
k = α×2α = 2α² = 8
2つの解は 2 と 4

ポイント 「他の解の2倍」のような解どうしの関係は、文字を1つに減らして表す(α と 2α)。和の式から α が即決まり、積の式で k が出る — 2本の式の役割分担が明確。

解答
α+β = 2、αβ = 3
新しい2数の和:(α+1)+(β+1) = (α+β)+2 = 4
新しい2数の積:(α+1)(β+1) = αβ+(α+β)+1 = 3+2+1 = 6
よって x²−4x+6 = 0

ポイント 「解を作りかえて新しい方程式を作る」型:新しい和と積を、元の α+β、αβ で表すだけ。α、β 自体(1±√2 i)を求める必要は一切ない — 解と係数の関係の思想が最も表れる問題。

解答
P(x) を (x−1)(x−2) で割った商を Q(x)、余りを ax+b とおくと
P(x) = (x−1)(x−2)Q(x)+ax+b
x = 1 を代入:P(1) = a+b。条件より a+b = 3
x = 2 を代入:P(2) = 2a+b。条件より 2a+b = 5
連立を解いて a = 2、b = 1
よって余りは 2x+1

ポイント 「x−1 で割った余りが3」⇔「P(1) = 3」という剰余の定理による翻訳が入口。割る式(x−1)(x−2)が0になる x = 1、2 の代入で Q(x) が消える構造を、式を書いて体感する。

解答
P(x) = (x+1)(x−3)Q(x)+ax+b とおく。
P(−1) = −a+b = −2
P(3) = 3a+b = 6
辺々引いて 4a = 8 → a = 2、b = 0
よって余りは 2x

ポイント 余り「2x」のように b = 0 になることもある — 「余りは ax+b の形(1次以下)」であって「1次式」とは限らない。

解答
P(x) を (x−1)²(x−2) で割った余りは2次以下なので、R(x) とおく。
P(x) = (x−1)²(x−2)Q(x)+R(x)
ここで、P(x) を (x−1)² で割った余りが 2x+1 であることから、R(x) を (x−1)² で割った余りも 2x+1。
R(x) は2次以下なので R(x) = a(x−1)²+2x+1 とおける。
x = 2 を代入:P(2) = R(2) = a+5。条件より a+5 = 7 → a = 2
よって R(x) = 2(x−1)²+2x+1 = 2x²−2x+3

ポイント 本問の核心は「余りをさらに条件に合う形でおく」技術:R(x) = a(x−1)²+2x+1 という置き方が、(x−1)² で割った余りの条件を自動的に満たす。ax²+bx+c と3文字でおいて条件2本+…と進むより圧倒的に速い。二次試験最頻出の型。

解答
実数係数の2次方程式が虚数解 1+2i をもつので、共役な 1−2i も解。
解と係数の関係より
a = −{(1+2i)+(1−2i)} = −2 → a = −2
b = (1+2i)(1−2i) = 1+4 = 5 → b = 5
他の解は 1−2i

ポイント 「実数係数 + 虚数解 → 共役も解」— この一言で解が2つそろい、和と積へ直行できる。代入して実部・虚部で連立する方法(A2-2 の相等)でも解けるが、共役の性質を使う方が速い。

解答
共役より 1−2i も解。この2解をもつ2次式は
x²−{(1+2i)+(1−2i)}x+(1+2i)(1−2i) = x²−2x+5
よって x³+ax²+bx−10 = (x²−2x+5)(x−c) とおける(c は実数)。
右辺の定数項:−5c = −10 → c = 2
展開:(x²−2x+5)(x−2) = x³−4x²+9x−10
係数比較して a = −4、b = 9、他の解は 1−2i と 2

ポイント 手順:「共役ペア → 2解から2次式を作る → 積の形において係数比較」。定数項の比較(−5c = −10)から先に c を決めると計算が軽い。検算:3解の和 = (1+2i)+(1−2i)+2 = 4 = −a ○。

解答
x³−8 = 0 と変形し、a³−b³ の公式で因数分解:
(x−2)(x²+2x+4) = 0
x²+2x+4 = 0 を解いて x = −1±√(1−4) = −1±√3 i
よって x = 2、−1±√3 i

ポイント 「xⁿ = 定数」型は移項して因数分解。実数解1つ+共役な虚数解2つ、合わせて3個 — 「n 次方程式は複素数の範囲で n 個の解」の実例。この3解が次の B4(1の3乗根)の舞台になる。

解答
① ω は x³ = 1 の解で ω ≠ 1。x³−1 = (x−1)(x²+x+1) = 0 より
ω²+ω+1 = 0
② ω⁶ = (ω³)² = 1² = 1
③ ω¹⁰ = (ω³)³×ω = ω、ω⁵ = ω³×ω² = ω²
よって ω¹⁰+ω⁵+1 = ω+ω²+1 = 0

ポイント ③の手順:「指数を3で割った余りに落とす(10 → 1、5 → 2)→ ω²+ω+1 = 0 で締める」。この2段コンボが ω 問題の全パターンの原型。

解答
① ω³ = 1 より 1/ω = ω³/ω = ω²、1/ω² = ω
よって 1/ω+1/ω² = ω²+ω = −1(ω²+ω+1 = 0 より)→ −1
② (1+ω)(1+ω²) = 1+ω+ω²+ω³ = 0+1 = 1

ポイント ①の「逆数は ω³ = 1 で払う」(1/ω = ω²)は覚えておくと速い。②は展開してから ω²+ω+1 = 0 と ω³ = 1 を1回ずつ使う — 2つの式の合わせ技。

解答
① 200 = 3×66+2、100 = 3×33+1 より ω²⁰⁰ = ω²、ω¹⁰⁰ = ω
よって ω²⁰⁰+ω¹⁰⁰+1 = ω²+ω+1 = 0
② ω²+ω+1 = 0 より 1+ω = −ω²
(1+ω)⁶ = (−ω²)⁶ = ω¹² = (ω³)⁴ = 1

ポイント ②の「1+ω = −ω² と置き換える」変形は最重要テクニック(1+ω² = −ω も同様)。和の形を単項の累乗に変えてから ω³ = 1 で刈り取る。

解答
2解を α、β とすると α+β = m、αβ = m+3。「異なる2つの正の解」の条件:
D = m²−4(m+3) = (m−6)(m+2) > 0 → m < −2 または m > 6
α+β = m > 0
αβ = m+3 > 0 → m > −3
共通範囲をとって m > 6
(検算:m = 7 のとき x²−7x+10 = (x−2)(x−5) = 0 → 解 2、5 はともに正 ○)

ポイント 3条件の役割は第1巻B4と同じ(D:実数解の存在/和:重心の位置/積:同符号の保証)。「異なる」なので D > 0(等号なし)— 問題文の一語を条件に正確に反映する。

解答
2解を α、β とすると、異符号 ⇔ αβ < 0:
αβ = k−1 < 0 → k < 1
(このとき、もし虚数解 p±qi なら積は p²+q² > 0 となり αβ < 0 に反するから、解は自動的に異なる2つの実数解である)

ポイント 異符号だけは1条件で完結する特別型:αβ < 0 が「実数解であること」まで保証する(かっこ内の理由づけ)。グラフの言葉なら「f(0) < 0(下に凸)」1本で済む話と対応 — 第1巻第3章 B4-3 の親戚。

解答
2解を α、β とすると α+β = 2a、αβ = a+6。「異なる2解がともに1より大きい」は、α−1 > 0 かつ β−1 > 0 と読み替えて:
D/4 = a²−(a+6) = (a−3)(a+2) > 0 → a < −2 または a > 3
(α−1)+(β−1) = 2a−2 > 0 → a > 1
(α−1)(β−1) = αβ−(α+β)+1 = a+6−2a+1 = 7−a > 0 → a < 7
共通範囲をとって 3 < a < 7

ポイント 「1より大きい」は「1だけずらした α−1、β−1 が正」と言い換えるのが解と係数流の急所。なお、この方程式は第1巻第3章 B4-3 とまったく同じ — あちらは「1をはさむ(f(1) < 0 → a > 7)」、こちらは「両方1より大(3 < a < 7)」。同じ式でも条件が変われば答えの範囲が変わる対比まで味わうと理解が深まる。

解答
① x = 2+i より x−2 = i。両辺を2乗して x²−4x+4 = −1
よって x²−4x+5 = 0(ア = 4、イ = 5)
② f(x) = (x²−4x+5)(x+c) とおくと、定数項の比較で 5c = b、x² の係数の比較で c−4 = −1 → c = 3(ウ = 3)
展開:(x²−4x+5)(x+3) = x³−x²−7x+15
係数比較して a = −7、b = 15(エオ = −7、カキ = 15)
③ x²−4x+5 = 0 の解が 2±i、x+3 = 0 の解が −3。
よって他の解は 2−i と −3(クケ = −3)

ポイント
• ①の「x−2 = i として2乗」は、虚数解から実数係数の2次方程式を復元する最速の手(和と積からでも同じ式)。第1巻の「x = 1+√2 → x²−2x−1 = 0」(次数下げ)と同じ発想が複素数でも通用する。
• ②は x² の係数(−1)の比較で c が即決まる — どの係数を比べると速いかを選ぶのもマーク式の技術。

解答
① 解と係数の関係より α+β = 4、αβ = 2(ア = 4、イ = 2)
② α²+β² = (α+β)²−2αβ = 16−4 = 12(ウエ = 12)
③ (α−β)² = (α+β)²−4αβ = 16−8 = 8
α > β より α−β > 0 だから α−β = √8 = 2√2(オ = 2、カ = 2)
④ α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 64−24 = 40(キク = 40)
⑤ α²、β² の和は②より 12、積は (αβ)² = 4。
よって x²−12x+4 = 0(ケ = 4)

ポイント
• ③で α−β の符号を条件(α > β)で確定させてから √ を外す — (α−β)² から戻る際の必須の一言。
• ⑤は B1-3 と同じ「解の作りかえ」:新しい和(= α²+β² = 12)と新しい積(= (αβ)² = 4)を出すだけで、α² の値そのものは不要。マークの[ウエ]が⑤で再利用される誘導 — 前の結果を使えのサインを見逃さない。

解答
① AB = √{(7−1)²+(5−2)²} = √(36+9) = √45 = 3√5
② ((1+7)/2, (2+5)/2) = (4, 7/2)
③ ((2×1+1×7)/(1+2), (2×2+1×5)/(1+2)) = (9/3, 9/3) = (3, 3)

ポイント 内分点の公式は「比の後ろの数 n が前の点 x₁ に掛かる」(たすき掛けの形)。③の検算:A から B へ 1/3 だけ進んだ点(x は 1 → 7 の 1/3 で 3)— 「進んだ割合」でも確認できる。

解答
① 外分は n を −n にして
((−1×1+2×4)/(2−1), (−1×2+2×5)/(2−1)) = (7, 8)
② ((1+4−2)/3, (2+5+5)/3) = (1, 4)

ポイント ①の検算:「2 : 1 に外分」なら B が AP の中点になるはず — A(1, 2) と P(7, 8) の中点は (4, 5) = B ○。外分は図を描いて位置(どちら側の延長か)を確認する習慣を。

解答
① y−(−1) = 3(x−2) より y = 3x−7
② 傾き = (6−2)/(3−1) = 2。y−2 = 2(x−1) より y = 2x

ポイント すべての基本は y−y₁ = m(x−x₁)(通る点と傾き)。2点型もまず傾きを計算してこの形に流し込む。

解答
① 2点 (3, 0)、(0, 2) を通るので、傾き = −2/3。2x+3y−6 = 0(x/3 + y/2 = 1 の形でもよい)
② y 座標が等しい → 水平な直線 y = 3
x 座標が等しい → 垂直な直線 x = 2(傾きが定義できない特別な形)

ポイント ②の x = 定数 の形は y = mx+n では表せない — 「傾きをもたない直線」の存在を常に頭の隅に(場合分けの原因として今後何度も現れる)。

解答
① 傾き 2:y−2 = 2(x−1) より y = 2x
② 傾き m は 2m = −1 より m = −1/2:y−2 = −(1/2)(x−1) より y = −x/2+5/2(x+2y−5 = 0)

ポイント 平行 = 傾きコピー、垂直 = 傾きの積 −1(逆数にしてマイナス)。あとは A2 の基本形に乗せるだけ。

解答
① 平行条件 a₁b₂−a₂b₁ = 0 より a(a+1)−2×1 = 0
a²+a−2 = 0 → (a+2)(a−1) = 0 → a = 1、−2
② 垂直条件 a₁a₂+b₁b₂ = 0 より a×1+2(a+1) = 0
3a+2 = 0 → a = −2/3

ポイント 文字係数のときは一般形の条件式(平行:a₁b₂ = a₂b₁、垂直:a₁a₂+b₁b₂ = 0)が便利 — 傾きに直すと「y の係数 = 0」の場合分けが必要になるのを回避できる。

解答
d = |3×2+4×1−20| / √(3²+4²) = |−10|/5 = 2

ポイント 公式 d = |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)。分子は「直線の式に点を代入して絶対値」— 代入結果の符号は点が直線のどちら側かを表す(領域の話とつながる)。

解答
① |−5|/√(1+4) = 5/√5 = √5
② 一般形 2x−y+1 = 0 に直して
|2×1−(−2)+1| / √(4+1) = 5/√5 = √5

ポイント ②のように y = … の形は必ず一般形に直してから公式へ(そのまま係数を読むのが最頻出ミス)。この公式は次の「円と直線」で毎回使う主役。

解答
① (x−2)²+(y+3)² = 16
② 半径 = 中心と原点の距離 = √(1²+2²) = √5
よって (x−1)²+(y−2)² = 5

ポイント 円は「中心と半径」の2情報で決まる。②のように半径が直接与えられないときは、通る点との距離で半径を作る。符号注意:中心 (2, −3) なら式は (y+3)²。

解答
① x、y それぞれ平方完成:
(x−2)²−4+(y+3)²−9+4 = 0 → (x−2)²+(y+3)² = 9
中心 (2, −3)、半径 3
② 中心 = AB の中点 = (3, 2)
半径 = AB/2 = √(16+4)/2 = (2√5)/2 = √5
よって (x−3)²+(y−2)² = 5

ポイント 一般形は平方完成が唯一の道(x²、y² の係数が1であることも確認)。「直径の両端」→ 中心は中点・半径は距離の半分、と情報を翻訳する。

解答
y = x+1 を円の式に代入:
x²+(x+1)² = 5 → 2x²+2x−4 = 0 → x²+x−2 = 0 → (x+2)(x−1) = 0
x = 1 のとき y = 2、x = −2 のとき y = −1
よって共有点は (1, 2)、(−2, −1)

ポイント 共有点の座標まで必要なら代入して連立。個数だけなら次問の「距離と半径の比較」が速い — 目的で解法を選ぶ。

解答
直線を一般形に:x−y+k = 0。中心(原点)との距離は
d = |k|/√2
① 接する ⇔ d = r:|k|/√2 = 2 → |k| = 2√2 → k = ±2√2
② 2点で交わる ⇔ d < r:|k| < 2√2 → −2√2 < k < 2√2

ポイント 円と直線は「d と r の比較」が最強(判別式より計算が軽い)。d < r、= r、> r が交わる・接する・離れるに1対1対応 — 図とセットで覚える。

解答
① 直線 y = 2x−1 の上側。境界(直線)は含まない。
② 中心が原点、半径 3 の円の内部。境界(円周)は含む。

ポイント 「y >」は上側、「y <」は下側。円は「中心からの距離が r 以下」= 内部。境界を含むか(≦ か <)を必ず明記 — 図では実線・破線で描き分ける。

解答
x ≧ 0(y 軸の右側)、y ≧ 0(x 軸の上側)、x+y ≦ 4(直線 x+y = 4 の下側)の共通部分。
すなわち 3点 (0, 0)、(4, 0)、(0, 4) を頂点とする三角形の周と内部。
面積 = (1/2)×4×4 = 8

ポイント 連立不等式は「1つずつ塗って共通部分」。頂点の座標(境界どうしの交点)を求めておくのが、B4「領域と最大・最小」への準備になる。

解答
B(p, q) とおく。
(1) AB の中点 ((4+p)/2, (3+q)/2) が直線上:
(4+p)/2 + 2×(3+q)/2 − 5 = 0 → 整理して p+2q = 0
(2) 直線の傾きは −1/2 なので、AB の傾きは 2:
(q−3)/(p−4) = 2 → 2p−q = 5
連立を解いて p = 2、q = −1 → B(2, −1)

ポイント (2) は「AB が直線の法線ベクトル (1, 2) と平行」と読んでもよい(一般形 ax+by+c = 0 の係数 (a, b) が垂直方向)。検算:中点 (3, 1) を直線に代入して 3+2−5 = 0 ○。

解答
A(1, 3) の x 軸に関する対称点は A'(1, −3)。
AP = A'P なので AP+PB = A'P+PB ≧ A'B
A'B = √{(4−1)²+(1+3)²} = √(9+16) = 5(最小値)
等号は P が線分 A'B 上にあるとき。直線 A'B は傾き 4/3 で
y+3 = (4/3)(x−1)。y = 0 として x = 13/4。
よって P(13/4, 0) のとき最小値 5

ポイント 「折り返して一直線」— 光の反射と同じ原理。最小値だけなら A'B の距離で即答、P の座標まで問われたら直線 A'B と軸の交点を求める。B1-1 の対称点の技術がそのまま部品になる。

解答
《解1:図形の性質で》中点は (1, 3)、AB の傾きは (4−2)/(3+1) = 1/2。
垂直二等分線は中点を通り傾き −2:
y−3 = −2(x−1) → y = −2x+5(2x+y−5 = 0)
《解2:距離の式で》P(x, y) が AP = BP を満たすとして
(x+1)²+(y−2)² = (x−3)²+(y−4)²
展開すると 2乗の項が消えて 8x+4y−20 = 0 → 2x+y−5 = 0(同じ)

ポイント 解2は次の B3(軌跡)の入り口:「条件を距離の式で書いて整理」すると2乗が消えて直線が現れる。等距離 → 垂直二等分線、という図形的事実と式が一致する体験をここで。

解答
① 公式 x₁x+y₁y = r² より 3x+4y = 25
② 接点を (x₁, y₁) とおくと、接線は x₁x+y₁y = 5。
これが点 (3, 1) を通るから 3x₁+y₁ = 5 …(A)
接点は円上にあるから x₁²+y₁² = 5 …(B)
(A)より y₁ = 5−3x₁ を(B)へ:x₁²+(5−3x₁)² = 5
10x₁²−30x₁+20 = 0 → x₁²−3x₁+2 = 0 → x₁ = 1、2
接点 (1, 2)、(2, −1) に対応して、接線は x+2y = 5 と 2x−y = 5

ポイント 円外の点からの接線は「接点をおく」のが最も見通しがよい(接点・接線が同時に手に入る)。「y = m(x−3)+1 とおいて d = r」でも解けるが、傾きをもたない接線(x = 定数)を見落とす危険がある — 接点方式ならその心配がない。

解答
中心(原点)と直線の距離:d = |−2|/√2 = √2
半径 r = 3 なので、弦の長さ = 2√(r²−d²) = 2√(9−2) = 2√7

ポイント 「中心から弦に垂線 → 半径・d・半弦の直角三角形」で三平方。交点を求めて2点間距離でも解けるが、この方法なら交点の汚い座標を経由せずに済む。

解答
① 中心間距離 = 3、半径の和 = 2+1 = 3。距離 = 和なので外接する。
共有点は中心 (0,0) と (3,0) を結ぶ線分を 2 : 1 に内分する点(半径の比で分ける):(2, 0)
② 2円の式を辺々引く:
(x²+y²)−(x²+y²−2x−4y) = 10−0
2x+4y = 10 → x+2y−5 = 0

ポイント ②の「引き算で2次の項が消えて直線が出る」— この直線は両円の交点を必ず通る(両方の式を満たす点は差の式も満たす)ので共通弦になる。第1巻第7章の「2円の位置関係5パターン」も①で再確認。

解答
P(x, y) とおく。AP : BP = 2 : 1 より AP = 2BP、すなわち AP² = 4BP²
x²+y² = 4{(x−3)²+y²}
x²+y² = 4x²−24x+36+4y²
3x²+3y²−24x+36 = 0 → x²+y²−8x+12 = 0
(x−4)²+y² = 4 — 中心 (4, 0)、半径 2 の円

ポイント 距離の条件は2乗してから展開(√ を避ける)。距離の「比」が一定 → 円(アポロニウスの円)は結果として有名:比が 1 : 1 のときだけ直線(垂直二等分線、B1-3)になる。

解答
P(x, y) とおく。Q(s, t) とすると、P は AQ の中点だから
x = (6+s)/2、y = t/2 → s = 2x−6、t = 2y
Q は円上の点なので s²+t² = 16 に代入:
(2x−6)²+(2y)² = 16
4(x−3)²+4y² = 16 → (x−3)²+y² = 4 — 中心 (3, 0)、半径 2 の円

ポイント 「Q の条件式に、x、y で表した Q の座標を代入して Q を消去」— つられて動く点の軌跡はすべてこの型。答えの円は元の円を A に向かって 1/2 に縮めた形(中心も半径も半分)— 図形的な意味でも検算できる。

解答
G(x, y) とおく。Q(s, t) とすると、重心の公式より
x = (3+0+s)/3、y = (0+3+t)/3 → s = 3x−3、t = 3y−3
Q は円 x²+y² = 9 上なので
(3x−3)²+(3y−3)² = 9 → (x−1)²+(y−1)² = 1
ただし、三角形ができるためには Q が A、B と異なる必要がある。
Q = A(3, 0) のとき G = (2, 1)、Q = B(0, 3) のとき G = (1, 2)。
よって軌跡は 円 (x−1)²+(y−1)² = 1、ただし2点 (2, 1)、(1, 2) を除く

ポイント (4) の除外点が本問の主役:A、B はどちらも円 x²+y² = 9 上にあるため、Q がそこへ来ると「三角形」が消滅する。「求めた図形の全部が答えとは限らない」— 軌跡で最も差がつく確認作業。

解答
領域 D は4点 (0, 0)、(3, 0)、(2, 2)、(0, 3) を頂点とする四角形の周と内部
(頂点 (2, 2) は x+2y = 6 と 2x+y = 6 の交点)。
① x+y = k とおくと、傾き −1 の直線。k は y 切片なので、直線を平行移動して D と共有点をもつ最大の k を探す。
傾き −1 は境界の傾き −1/2 と −2 の間にあるので、最大は頂点 (2, 2) で実現:
最大値 = 2+2 = 4
② 3x+y = k(傾き −3)。境界 2x+y = 6(傾き −2)より急なので、最大は頂点 (3, 0) で実現:
最大値 = 3×3+0 = 9

ポイント 最大を与える頂点は直線の傾きと境界の傾きの大小で決まる — ①と②で頂点が移るのはそのため。試験では「各頂点で値を計算して比較」でも確実(頂点は有限個)。両方の視点を持つ。

解答
x+2y = k とおくと直線 x+2y−k = 0。
これが円(中心 O、半径 √5)と共有点をもつ条件は
|−k|/√(1²+2²) ≦ √5 → |k| ≦ 5 よって 最大値 5、最小値 −5
最大値 5 をとるのは接点:中心から直線に下ろした垂線方向 (1, 2) の先で (x, y) = (1, 2)(最小は (−1, −2))

ポイント 円の領域では「直線と円が接するとき」が最大最小 — 点と直線の距離の公式(A4)がここで再登板。接点は「中心 + 半径×法線方向の単位ベクトル」または連立で求める。

解答
x²+y² は「原点からの距離の2乗」と読む。
領域は中心 C(3, 0)、半径 2 の円の周と内部。
原点から領域内の点までの距離は、
最大:OC+半径 = 3+2 = 5(点 (5, 0) で)
最小:OC−半径 = 3−2 = 1(点 (1, 0) で)
よって x²+y² の 最大値 25((5, 0))、最小値 1((1, 0))

ポイント = k とおくと x²+y² = k は「半径 √k の円」— 同心円を膨らませて考えても同じ結論。式を図形量(距離・傾き・切片)として読むのがこのテーマの本質:x+2y は切片、x²+y² は距離²、y/x は傾き(発展)。

解答
k について整理する:
k(x+y−2)+(x−y) = 0
これがどんな k でも成り立つ ⇔ x+y−2 = 0 かつ x−y = 0
連立を解いて x = y = 1
よって定点 (1, 1)

ポイント 「k によらず」⇔「k の恒等式」⇔ k の係数と定数部分がともに 0(第1章の恒等式の考え方)。文字を含む直線を見たら「k で整理」が反射になるように。

解答
求める直線は、k を定数として
k(x+2y−3)+(3x−y+2) = 0 …(※)
の形で表せる(この直線は k の値によらず2直線の交点を通る — B5-1 の逆利用)。
点 (1, 2) を通るから k(1+4−3)+(3−2+2) = 0 → 2k+3 = 0 → k = −3/2
(※)に代入して −(3/2)(x+2y−3)+(3x−y+2) = 0
両辺を2倍して −3(x+2y−3)+2(3x−y+2) = 0
3x−8y+13 = 0

ポイント 交点の座標(本問では (−1/7, 11/7))が汚くても、交点を求めずに直線が書けるのが「束(たば)」の威力。注意:(※)は x+2y−3 = 0 自身は表せない(k をどうとっても係数が消えない)ので、答えがその直線になり得る問題では別途チェックする。

解答
求める円は、k を定数として
k(x²+y²−4)+(x²+y²−4x+2) = 0
の形で表せる(2円の交点を通る)。
点 (0, 1) を通るから k(1−4)+(1+2) = 0 → −3k+3 = 0 → k = 1
代入して 2x²+2y²−4x−2 = 0 → x²+y²−2x−1 = 0
(x−1)²+y² = 2 — 中心 (1, 0)、半径 √2 の円

ポイント 円の束も直線と同じ発想。なお k = −1 のときは2次の項が消えて共通弦(直線)になる — B2-3② の「引き算」の正体はこの束の特別な場合。1つの原理(f+kg = 0)が直線・円を貫いている。

解答
① 平方完成:(x−2)²+(y−1)² = 5
中心 (2, 1)、半径 √5(ア = 2、イ = 1、ウ = 5)
② 直線を一般形に:2x−y+k = 0。中心 (2, 1) との距離が半径に等しいとき接する:
|2×2−1+k|/√5 = √5 → |k+3| = 5 → k+3 = ±5 よって k = 2、−8(エ = 2、オカ = −8)
③ k = 0 のとき、中心と直線 2x−y = 0 の距離は
d = |4−1|/√5 = 3/√5
弦の長さ = 2√(r²−d²) = 2√(5−9/5) = 2√(16/5) = 8/√5 = (8√5)/5(キ = 8、ク = 5、ケ = 5)
④ x = 0、y = 0 を代入すると 0 なので C は原点を通る。
O における接線は、半径 CO(方向 (2, 1))に垂直で O を通る直線:
傾き = −2(半径の傾き 1/2 との積が −1)
よって y = −2x(コ = 2)

ポイント
• ②の |k+3| = 5 のような絶対値の方程式(第1巻第1章)がここでも部品として登場。±の2解がそれぞれ「円の上側で接する・下側で接する」に対応する。
• ④の一般公式:円 (x−a)²+(y−b)² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b) = r²。本問は「接線 ⊥ 半径」の図形的性質で十分 — 公式と原理の両輪で。

解答
① x+3y = 9 と 2x+y = 8 を連立:
2番目より y = 8−2x を代入して x+24−6x = 9 → x = 3、y = 2
交点は (3, 2)(ア = 3、イ = 2)
(領域 D の頂点は (0, 0)、(4, 0)、(3, 2)、(0, 3) の4つ)
② x+y = k(傾き −1)。境界の傾きは −1/3 と −2 で、−1 はその間にあるから、最大は2直線の交わる頂点 (3, 2) で実現:
最大値 = 3+2 = 5(ウ = 5)
③ 5x+2y = k(傾き −5/2)。境界 2x+y = 8(傾き −2)より急なので、最大は x 軸上の頂点 (4, 0) で実現:
最大値 = 5×4+0 = 20(エ = 4、オ = 0、カキ = 20)
④ y−x = k は傾き 1 の直線で、k は y 切片。左上の頂点 (0, 3) で最大:
最大値 = 3−0 = 3(ク = 3)
(確認:4頂点での値は 0、−4、−1、3 → 最大 3 ○)

ポイント
• ②③で最大を与える頂点が移った理由は「目的の直線の傾きが、どの境界より急か緩やかか」— 傾き比較の原理を④(正の傾き)まで含めて体感する構成。
• 迷ったら「全頂点で値を計算して比較」が確実(頂点は有限個)。ただし頂点の座標を1つでも落とすと破綻するので、①のように交点を丁寧に求めることが土台。
• この型は共通テスト・二次とも頻出。文章題(製品の生産量など)でも、不等式を立てた後は完全に同じ手順。

解答
① 60° = π/3、135° = 3π/4、300° = 5π/3
② 5π/6 = 150°、7π/4 = 315°

ポイント 換算の芯は 180° = π の1本だけ。「60° は 180° の 1/3 → π/3」のように分数で読むと速い。よく出る角(30°、45°、60° 系)は往復を即答できるまで反復。

解答
ℓ = rθ = 6×(π/3) = 2π
S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π

ポイント 弧度法の最初のご利益がこの公式(度数法だと 2πr×θ/360 と煩雑)。S = (1/2)rℓ(半径×弧÷2)でも同じ — 三角形の面積の親戚と見ると覚えやすい。

解答
① 第2象限、基準角 π/3:√3/2
② 第3象限、基準角 π/4:−√2/2
③ 第4象限、基準角 π/6:−√3/3

ポイント 手順:「①単位円のどの象限か ②基準の鋭角(x 軸との角)は何か ③象限で符号を決める」。値は第1象限の3点セット(π/6、π/4、π/3)しかない — 位置と符号がすべて。

解答
① sin は奇関数:−sin(π/3) = −√3/2
② 7π/3 = 2π+π/3 なので cos(π/3) = 1/2
③ 第3象限(tan は正)、基準角 π/4:1

ポイント 2π を超えたらまず 2π を引いて(周期性)0 ≦ θ < 2π に戻す。負の角は −θ の公式(sin だけ符号反転)か、時計回りに単位円を描く。

解答
cos²θ = 1−9/25 = 16/25
第3象限では cos θ < 0 だから cos θ = −4/5
tan θ = (−3/5)÷(−4/5) = 3/4

ポイント 第1巻の相互関係と手順は同じで、符号の判断が「鋭角か鈍角か」から「どの象限か」に拡張されただけ。第3象限では sin・cos が負、tan が正 — 象限の符号表を単位円から毎回復元する。

解答
1+tan²θ = 1/cos²θ より 1/cos²θ = 1+4 = 5 → cos²θ = 1/5
第4象限では cos θ > 0 だから cos θ = √5/5
sin θ = tan θ×cos θ = −2×(1/√5) = −2√5/5

ポイント tan スタートは 1+tan²θ = 1/cos²θ 経由(第1巻第4章 A3 と同じ流れ)。符号確認 → cos → sin の順で機械的に。

解答
① −sin θ(π 回転で単位円の反対側 → 高さの符号が反転)
② −cos θ(y 軸対称 → 横の符号が反転)
③ cos θ(90° 回すと sin と cos が入れ替わる)

ポイント 公式表の暗記より「単位円に点を打って、高さ・横がどうなるか見る」方が確実で速い。判断の型:「π がらみ → 符号だけ変わる可能性」「π/2 がらみ → sin と cos が入れ替わる」。

解答
各項を変換すると
sin(θ+π/2) = cos θ、sin(θ+π) = −sin θ
sin(θ+3π/2) = −cos θ、sin(θ+2π) = sin θ
和は cos θ−sin θ−cos θ+sin θ = 0

ポイント 単位円を 1/4 回転ずつした4点は「高さの合計が 0」— 対称性で答えの見当がつく。式変形と図形的直観の両方で確かめる習慣を。

解答
① 振幅 2、周期 2π(高さが2倍になるだけで周期は不変)
② 振幅 1、周期 = 2π/2 = π(θ が2倍の速さで進む)
③ 周期 π(tan はもともと π 周期)

ポイント 「a 倍 → 振幅」「θ の係数 b → 周期 2π/b」と役割を分離して読む。②のグラフは y = cos θ を「横に 1/2 に圧縮」した形。

解答
① θ 軸方向に π/3 だけ平行移動したもの(右へずれる)
② 振幅 3、周期 = 2π÷(1/2) = 4π

ポイント θ−π/3 は「+方向へ π/3 ずらす」— 第1巻第3章の平行移動(x → x−p)と全く同じ規則。係数 1/2 は「ゆっくり進む → 周期が2倍」— 圧縮・伸長の向きを言葉で言えるように。

解答
① 単位円で高さ 1/2 の横線を引く。交点は2つ:θ = π/6、5π/6
② 横 −√3/2 の縦線を引く。θ = 5π/6、7π/6

ポイント 第1巻第4章 A6 と同じ「横線・縦線」の図解法が、半円から全円に広がっただけ。0 ≦ θ < 2π では sin・cos の方程式は原則2解(±1 のときだけ1解)。

解答
① tan が √3 になるのは基準角 π/3。第1・第3象限で:θ = π/3、4π/3
② sin θ = −√2/2。高さ −√2/2 の横線:θ = 5π/4、7π/4

ポイント tan の方程式は「π 周期なので、解は π ずつ離れた2つ」。②のようにまず「sin θ = 値」の形に整理してから単位円へ。

解答
① 高さ 1/2 の横線より上にある弧:π/6 < θ < 5π/6
② 高さ −√2/2 の横線と、それより下の弧:5π/4 ≦ θ ≦ 7π/4

ポイント 手順:「①まず = の解(境界)を求める ②単位円上で条件を満たす弧を塗る ③弧の端の角を範囲で答える」。等号の有無(< か ≦)を境界に正しく反映。

解答
① 横 1/2 の縦線より左の弧:π/3 ≦ θ ≦ 5π/3
② tan θ = 1 となるのは θ = π/4、5π/4。tan は π/2、3π/2 で定義されないことに注意して、
π/4 ≦ θ < π/2、5π/4 ≦ θ < 3π/2

ポイント ②は tan の急所:漸近線(θ = π/2 など)の手前までが答えに入る(端は「< π/2」— 定義されない角は含められない)。tan の不等式は必ずグラフか単位円の図とセットで。

解答
sin 75° = sin(45°+30°) = sin 45° cos 30°+cos 45° sin 30°
= (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4
cos 15° = cos(45°−30°) = cos 45° cos 30°+sin 45° sin 30° = (√6+√2)/4

ポイント 有名角の和・差(15°、75°、105° = π/12、5π/12、7π/12)に分解するのが加法定理の第一の使い方。sin 75° = cos 15° になるのは 75°+15° = 90°(余角の関係)— 一致が検算になる。

解答
鋭角なので cos α = 4/5、sin β = 12/13(相互関係と符号)。
sin(α+β) = (3/5)(5/13)+(4/5)(12/13) = (15+48)/65 = 63/65
cos(α+β) = (4/5)(5/13)−(3/5)(12/13) = (20−36)/65 = −16/65

ポイント 加法定理を使う前の下ごしらえ(cos α、sin β を相互関係で補充)が半分の仕事。cos(α+β) < 0 から「α+β は鈍角」まで読み取れる — sin²+cos² = (63²+16²)/65² = 1 の検算も一瞬。

解答
sin α = √(1−1/9) = 2√2/3(鋭角なので正)
sin 2α = 2 sin α cos α = 2×(2√2/3)×(1/3) = 4√2/9
cos 2α = 2cos²α−1 = 2/9−1 = −7/9

ポイント cos 2α は3つの形のうち「分かっている値だけで書ける形」を選ぶ(cos α から出発 → 2cos²α−1)。cos 2α < 0 は 2α が鈍角ということ — cos α = 1/3 < 1/2 より α > π/3、つまり 2α > 2π/3 と整合。

解答
sin²(π/8) = {1−cos(π/4)}/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4
π/8 は鋭角で sin > 0 だから
sin(π/8) = √(2−√2)/2 → sin(π/8) = √(2−√2) / 2

ポイント 半角の公式は「2乗の値」しか与えない — 最後に角の位置から符号を判断して √ を外す一手が必須。π/8(= 22.5°)のように「有名角の半分」が守備範囲。

解答
r = √(1²+1²) = √2。点 (1, 1) の方向の角は π/4 だから
sin θ+cos θ = √2 sin(θ+π/4)
sin(θ+π/4) が 1 のとき最大:θ+π/4 = π/2 → θ = π/4 で最大値 √2
−1 のとき最小:θ+π/4 = 3π/2 → θ = 5π/4 で最小値 −√2

ポイント 合成の手順:「①係数の点 (a, b) を図示 ② r = √(a²+b²) ③その点の方向角が α」。最大最小は「sin(…) = ±1」に帰着 — 合成は"1つの sin にまとめて値域を読む"ための道具。

解答
点 (√3, −1) を図示すると r = √(3+1) = 2、方向角は −π/6。
√3 sin θ−cos θ = 2 sin(θ−π/6)
最大値は 2(sin(θ−π/6) = 1 のとき)

ポイント b が負でも手順は同じ — 点 (√3, −1) は第4象限なので α = −π/6。検算:2 sin(θ−π/6) を加法定理で開いて元に戻るか確認(2{sin θ×(√3/2)−cos θ×(1/2)} = √3 sin θ−cos θ ○)。

解答
sin θ = t とおくと(−1 ≦ t ≦ 1)
2t²−t−1 = 0 → (2t+1)(t−1) = 0 → t = −1/2、1
(i) sin θ = 1 のとき θ = π/2
(ii) sin θ = −1/2 のとき θ = 7π/6、11π/6
よって θ = π/2、7π/6、11π/6

ポイント 因数分解 → 単位円、の2段構え。第1巻第3章の「2次方程式」と第4章 A6 の「単位円」がここで合流する — おき換えた瞬間、前半はただの2次方程式。

解答
cos²θ = 1−sin²θ を代入して sin だけの式に:
2(1−sin²θ)+3sin θ−3 = 0
−2sin²θ+3sin θ−1 = 0 → 2sin²θ−3sin θ+1 = 0
(2sin θ−1)(sin θ−1) = 0 → sin θ = 1/2、1
(i) sin θ = 1/2 のとき θ = π/6、5π/6
(ii) sin θ = 1 のとき θ = π/2
よって θ = π/6、π/2、5π/6

ポイント 「cos² と sin が混在 → cos² を消す」— 1次で現れている方の関数に合わせて統一するのが鉄則(逆に sin² を消すと sin の1次が残って詰む)。

解答
cos θ = t とおくと(−1 ≦ t ≦ 1)
2t²+t−1 > 0 → (2t−1)(t+1) > 0 → t < −1 または t > 1/2
−1 ≦ t ≦ 1 の範囲では t < −1 は不可能(t = −1 でも左辺 = 0 で不成立)。
よって cos θ > 1/2:単位円で横 1/2 の縦線より右の弧を読んで
0 ≦ θ < π/3、5π/3 < θ < 2π

ポイント 2次不等式の解 t < −1 が t の変域 −1 ≦ t ≦ 1 で消える — おき換えの範囲チェックが効く典型例。答えが2つの区間に分かれるのは θ = 0 の側(単位円の右端)をまたぐため。

解答
tan(α+β) = (tan α+tan β)/(1−tan α tan β) = (2+3)/(1−6) = −1
α、β は鋭角で tan α > 1、tan β > 1 より π/4 < α < π/2、π/4 < β < π/2
よって π/2 < α+β < π
この範囲で tan(α+β) = −1 となるのは α+β = 3π/4

ポイント tan の値から角を決めるときは角の範囲の絞り込みが必須(tan = −1 だけでは 3π/4 か 7π/4 か決まらない)。「tan > 1 → 角は π/4 より大」のような不等式での範囲評価が後半の主役。

解答
2直線と x 軸のなす角を α、β とすると tan α = 3、tan β = 1/2。
なす角 θ = α−β について
tan θ = (tan α−tan β)/(1+tan α tan β) = (3−1/2)/(1+3/2) = (5/2)/(5/2) = 1
0 < θ < π/2 より θ = π/4

ポイント 「直線のなす角」=「傾き = tan」と読み替えて加法定理(差)へ。一般には tan θ = |(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|(鋭角で答えるため絶対値)。第3章の直線と第4章の三角関数をつなぐ定番問題。

解答
① tan(π/4) = 1 だから
tan(α+π/4) = (1/3+1)/(1−1/3×1) = (4/3)/(2/3) = 2
② tan 2α = 2tan α/(1−tan²α) = (2/3)/(1−1/9) = (2/3)/(8/9) = 3/4

ポイント tan の加法定理・2倍角は sin・cos を経由せず tan だけで完結できるのが強み。分数の割り算(繁分数)は第1巻第1章の計算体力 — 分母分子に 9 を掛けて一気に払う。

解答
sin 2θ = 2 sin θ cos θ を代入:
2 sin θ cos θ−sin θ = 0 → sin θ(2 cos θ−1) = 0
(i) sin θ = 0 のとき θ = 0、π
(ii) cos θ = 1/2 のとき θ = π/3、5π/3
よって θ = 0、π/3、π、5π/3

ポイント sin θ で「割る」のではなく「くくる」— 割ると (i) の2解が消える。「移項 → 因数分解」を体に染み込ませる。

解答
cos 2θ = 2cos²θ−1 を代入(cos に合わせる):
2cos²θ−1 = cos θ → 2cos²θ−cos θ−1 = 0
(2cos θ+1)(cos θ−1) = 0 → cos θ = −1/2、1
(i) cos θ = 1 のとき θ = 0
(ii) cos θ = −1/2 のとき θ = 2π/3、4π/3
よって θ = 0、2π/3、4π/3

ポイント cos 2θ の3つの顔(cos²−sin²、1−2sin²、2cos²−1)から「右辺と同じ関数だけになる形」を選ぶ — ここでは cos θ に合わせて 2cos²θ−1。選択を誤ると2種類が混在して B1 の統一作業が余分に必要になる。

解答
2 sin θ cos θ = cos θ → cos θ(2 sin θ−1) = 0
(i) cos θ = 0 のとき θ = π/2、3π/2
(ii) sin θ = 1/2 のとき θ = π/6、5π/6
よって θ = π/6、π/2、5π/6、3π/2

ポイント 両辺を cos θ で割ると (i) の θ = π/2、3π/2 が消えて2解を失う — B3-1 と同じ罠だが、こちらは「割りたくなる形」なので事故率が高い。解の個数(4個)を単位円で図示して最終確認する習慣を。

解答
左辺を合成:点 (1, √3) より r = 2、角 π/3
2 sin(θ+π/3) = 1 → sin(θ+π/3) = 1/2
ここで 0 ≦ θ < 2π より π/3 ≦ θ+π/3 < 2π+π/3 …(範囲のずらし)
この範囲で sin が 1/2 となるのは
θ+π/3 = 5π/6、13π/6
よって θ = π/2、11π/6

ポイント 合成後の最重要手順が「新しい角 θ+π/3 の範囲を書き直す」こと。もとの範囲のまま π/6 を拾うと誤り(π/6 は π/3 より小さく範囲外)、逆に 13π/6(= π/6+2π)は範囲内 — ずらした範囲で解を数え直す。検算:θ = π/2 で 1+0 = 1 ○。

解答
y = √2 sin(θ+π/4)
0 ≦ θ ≦ π/2 より π/4 ≦ θ+π/4 ≦ 3π/4
この範囲で sin(θ+π/4) は
θ+π/4 = π/2(すなわち θ = π/4)のとき最大値 1
θ+π/4 = π/4、3π/4(すなわち θ = 0、π/2)のとき最小値 √2/2
よって 最大値 √2(θ = π/4)、最小値 1(θ = 0、π/2)

ポイント 定義域つきの最大最小は「合成 → 角の範囲をずらす → 単位円(またはグラフ)でその弧の高さの範囲を読む」。最小が −√2 ではない(範囲が全周でないから)— A10 との違いはここ。

解答
t = sin θ+cos θ とおくと、両辺を2乗して
t² = 1+2 sin θ cos θ → 2 sin θ cos θ = t²−1
よって y = t+(t²−1) = t²+t−1
また t = √2 sin(θ+π/4) より −√2 ≦ t ≦ √2
f(t) = t²+t−1 = (t+1/2)²−5/4 のグラフ(下に凸、軸 t = −1/2)を −√2 ≦ t ≦ √2 で考える:
軸 t = −1/2 は範囲内 → 最小値 f(−1/2) = −5/4
軸から遠い端 t = √2 → 最大値 f(√2) = 2+√2−1 = 1+√2
最大値をとるのは t = √2、すなわち sin(θ+π/4) = 1 より θ = π/4。
(最小値をとる θ は sin(θ+π/4) = −√2/4 を満たす角で、−√2 ≦ −1/2 ≦ √2 より確かに存在する)

ポイント 「sin θ+cos θ と sin θ cos θ の共存 → t = sin θ+cos θ とおき、2乗して sin θ cos θ = (t²−1)/2 を作る」は数IIの三大おき換えの1つ。手順は「①おき換え ②t の変域を合成で確定 ③2次関数の最大最小(第1巻第3章の軸と区間)」— 実戦1-2③と同じ「おき換え→変域→2次関数」の骨格が、三角関数でも貫かれている。

解答
① cos 2θ = 1−2sin²θ を代入して
y = 1−2sin²θ+2sin θ = −2sin²θ+2sin θ+1(ア = 2、イ = 2、ウ = 2、エ = 1)
② sin θ は 0 ≦ θ < 2π ですべての値をとり得るから −1 ≦ t ≦ 1(オカ = −1、キ = 1)
y = −2t²+2t+1 = −2(t−1/2)²+3/2(ク = 2、ケ = 3、コ = 2)
③ 上に凸で軸 t = 1/2 は範囲内 → t = 1/2 のとき最大値 3/2
sin θ = 1/2 より θ = π/6、5π/6(サ = 6、シ = 5)
④ 軸から遠い端 t = −1 のとき最小値 −2−2+1 = −3
sin θ = −1 より θ = 3π/2(ス = 3、セ = 2、ソタ = −3)

ポイント
• ④で t = 1(y = 1)ではなく t = −1 が最小を与える — 上に凸では「軸から遠い端で最小」(第1巻第3章の軸と区間)。端点2つの値を両方計算して比べれば確実。
• 最後に t から θ へ戻すのを忘れない(答えるのは θ)。t = 1/2 に対応する θ が2つあるのも単位円で確認。

解答
① 点 (√3, 1) より r = 2、方向角 π/6:
f(θ) = 2 sin(θ+π/6)(ア = 2、イ = 6)
② 0 ≦ θ ≦ π の各辺に π/6 を加えて
π/6 ≦ θ+π/6 ≦ 7π/6(ウ = 7)
③ この範囲で sin(θ+π/6) が最大となるのは θ+π/6 = π/2 のとき(値 1)。
よって θ = π/3 のとき最大値 2(エ = 3、オ = 2)
④ 範囲の両端での sin の値は、θ+π/6 = π/6 で 1/2、θ+π/6 = 7π/6 で −1/2。
単位円で π/6 から 7π/6 までの弧の高さの最小は −1/2(端 7π/6 で実現)。
よって θ = π のとき最小値 2×(−1/2) = −1(カキ = −1)
⑤ f(θ) = √3 より sin(θ+π/6) = √3/2
π/6 ≦ θ+π/6 ≦ 7π/6 の範囲で θ+π/6 = π/3、2π/3
よって θ = π/6、π/2(ク = 6、ケ = 2)

ポイント
• ④の最小が −2 ではないのが本問の核心:sin(θ+π/6) = −1 となる角 3π/2 は範囲 [π/6, 7π/6] の外 — ずらした範囲の弧を単位円に描き、その弧での高さの最大・最小を読む。
• ⑤の検算:θ = π/6 で √3×(1/2)+(√3/2) = √3 ○、θ = π/2 で √3×1+0 = √3 ○。マーク式でも代入検算は10秒でできる保険。

解答
① 3³ = 27 だから 3
② 2⁵ = 32 だから 2
③ ³√2 × ³√4 = ³√8 = 2

ポイント ⁿ√a は「n 乗すると a になる正の数」。③のように積は中身どうしの積にまとめられる(ⁿ√a×ⁿ√b = ⁿ√(ab))— 指数で書けば 2^(1/3)×2^(2/3) = 2¹ と、指数法則そのもの。

解答
① 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4
② 27^(−1/3) = (3³)^(−1/3) = 3⁻¹ = 1/3
③ 指数に直して 2^(1/2)×2^(1/6)÷2^(1/3) = 2^(1/2+1/6−1/3) = 2^(1/3) = ³√2

ポイント 累乗根はすべて「底^(分数)」に直してから指数法則で処理 — 分数の足し引き(通分)に帰着する。①は「3乗根をとってから2乗」(8 → 2 → 4)と読むと暗算できる。

解答
① x = 0 のとき両方 y = 1:(0, 1)
② (1/2)ˣ = 2⁻ˣ なので、y 軸に関して対称
③ y = 2ˣ は増加(底 > 1)、y = (1/2)ˣ は減少(底 < 1)

ポイント 指数関数のグラフの3点セット:「(0, 1) を必ず通る」「x 軸が漸近線(y > 0)」「底と 1 の大小で増減が決まる」。この増減が、方程式・不等式のすべての判断の根拠になる。

解答
① すべて 2 のべきに直す:2^(1/2)、2^(2/3)、2^(3/4)
指数は 1/2 < 2/3 < 3/4 で、底 2 > 1(増加)だから
√2 < ³√4 < ⁴√8
② 底 1/3 < 1(減少)なので、指数が大きいほど値は小さい:
1/3 < 1/2 より (1/3)^(1/2) < (1/3)^(1/3)

ポイント 大小比較の手順:「底をそろえる → 指数を比べる → 底と 1 の大小で向きを決める」。②の逆転が本章の失点源その1 — 「底が 1 より小さい = 減少関数」とグラフを思い浮かべて判断する。

解答
① 2ˣ = 2⁵ より x = 5
② (3³)ˣ = 3² → 3³ˣ = 3² → 3x = 2 → x = 2/3
③ 2⁻²ˣ = 2³ → −2x = 3 → x = −3/2

ポイント 指数方程式の基本は「底をそろえて指数を比較」の一本(aᵖ = aᑫ ⇔ p = q)。27、9、1/4、8 … を見たら瞬時に「2 か 3 の何乗か」に分解する。

解答
4ˣ = (2ˣ)² なので、2ˣ = t とおくと(t > 0)
t²−3t−4 = 0 → (t−4)(t+1) = 0 → t = 4、−1
t > 0 より t = 4
2ˣ = 4 = 2² より x = 2

ポイント 4ˣ と 2ˣ の混在 → 2ˣ = t のおき換えで2次方程式へ。t = −1 を捨てる根拠が「t = 2ˣ > 0(指数関数の値域)」— おき換えたら変域を書く、が第1巻から続く鉄則。

解答
① 2ˣ > 2³。底 2 > 1(増加)なので向きはそのまま:x > 3
② (1/3)ˣ ≧ (1/3)²。底 1/3 < 1(減少)なので向きが逆転:x ≦ 2

ポイント 不等式は方程式にひと手間:「底と 1 の大小」の宣言を必ず書く(答案上も)。②を x ≧ 2 とするのが本章最多のミス — グラフの減少を思い出して逆転。

解答
2ˣ⁺¹ = 2×2ˣ なので、2ˣ = t とおくと(t > 0)
t²−2t−8 < 0 → (t−4)(t+2) < 0 → −2 < t < 4
t > 0 とあわせて 0 < t < 4
2ˣ < 4 = 2²。底 2 > 1 より x < 2

ポイント 「おき換え → 2次不等式 → t > 0 との共通範囲 → 指数に戻す」の4段。0 < t の側(2ˣ > 0)は x の条件としては「すべての実数」なので消える — 最後は 2ˣ < 4 だけが残る仕組みまで理解する。

解答
① 2 を何乗すると 8 か:3
② 3 を何乗すると 1/9 = 3⁻² か:−2
③ 5 を何乗すると √5 = 5^(1/2) か:1/2

ポイント logₐ M は「a を何乗すると M になるか」という数そのもの — 定義を日本語で言えることが対数のすべての出発点。真数を aᵖ の形に直せば指数 p が答え。

解答
① 定義より x = 2⁴ = 16
② 定義より x³ = 27。x > 0、x ≠ 1 より x = 3

ポイント logₐ M = p ⇔ M = aᵖ の書き換えを両方向で。②では「底の条件(x > 0、x ≠ 1)」が効いている — 底・真数の条件は対数の宿命として常に意識する。

解答
① log₁₀ (2×5) = log₁₀ 10 = 1
② log₂ (12/3) = log₂ 4 = 2
③ log₃ 27^(1/2) = (1/2)×log₃ 27 = (1/2)×3 = 3/2

ポイント 3つの性質(積 → 和、商 → 差、累乗 → 係数)で「まとめてから」値を読むのが基本方針。バラバラのままでは値が出なくても、まとめると 10 や 4 のようなよい数が現れる設計が多い。

解答
① 底の変換で底を 2 に:log₄ 8 = (log₂ 8)/(log₂ 4) = 3/2 → 3/2
② log₃ 4 = (log₂ 4)/(log₂ 3) と変換して
log₂ 3 × (log₂ 4)/(log₂ 3) = log₂ 4 = 2

ポイント 底がばらばらなら底の変換公式で1つの底に統一(小さい素数の底が便利)。②のように掛け算で log が約分のように消えていく感覚をつかむ。

解答
① (1, 0) と (2, 1)(log₂ 1 = 0、log₂ 2 = 1)
② 真数条件より x > 0
③ 互いに逆関数なので、直線 y = x に関して対称

ポイント 対数関数のグラフ3点セット:「(1, 0) を必ず通る」「y 軸が漸近線(定義域 x > 0)」「底 > 1 で増加」。指数関数のグラフを y = x で折り返した形、と結びつけて覚える。

解答
① 底 2 > 1(増加)で真数 3 < 5 だから log₂ 3 < log₂ 5
② 底 1/2 < 1(減少)なので逆転:log₁/₂ 3 > log₁/₂ 5
③ すべて底 2 の対数に直して真数で比較:
3/2 = log₂ 2^(3/2) = log₂ √8、log₄ 10 = (log₂ 10)/2 = log₂ √10
真数は √8 < 3 < √10(2乗して 8 < 9 < 10)だから
3/2 < log₂ 3 < log₄ 10

ポイント ③の手順:「底を統一 → 数値も logₐ の形に直す → 真数の大小に帰着」。真数の比較で √ が出たら2乗して比べる(第1巻第1章)。指数のとき(A2-2)と完全に同じ思想 — 「そろえて比べる」。

解答
真数条件:x−1 > 0 より x > 1
定義より x−1 = 2³ = 8
よって x = 9(x > 1 を満たす)→ x = 9

ポイント 対数方程式の第一手は真数条件(解いた後に候補を検品する基準になる)。あとは定義 logₐ M = p ⇔ M = aᵖ で外すだけ。

解答
真数条件:x+2 > 0 かつ x > 0 より x > 0
左辺をまとめて log₃ x(x+2) = 1
x(x+2) = 3 → x²+2x−3 = 0 → (x+3)(x−1) = 0 → x = −3、1
真数条件 x > 0 より x = −3 は不適。
よって x = 1

ポイント 「まとめる → 定義で外す → 2次方程式 → 真数条件でふるう」の4段。x = −3 を残すのが本章の失点源その2 — 真数条件を最初に書いたかどうかで答案の運命が決まる。

解答
真数条件:x > 0
log₂ x < log₂ 8。底 2 > 1(増加)なので x < 8
真数条件とあわせて 0 < x < 8

ポイント 答えは「x < 8」ではなく 0 < x < 8 — 真数条件が答えの左端を作る。「右辺の数も logₐ の形に直す(3 = log₂ 8)」と比較の形が見える。

解答
真数条件:x−1 > 0 より x > 1
−2 = log₁/₃ (1/3)⁻² = log₁/₃ 9 だから
log₁/₃ (x−1) ≧ log₁/₃ 9
底 1/3 < 1(減少)なので向きが逆転:x−1 ≦ 9 → x ≦ 10
真数条件とあわせて 1 < x ≦ 10

ポイント 本章の2大注意(真数条件と底 < 1 の逆転)が同時に出る集大成型。「①真数条件 ②両辺を同じ底の log に ③底と 1 の大小で向き ④共通範囲」— この4手順を毎回声に出す。

解答
① log₁₀ 2² = 2×0.3010 = 0.6020
② log₁₀ (10/2) = 1−0.3010 = 0.6990
③ log₁₀ (2×10) = 0.3010+1 = 1.3010

ポイント 与えられるのは log₁₀ 2 と log₁₀ 3 だけ — 5 = 10/2、4 = 2²、6 = 2×3 のように「2 と 3 と 10 の組み立て」で他の値を作る。②の 5 = 10/2 は最頻出の変形。

解答
log₁₀ 2¹⁰⁰ = 100×0.3010 = 30.10
よって 30 ≦ log₁₀ 2¹⁰⁰ < 31
すなわち 10³⁰ ≦ 2¹⁰⁰ < 10³¹
よって 2¹⁰⁰ は 31 桁

ポイント 桁数の原理:「n 桁 ⇔ 10ⁿ⁻¹ 以上 10ⁿ 未満 ⇔ n−1 ≦ log₁₀ N < n」。log の整数部分が 30 なら 31 桁(+1 のずれ)— 10¹ = 10 が2桁、で確かめると忘れない。

解答
2ˣ×2⁻ˣ = 1 に注意する。
① 4ˣ+4⁻ˣ = (2ˣ)²+(2⁻ˣ)² = (2ˣ+2⁻ˣ)²−2×1 = 9−2 = 7
② 8ˣ+8⁻ˣ = (2ˣ)³+(2⁻ˣ)³ = (2ˣ+2⁻ˣ)³−3×1×(2ˣ+2⁻ˣ) = 27−9 = 18

ポイント 「4ˣ は (2ˣ)²、8ˣ は (2ˣ)³」と2ˣ を主役の文字と見るのが入口。a+1/a 型(積が1)の対称式は指数・対数の定番舞台 — x²+y² = (x+y)²−2xy、x³+y³ = (x+y)³−3xy(x+y) を即座に呼び出す。

解答
3ˣ = t とおくと(t > 0)、9ˣ = t² だから
t²−10t+9 = 0 → (t−1)(t−9) = 0 → t = 1、9(ともに t > 0 を満たす)
(i) 3ˣ = 1 のとき x = 0
(ii) 3ˣ = 9 のとき x = 2
よって x = 0、2

ポイント A3-2 と同じおき換え型だが、解が2つとも生き残るパターン。t の候補が出たら「t > 0 か」を機械的に検品 — 今回は両方合格、という判断まで含めて答案。

解答
(1/3)ˣ = t とおくと(t > 0)、(1/9)ˣ = t² だから
t²−4t+3 ≦ 0 → (t−1)(t−3) ≦ 0 → 1 ≦ t ≦ 3
すなわち 1 ≦ (1/3)ˣ ≦ 3
(i) (1/3)ˣ ≧ 1 = (1/3)⁰:底 1/3 < 1 なので x ≦ 0
(ii) (1/3)ˣ ≦ 3 = (1/3)⁻¹:同様に逆転して x ≧ −1
よって −1 ≦ x ≦ 0

ポイント 「おき換えで2次不等式 → t の範囲 → 底 < 1 の逆転で x に戻す」— 本章の技術の総結集。3 = (1/3)⁻¹ のように右辺も同じ底のべきで書くと逆転の処理が正確になる。

解答
真数条件:x > 0
このとき log₂ x² = 2 log₂ x なので、log₂ x = t とおくと
t²−2t−3 = 0 → (t−3)(t+1) = 0 → t = 3、−1
(i) log₂ x = 3 のとき x = 8
(ii) log₂ x = −1 のとき x = 1/2
どちらも x > 0 を満たす。よって x = 8、1/2

ポイント (log₂ x)² と log₂ x² は別物((log)の2乗と、真数の2乗)— まず後者を 2 log₂ x に直して t の2次方程式へ。t には正負の制限がない(対数の値域は実数全体)ので、指数のときと違い t = −1 も採用される。

解答
真数条件:x−1 > 0 かつ x−3 > 0 より x > 3
左辺をまとめて log₂ (x−1)(x−3) ≦ 3 = log₂ 8
底 2 > 1 なので (x−1)(x−3) ≦ 8
x²−4x−5 ≦ 0 → (x−5)(x+1) ≦ 0 → −1 ≦ x ≦ 5
真数条件とあわせて 3 < x ≦ 5

ポイント 真数条件は「両方の真数が正」— x > 1 だけでは足りない(x = 2 は 2 つ目の log が定義されない)。「まとめる前の式で真数条件、まとめた式で計算」という役割分担を固定する。

解答
真数条件:x > 0
底の変換で底を 2 にそろえる:log₄ x = (log₂ x)/(log₂ 4) = (log₂ x)/2
(log₂ x)/2+log₂ x = 6 → (3/2) log₂ x = 6 → log₂ x = 4
よって x = 2⁴ = 16

ポイント 底が違う log の混在は底の変換で統一が第一手(小さい方の底 2 にそろえると分数が軽い)。統一後は log₂ x をひとかたまりの文字として1次方程式を解くだけ。

解答
2ˣ = t とおく。0 ≦ x ≦ 3 で 2ˣ は増加だから 1 ≦ t ≦ 8
y = (2ˣ)²−4×2ˣ+1 = t²−4t+1 = (t−2)²−3
軸 t = 2 は範囲 1 ≦ t ≦ 8 の内部 → t = 2 で最小値 −3
軸から遠い端 t = 8 で最大値 64−32+1 = 33
t = 2 ⇔ x = 1、t = 8 ⇔ x = 3
よって 最大値 33(x = 3)、最小値 −3(x = 1)

ポイント 2ˣ⁺² = 4×2ˣ の変形(指数法則)を落ち着いて。t の変域は「x の両端を 2ˣ に代入」— 増加関数だから端が端に対応する。最後に t から x へ戻して答える(第4章 実戦4-1 と同じ注意)。

解答
log₂ (8/x) = log₂ 8−log₂ x = 3−log₂ x
log₂ x = t とおく。1 ≦ x ≦ 8 で 0 ≦ t ≦ 3
y = t(3−t) = −t²+3t = −(t−3/2)²+9/4
上に凸で軸 t = 3/2 は範囲内 → t = 3/2 で最大値 9/4
軸から遠さが等しい両端 t = 0、3 で最小値 0
t = 3/2 ⇔ x = 2^(3/2) = 2√2、t = 0、3 ⇔ x = 1、8
よって 最大値 9/4(x = 2√2)、最小値 0(x = 1、8)

ポイント 対数の性質で「log₂ x のかたまり」を作ってからおき換え。最大を与える x = 2√2 のような無理数の答えにひるまない — t の世界では 3/2 というただの分数。

解答
2ˣ+2⁻ˣ = t とおく。2ˣ > 0、2⁻ˣ > 0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
t ≧ 2√(2ˣ×2⁻ˣ) = 2(等号は 2ˣ = 2⁻ˣ、すなわち x = 0)→ t ≧ 2
また 4ˣ+4⁻ˣ = (2ˣ+2⁻ˣ)²−2 = t²−2(B1-1)だから
y = (t²−2)−2t+3 = t²−2t+1 = (t−1)²
t ≧ 2 の範囲で、軸 t = 1 は範囲の左外 → t = 2 で最小。
最小値 = (2−1)² = 1(x = 0 のとき)

ポイント t の変域を相加相乗で作るのが本問の華(第1章 B5・実戦1-2③の再演)。「対称式で次数を下げ、相加相乗で変域を確定し、2次関数で仕上げる」— 3つの章の道具が1問に同居する、数IIの代表的な融合型。

解答
① log₁₀ 3⁵⁰ = 50×0.4771 = 23.855
23 ≦ log₁₀ 3⁵⁰ < 24 より 10²³ ≦ 3⁵⁰ < 10²⁴
よって 24 桁
② log₁₀ 6²⁰ = 20×log₁₀ (2×3) = 20×(0.3010+0.4771) = 20×0.7781 = 15.562
15 ≦ log₁₀ 6²⁰ < 16 より 16 桁

ポイント 「log の整数部分+1 = 桁数」。②のように素因数分解してから log を分解(6 = 2×3)するのが常用対数の作法 — どんな数も 2、3、10 の組み立てに落とす。

解答
log₁₀ 0.3 = log₁₀ (3/10) = 0.4771−1 = −0.5229
log₁₀ (0.3)²⁰ = 20×(−0.5229) = −10.458
−11 ≦ log₁₀ (0.3)²⁰ < −10 より 10⁻¹¹ ≦ (0.3)²⁰ < 10⁻¹⁰
よって 小数第 11 位に初めて 0 でない数字が現れる。

ポイント 小数版は桁数の鏡像:「log が −10.458 → 10⁻¹¹ 台 → 第 11 位」。負の数のはさみ方(−11 ≦ −10.458 < −10)で符号ミスをしやすいので、10⁻¹ = 0.1 が第1位(log = −1 は −1 ≦ log < 0)で検算する。

解答
2ⁿ が 15 桁 ⇔ 14 ≦ log₁₀ 2ⁿ < 15
log₁₀ 2ⁿ = 0.3010n だから
14 ≦ 0.3010n < 15
各辺を 0.3010 で割って 46.51… ≦ n < 49.83…
n は自然数なので n = 47、48、49

ポイント 桁数の条件を不等式に翻訳して n について解く逆向きの問題。割り算の値(14/0.3010 ≒ 46.5)は小数第1位まで丁寧に — 端の 46 や 50 を含めるかどうかがすべて。答えが複数個になるのもこの型の特徴(2ⁿ は約 3 個ごとに桁が1つ増える:log₁₀ 2 ≒ 0.3 の意味)。

解答
① 対数の性質より log₂ x⁴ = 4 log₂ x(ア = 4)
② log₂ x は増加関数なので、x の両端を代入して
log₂ 1 = 0、log₂ 32 = 5 より 0 ≦ t ≦ 5(イ = 0、ウ = 5)
③ f(x) = t²−4t+5 = (t−2)²+1(エ = 2、オ = 1)
④ 軸 t = 2 は範囲 0 ≦ t ≦ 5 の内部にあるから、t = 2 で最小。
log₂ x = 2 より x = 4 のとき最小値 1(カ = 4)
⑤ 軸から遠い端 t = 5 で最大:f = 25−20+5 = 10
log₂ x = 5 より x = 32 のとき最大値 10(キク = 32、ケコ = 10)

ポイント
• (log₂ x)² と log₂ x⁴ の区別(前者は log の2乗、後者は 4 log₂ x)— B2-1 で確認した頻出の見分けが①の正体。
• ④⑤で t の値を x に戻す変換(t = 2 → x = 2² = 4)を忘れると、せっかくの計算が0点になる。マークの並びも「x を答えてから値」— 問われている量を最後に確認。

解答
(1) n 時間後の個数は 2ⁿ 個。条件は
2ⁿ > 10⁹
両辺の常用対数をとって n log₁₀ 2 > 9
0.3010n > 9 → n > 9/0.3010 = 29.90…
n は自然数なので、初めて超えるのは 30 時間後(アイ = 30)
(2)
① log₁₀ 0.8 = log₁₀ (2³/10) = 3 log₁₀ 2−1 = 0.9030−1 = −0.0970(ウ = 3)
② n 年後の質量は最初の 0.8ⁿ 倍。条件は
0.8ⁿ ≦ 1/10
両辺の常用対数をとって n log₁₀ 0.8 ≦ −1
−0.0970n ≦ −1
負の数 −0.0970 で割るので不等号の向きが逆転して
n ≧ 1/0.0970 = 10.30…
n は自然数なので、初めて 1/10 以下になるのは 11 年後(エオ = 11)

ポイント
• (2)②の逆転が本問の核心:log₁₀ 0.8 < 0(1 未満の数の対数は負)なので、割った瞬間に向きが変わる — 第1巻第1章の不等式の大原則が、対数の文章題で命綱になる。
• 検算の感覚:(1) は「2 は約 3 回で 1 桁増える(log₁₀ 2 ≒ 0.3)」→ 9 桁増やすには約 30 回 ○。(2) は「1 年で約 9.7% 分の log が減る」→ 1(= 1 桁)減らすには約 10.3 年 → 11 年目 ○。数字の意味で答えを見直す習慣が、マーク式の強力な保険になる。

解答
① {f(3)−f(1)}/(3−1) = (9−1)/2 = 4
② f'(1) = lim(h→0) {f(1+h)−f(1)}/h
= lim(h→0) {(1+2h+h²)−1}/h = lim(h→0) (2+h) = 2

ポイント 平均変化率は「2点を結ぶ直線の傾き」、微分係数は「その2点を限りなく近づけた極限 = 接線の傾き」。h で約分してから h → 0 とする流れを一度は定義で体験しておく(以後は公式で)。

解答
① {f(2)−f(0)}/2 = (−2−0)/2 = −1
② f(2+h)−f(2) = {(2+h)²−3(2+h)}−(−2) = h²+h
f'(2) = lim(h→0) (h²+h)/h = lim(h→0) (h+1) = 1

ポイント 分子を先に計算して h でくくる(定数項が消えるのが検算 — 消えなければ計算ミス)。①が負なのは「この区間では全体として減っている」という意味。

解答
① y' = 3x²−8x+5
② y' = 6x²+3
③ 展開して y = x²+2x−3 → y' = 2x+2

ポイント (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹:「指数が前に降りて、指数は1減る」。定数の微分は 0。③のような積は数IIでは展開してから — 各項ごとに機械的に処理する。

解答
① 展開して y = 4x²+4x+1 → y' = 8x+4
② f'(x) = 3x²−6x
f'(2) = 12−12 = 0、f'(−1) = 3+6 = 9

ポイント ②の f'(2) = 0 は「x = 2 で接線が水平」— 極値の候補点(A4 へつながる伏線)。導関数はまず求めてから値を代入、の順を守る。

解答
y' = 2x より、傾きは x = 2 で 2×2 = 4
y = 4(x−2)+4 → y = 4x−4

ポイント 接線は「傾き f'(a)、通る点 (a, f(a))」の直線 — 第3章 A2 の基本形 y−y₁ = m(x−x₁) に乗せるだけ。微分の最初の使い道がこれ。

解答
y' = 3x²−3
① 傾き = 3−3 = 0。よって y = −2(水平な接線)
② 接点の x 座標を a とすると 3a²−3 = 9 → a² = 4 → a = ±2
(i) a = 2:接点 (2, 2)、y = 9(x−2)+2 → y = 9x−16
(ii) a = −2:接点 (−2, −2)、y = 9(x+2)−2 → y = 9x+16

ポイント ②の型は「接点 a をおいて、傾きの条件から a の方程式」— 接線問題の万能手順(曲線外の点から引く接線も同じ)。①の「傾き 0 = 水平線 y = −2」は極値との接点(A4 の予告)。

解答
y' = 3x²−3 = 3(x+1)(x−1)
y' = 0 となるのは x = −1、1。増減表:

x	…	−1	…	1	…
y'	+	0	−	0	+
y	↗	2	↘	−2	↗

よって x = −1 で極大値 2、x = 1 で極小値 −2

ポイント 手順:「①微分 ②y' = 0 を解く ③増減表(y' の符号は因数の符号かグラフで判断)④極値を宣言」。3次関数(x³ の係数が正)の基本形は「山 → 谷」— 概形を頭に置いて表を検算する。

解答
y' = −3x²+6x = −3x(x−2)
y' = 0 となるのは x = 0、2。増減表:

x	…	0	…	2	…
y'	−	0	+	0	−
y	↘	0	↗	4	↘

よって x = 0 で極小値 0、x = 2 で極大値 4

ポイント x³ の係数が負だと概形は「谷 → 山」に反転(極小が先)。y' = −3x(x−2) の符号は「上に凸の放物線が 0 と 2 の間で正」と読む — 第1巻第3章の2次不等式がここで毎回働く。

解答
f'(x) = 3x²−6x = 3x(x−2)。区間内で f'(x) = 0 となるのは x = 0、2。
候補の値:f(−1) = −2、f(0) = 2(極大)、f(2) = −2(極小)、f(3) = 2
よって 最大値 2(x = 0、3)、最小値 −2(x = −1、2)

ポイント 区間つきの最大最小は「極値と両端、候補を全部並べて比較」— 増減表の右端・左端に区間の端の値を書き足す。本問のように最大・最小が2か所で起こることもある(端と極値が並ぶ)。

解答
f'(x) = 3x²−12x+9 = 3(x−1)(x−3)
区間 0 ≦ x ≦ 2 内で f'(x) = 0 となるのは x = 1 のみ(x = 3 は区間外)。
候補の値:f(0) = 0、f(1) = 4(極大)、f(2) = 2
よって 最大値 4(x = 1)、最小値 0(x = 0)

ポイント 区間外の極値候補(x = 3)は捨てる — 「y' = 0 の解がすべて候補」ではなく「区間内のものだけ」。区間が変わると答えが変わる感覚は、第1巻第3章の2次関数と同じ。

解答
① x³−2x²+x+C(C は積分定数)
② 2x³+x²+C

ポイント ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C:「指数を1増やして、増えた指数で割る」(微分の逆再生)。検算は微分して元に戻るか — 10秒でできる最強の保険。C の書き忘れは定番の減点。

解答
F(x) = ∫(3x²−2x)dx = x³−x²+C
F(1) = 1−1+C = C = 3
よって F(x) = x³−x²+3

ポイント 「導関数と1点の値から元の関数を復元」— 不定積分の C が、通る点の条件でただ1つに決まる構造。接線条件つきの関数決定など、応用の基本部品になる。

解答
① [x²+x] を 1 から 3 まで:(9+3)−(1+1) = 10
② [x³−x²] を 0 から 2 まで:(8−4)−0 = 4

ポイント 手順:「原始関数を作る(C 不要)→ 上端の値 − 下端の値」。代入は上端から — 引き算の順序ミスが最多の事故なので、(上端)−(下端)と声に出す。

解答
① [x³/3−x²/2] を −1 から 2 まで:
(8/3−2)−(−1/3−1/2) = 2/3+1/3+1/2 = 3/2
② [x³+x²+x] を −1 から 1 まで:(1+1+1)−(−1+1−1) = 4
《別解》②は −1 から 1 の対称区間なので、奇関数 2x の積分は 0。
2∫[0→1] (3x²+1)dx = 2×(1+1) = 4(同じ)

ポイント ①のような分数は通分を焦らず1項ずつ。②の別解「対称区間では奇数次の項は消える、偶数次は 0 からの2倍」は計算量を半減させる強力な時短技(検算にも)。

解答
x 軸との交点:−x²+4 = 0 → x = ±2。この区間で y ≧ 0。
S = ∫[−2→2] (−x²+4)dx = [−x³/3+4x] を −2 から 2 まで
= (−8/3+8)−(8/3−8) = 32/3

ポイント 面積の3手順:「①交点(積分区間)②上下の確認(y ≧ 0 か)③定積分」。1/6 公式でも:|−1|×{2−(−2)}³/6 = 64/6 = 32/3 — 一致の確認が最高の検算。

解答
交点:x²−2x = 0 → x = 0、2。0 ≦ x ≦ 2 では y ≦ 0(下に凸で軸との間が下側)。
S = −∫[0→2] (x²−2x)dx = −[x³/3−x²] = −(8/3−4) = 4/3

ポイント 曲線が x 軸の下にある部分は、定積分が負になるのでマイナスをつけて面積に直す。マイナスを忘れて「−4/3」と答えるのが典型ミス — 面積は必ず正、が最終チェック。

解答
交点:x² = x+2 → x²−x−2 = 0 → x = −1、2
−1 ≦ x ≦ 2 では直線が上(たとえば x = 0 で 2 > 0)。
S = ∫[−1→2] {(x+2)−x²}dx
1/6 公式より S = |−1|×{2−(−1)}³/6 = 27/6 = 9/2

ポイント (上)−(下) = −(x²−x−2) = −(x+1)(x−2) — 交点の2次方程式の左辺がそのまま被積分関数になる構造。1/6 公式 |a|(β−α)³/6 は放物線と直線の面積の最短ルート(記述では公式の使用を一言断るか、定積分を書き添える)。

解答
交点:x²−1 = −x²+2x+3 → 2x²−2x−4 = 0 → x²−x−2 = 0 → x = −1、2
この区間では y = −x²+2x+3 が上(x = 0 で 3 > −1)。
S = ∫[−1→2] {(−x²+2x+3)−(x²−1)}dx = ∫[−1→2] (−2x²+2x+4)dx
被積分関数は −2(x+1)(x−2) なので、1/6 公式の拡張より
S = |−2|×{2−(−1)}³/6 = 2×27/6 = 9

ポイント 放物線どうしでも「差をとって1つの2次関数」にすれば直線のときと同じ — 公式は |a|(β−α)³/6 の a に差の x² の係数(ここでは −2)が入る。上下の確認(1点代入)を省かないこと。

解答
接点を (a, a²) とおくと、y' = 2x より接線は
y = 2a(x−a)+a² = 2ax−a²
これが点 (1, −3) を通るから −3 = 2a−a²
a²−2a−3 = 0 → (a−3)(a+1) = 0 → a = 3、−1
よって接線は y = 6x−9 と y = −2x−1

ポイント 点 (1, −3) は放物線の外部(下側)にあるので接線は2本 — 答えの本数を図で予想してから解くと安心。「接点をおく」のであって「傾きをおく」のではない(傾き m でおくと判別式経由になり遠回り)。

解答
接点を (a, a³) とおくと、y' = 3x² より接線は
y = 3a²(x−a)+a³ = 3a²x−2a³
これが点 (0, −2) を通るから −2 = −2a³ → a³ = 1 → a = 1
よって接線は y = 3x−2(接点 (1, 1))

ポイント 3次曲線の接線の y 切片は −2a³ という形になる(整理の結果)。a³ = 1 の実数解は 1 のみ — 3次方程式の実数解の個数がそのまま接線の本数になる、という対応は発展問題(接線が3本引ける点の範囲など)への入り口。

解答
f(x) = x³+ax+b とおく。曲線が点 (1, 3) で直線 y = 2x+1 に接する条件は
(i) 点を通る:f(1) = 3 (ii) 傾きが一致:f'(1) = 2
f'(x) = 3x²+a より
(ii):3+a = 2 → a = −1
(i):1+a+b = 3 → 1−1+b = 3 → b = 3
(検算:点 (1, 3) は直線 y = 2x+1 上にある ○)

ポイント 「接する」の翻訳は 値の一致+微分係数の一致 の2本セット — 判別式(第3章の円と直線)ではなく微分で書くのが3次以上の流儀。条件2本で未知数2個、と方程式の数を確認してから解く。

解答
f'(x) = 3x²−6x+a
f(x) が極値をもつ ⇔ f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもち、その前後で f' の符号が変わる。
f' は下に凸の2次関数なので、異なる2実解をもてば符号は必ず + → − → + と変わる。
判別式:D/4 = 9−3a > 0 → a < 3

ポイント 「極値をもつ ⇔ D > 0」— 等号を含めないのが核心(D = 0 の重解では f' ≧ 0 のまま符号が変わらず、極値にならない:y = x³ 型)。「f' = 0 の解がある」だけでは不十分、という論理を答案に一言書く。

解答
f'(x) = 3x²+2ax+b
x = 1 で極大値 5 をとるための必要条件は
f'(1) = 3+2a+b = 0、f(1) = 1+a+b = 5
連立を解いて 2a+b = −3、a+b = 4 → a = −7、b = 11
(十分性の確認)このとき f'(x) = 3x²−14x+11 = (3x−11)(x−1)
増減は x = 1 の前後で + → −(x = 1 と 11/3 の間で負)となり、x = 1 で確かに極大。f(1) = 1−7+11 = 5 ○
よって a = −7、b = 11

ポイント f'(1) = 0 は極値の必要条件にすぎない(逆は成り立たない)ので、解いた後に増減表で「本当に極大か」を確認するのが満点答案の作法 — この一段の有無が記述の評価を分ける。

解答
f'(x) = 3x²+2ax+b
x = 0、2 で極値をとるから f'(0) = 0、f'(2) = 0:
b = 0、12+4a+b = 0 → a = −3、b = 0
極大値の条件から f(0) = c = 2
このとき f(x) = x³−3x²+2、f'(x) = 3x(x−2)
増減:x = 0 の前後で + → −(極大 ○)、x = 2 の前後で − → +(極小 ○)
極小値は f(2) = 8−12+2 = −2

ポイント 「x = 0 と 2 で極値」→ f' = 0 の2解がその2つ、と読めば f'(x) = 3x(x−2) と因数分解の形が先に見える(解と係数の関係でも a、b が出る)。決定後の増減確認は B2-2 と同じく必須。

解答
f(x) = x³−3x+1 とおく。f'(x) = 3(x+1)(x−1)
極大値 f(−1) = −1+3+1 = 3 > 0
極小値 f(1) = 1−3+1 = −1 < 0
極大値と極小値が異符号なので、グラフは x 軸と3回交わる。
よって異なる実数解は 3 個

ポイント 3次方程式の解の個数の判定:「(極大値)×(極小値) < 0 ⇔ 3個」「= 0 ⇔ 2個」「> 0(または極値なし)⇔ 1個」。グラフの山と谷が x 軸をまたぐか、の図で理解する。

解答
k を分離して x³−3x² = k
g(x) = x³−3x² とおくと g'(x) = 3x(x−2)
極大値 g(0) = 0、極小値 g(2) = 8−12 = −4
曲線 y = g(x) と直線 y = k の共有点の個数を、k を上下に動かして数える:
−4 < k < 0 のとき 3個
k = 0、−4 のとき 2個
k < −4、0 < k のとき 1個

ポイント 定数分離(k を右辺に孤立させる)が最強の整理法 — 曲線は固定され、動くのは水平線だけになる。境目は必ず極値の高さ(0 と −4)。「等号のとき2個」(山頂・谷底で接する)を落とさない。

解答
《証明》f(x) = x³−3x²+4 とおき、x ≧ 0 での最小値を調べる。
f'(x) = 3x²−6x = 3x(x−2)
x ≧ 0 における増減:0 ≦ x ≦ 2 で減少、x ≧ 2 で増加。
よって x ≧ 0 での最小値は f(2) = 8−12+4 = 0
したがって x ≧ 0 のとき f(x) ≧ 0、すなわち x³+4 ≧ 3x² が成り立つ。
(等号は x = 2 のとき)∎

ポイント 不等式の証明の微分版:「(左辺)−(右辺)の最小値 ≧ 0 を示す」。第1章の平方完成では届かない3次の不等式は、増減表で最小値を特定する — 「差をとる」という大方針(第1章 A7)は変わらない。

解答
∫[0→2] f(t)dt は定数なので A とおくと f(x) = 3x²+A
A = ∫[0→2] (3t²+A)dt = [t³+At] を 0 から 2 まで = 8+2A
よって A = 8+2A → A = −8
f(x) = 3x²−8
(検算:∫[0→2] (3t²−8)dt = 8−16 = −8 = A ○)

ポイント 「上端・下端が数字の定積分 = ただの定数」と見抜いて A とおく — この一手だけの問題。A の方程式を解いたら、必ず元の等式に戻して検算(左右が一致するか)。

解答
① 上端が x の定積分の微分:F'(x) = x²−2x
② 実際に積分して
F(x) = [t³/3−t²] を 1 から x まで = (x³/3−x²)−(1/3−1)
F(x) = x³/3−x²+2/3
(検算:F'(x) = x²−2x ○、F(1) = 1/3−1+2/3 = 0 ○)

ポイント 公式「d/dx ∫[a→x] f(t)dt = f(x)」(積分してから微分すると元に戻る)と、「x = a を代入すると 0」(∫[a→a] = 0)の2性質がこの型のすべて。②の結果が①②の両方を満たすか、の二重検算が効く。

解答
両辺を x で微分すると、左辺は f(x) になるから
f(x) = 2x−3
また、x = a を代入すると左辺は ∫[a→a] = 0 なので
0 = a²−3a+2 → (a−1)(a−2) = 0 → a = 1、2

ポイント この型の2大操作:「微分して f を出す」「x = a を代入して a を出す」— 順不同でどちらも実行する。a が2つ出てもどちらも正解(検算:a = 1 でも 2 でも右辺が x = a で 0 になる ○)。

解答
y' = 2x より、点 (1, 1) における接線 ℓ は y = 2(x−1)+1 = 2x−1
放物線と接線の差は x²−(2x−1) = (x−1)² ≧ 0 なので、放物線が常に上。
y 軸(x = 0)から接点(x = 1)までの間で
S = ∫[0→1] (x−1)² dx = [(x−1)³/3] を 0 から 1 まで = 0−(−1/3) = 1/3

ポイント 放物線と接線の差は必ず (x−接点)² の形(接するから重解)— この完全平方が積分を一瞬にする。∫(x−1)²dx は展開せず「(x−1)³/3」とそのまま積分(平行移動の感覚)。

解答
x³−4x = x(x+2)(x−2) より、x 軸との交点は x = −2、0、2。
−2 ≦ x ≦ 0 では y ≧ 0(例:x = −1 で 3)、0 ≦ x ≦ 2 では y ≦ 0。
S = ∫[−2→0] (x³−4x)dx+{−∫[0→2] (x³−4x)dx}
∫[0→2] (x³−4x)dx = [x⁴/4−2x²] = 4−8 = −4
∫[−2→0] (x³−4x)dx = 0−(4−8) = 4
よって S = 4+4 = 8

ポイント 上下が入れ替わる図形は「交点で区間を切って、下側の区間はマイナス」— まとめて −2 から 2 まで積分すると 0 になってしまう(奇関数!)のが本問の罠。原点対称なグラフなので「片側 ×2」の時短も効く。

解答
放物線 y = x² と直線 y = k(k > 0)の交点は x = ±√k。囲む面積は
∫[−√k→√k] (k−x²)dx = 1/6 公式より {2√k}³/6 = (4/3)k√k
k = 4 のとき全体の面積は (4/3)×4×2 = 32/3
2等分の条件は「y = k より下の部分 = 全体の半分」:
(4/3)k√k = (1/2)×(32/3) = 16/3
k√k = 4 → k^(3/2) = 4 → k = 4^(2/3) = 2 ³√2

ポイント 「放物線と水平線の囲む面積 = (4/3)k√k」を k の関数として立式するのが核心 — 面積が k^(3/2) に比例する(横幅 √k × 高さ k の相似拡大)。答えの 2³√2(= ³√16 ≒ 2.52)が 0 < k < 4 に収まることを確認して締める。

解答
① f'(x) = 3x²−3(ア = 3、イ = 3)
② f'(x) = 3(x+1)(x−1) = 0 より x = −1、1。増減表から
x = −1 のとき極大値 f(−1) = −1+3+2 = 4
x = 1 のとき極小値 f(1) = 1−3+2 = 0
(ウエ = −1、オ = 4、カ = 1、キ = 0)
③ 傾きは f'(0) = −3。点 (0, 2) を通るから
y = −3x+2(ク = 3、ケ = 2)
④ 方程式 f(x) = k の実数解の個数は、曲線 y = f(x) と直線 y = k の共有点の個数。
3個となるのは、y = k が極小値と極大値の間にあるとき:
0 < k < 4(コ = 0、サ = 4)

ポイント
• ④の境目は必ず②の極値 — 「前の設問の答えは後の設問の部品」という共通テストの誘導原理。k = 0、4(端)のときは接して2個、外側は1個、と全分類も頭の中で確認。
• 極小値が 0 ということは、グラフが x = 1 で x 軸に接するということ(実際 f(x) = (x−1)²(x+2) と因数分解できる)— 因数分解による検算 f(1) = 0、f(−2) = 0 まで見えると盤石。

解答
① x²−4x+3 = (x−1)(x−3) = 0 より x = 1、3(ア = 1、イ = 3)
② 1 ≦ x ≦ 3 で C は x 軸の下側。面積は 1/6 公式で
S = |1|×(3−1)³/6 = 8/6 = 4/3(ウ = 4、エ = 3)
③ y' = 2x−4 より、x = 0 での傾きは −4。点 (0, 3) を通るから
ℓ:y = −4x+3(オ = 4、カ = 3)
④ C と ℓ の差:(x²−4x+3)−(−4x+3) = x²
よって C は ℓ の上側にあり(下に凸の放物線は接線の上)、接点 x = 0 から x = 2 までで
S = ∫[0→2] x² dx = [x³/3] を 0 から 2 まで = 8/3(キ = 8、ク = 3)

ポイント
• ②は「下側だからマイナス」を 1/6 公式が吸収してくれる(公式は面積を直接与える)— 定積分で書くなら −∫1→3dx。
• ④の「差 = (x−0)²」は偶然ではなく必然(接する ⇔ 重解)。囲む区間の左端が「交点」ではなく接点である点、右端が指定された直線 x = 2 である点 — 図を描いて領域の輪郭を確定してから積分する、という面積問題の作法の総仕上げ。

解答
初項 a、公差 d とすると
a+2d = 10、a+6d = 22
辺々引いて 4d = 12 → d = 3、a = 4
よって aₙ = 4+(n−1)×3 = 3n+1

ポイント 条件2つ → 初項と公差の連立方程式、が等差の決定の定型。求めた一般項は必ず条件の項に代入して検算する(a₃ = 3×3+1 = 10 ○、a₇ = 3×7+1 = 22 ○)— この10秒の儀式が転記ミスを拾う。

解答
初項 a、公差 d とすると a+3d = 20、a+9d = 2。
辺々引いて 6d = −18 → d = −3、a = 29。
よって aₙ = 29+(n−1)×(−3) = 32−3n。
aₙ < 0 ⇔ 32−3n < 0 ⇔ n > 10.67… だから、初めて負になるのは 第11項(a₁₁ = −1)。

ポイント 決定は連立、が定石(A1-1 と同型)。「初めて負」は不等式 aₙ < 0 を解いて自然数で答える — 本章 B1(和の最大)や第5章(桁数)と同じ、境目を不等式で押さえる型。

解答
① S = 10×(5+41)/2 = 230
② Sₙ = n{2×2+(n−1)×3}/2 = n(3n+1)/2 → Sₙ = n(3n+1)/2

ポイント 和の公式は2本:「(項数)×(初項+末項)÷2」(末項が分かるとき)と「n{2a+(n−1)d}/2」(公差で書くとき)。①は台形の面積のイメージで暗算できる。

解答
初項 3、公差 4 だから
Sₙ = n{2×3+(n−1)×4}/2 = n(4n+2)/2 = n(2n+1)
n(2n+1) = 210 とすると 2n²+n−210 = 0
(n−10)(2n+21) = 0 → n = 10、−21/2
n は自然数だから n = 10
(検算:S₁₀ = 10×21 = 210 ○)

ポイント 和の公式に当てはめて n の2次方程式に落とす(A2-1 と同型)。たすき掛けが見えなくても、Sₙ は増加列なので S₉ = 171、S₁₀ = 210 と実験すれば届く。n は自然数なので負・分数の解は必ず捨てる — この「解の吟味」の一言まで書いて完答。

解答
初項 a、公比 r とすると ar = 6、ar⁴ = 48
辺々割って r³ = 8 → r = 2、a = 3
よって aₙ = 3×2ⁿ⁻¹

ポイント 等比の決定は「割って公比のべきだけにする」— ar⁴÷ar = r³ で a が消える。r³ = 8 の実数解は 2 のみ(第2章の知識)。

解答
初項 a、公比 r とすると ar = −6、ar³ = −54。
辺々割って r² = 9 → r = ±3。
(i) r = 3 のとき a = −2 → aₙ = −2×3ⁿ⁻¹
(ii) r = −3 のとき a = 2 → aₙ = 2×(−3)ⁿ⁻¹
よって aₙ = −2×3ⁿ⁻¹ または aₙ = 2×(−3)ⁿ⁻¹。

ポイント A3-1 と違い r² = 9 は2つの実数解 ±3 をもつ — 偶数乗だと公比が2通りになり、答えも2組。「割って公比のべきにする」手順は同じでも、べきが偶数か奇数かで解の個数が変わる点に注意。

解答
Sₙ = 3(2ⁿ−1)/(2−1) = 3(2ⁿ−1)

ポイント 公式 Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1)。指数は n(n−1 ではない)— 「項数の分だけ掛かる」と覚える。r = 1 のときは公式が使えず Sₙ = na、の場合分けも頭の隅に(文字の公比で問われる)。

解答
Sₙ = 4{1−(1/2)ⁿ}/(1−1/2) = 4×{1−(1/2)ⁿ}÷(1/2) = 8{1−(1/2)ⁿ} = 8−8×(1/2)ⁿ。
(別の書き方:8−(1/2)ⁿ⁻³ でもよい)

ポイント 公比が 1 未満(分数)でも公式は同じ。分母が 1−r = 1/2 になるので「÷(1/2) = ×2」で処理。n を大きくすると (1/2)ⁿ → 0 で和が 8 に近づく(無限級数の入り口)— 数III で回収される感覚。

解答
① 2×n(n+1)/2+n = n²+n+n = n²+2n = n(n+2)
② 3×n(n+1)(2n+1)/6−n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+1)/2−n(n+1)/2
= n(n+1){(2n+1)−1}/2 = n(n+1)×2n/2 = n²(n+1)

ポイント 手順:「項ごとに分ける → 3公式を代入 → 共通因数でくくって整理」。②のように n(n+1)/2 でくくると計算が軽く、答えも美しく畳まれる。検算:n = 1 を代入(① 3 = 1×3 ○、② 2 = 1×2 ○)。

解答
① n(n+1)(2n+1)/6+3×n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+1)/6+9n(n+1)/6
= n(n+1){(2n+1)+9}/6 = n(n+1)(2n+10)/6 = n(n+1)(n+5)/3
② Σ(k²+2k) = n(n+1)(2n+1)/6+2×n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+1)/6+6n(n+1)/6
= n(n+1)(2n+7)/6 → n(n+1)(2n+7)/6

ポイント ②はまず展開して k²+2k にしてから公式(A5-1 と同型)。①のように n(n+1) でくくって整理すると美しく畳める。検算は n = 1 代入(① 1×2×6/3 = 4 = 1+3 ○、② 1×2×9/6 = 3 = 1×3 ○)。

解答
階差をとると 1, 3, 5, 7, … → 階差数列 bₖ = 2k−1
n ≧ 2 のとき
aₙ = a₁+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ (2k−1) = 1+{2×(n−1)n/2−(n−1)} = 1+(n−1)²
= n²−2n+2
n = 1 のとき n²−2n+2 = 1 = a₁ となり成立。
よって aₙ = n²−2n+2(すべての n)

ポイント 「差に規則が見える → 階差」。公式の上端は n−1(aₙ までに足す差は n−1 個)— Σ の公式の n をすべて n−1 に置き換える。最後の n = 1 の確認は儀式ではなく論理の要求(公式は n ≧ 2 でしか導けていない)。

解答
階差をとると 1, 3, 5, 7, … → 階差数列 bₖ = 2k−1。
n ≧ 2 のとき aₙ = a₁+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ (2k−1) = 2+(n−1)² = n²−2n+3。
n = 1 のとき n²−2n+3 = 2 = a₁ となり成立。よって aₙ = n²−2n+3。

ポイント A6-1(初項が 1)と階差は同じ 2k−1 だが、初項が 2 なので答えの定数項がずれる。「階差 → Σ(上端 n−1)→ n = 1 の確認」の手順は不変 — 初項の違いが結果にどう効くかを A6-1 と見比べる。

解答
a₁ = S₁ = 1+2 = 3
n ≧ 2 のとき
aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = (n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)} = 2n+1
n = 1 のとき 2n+1 = 3 = a₁ となり成立。
よって aₙ = 2n+1

ポイント 「Sₙ から aₙ」は aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁(n ≧ 2)と a₁ = S₁ の2本立て — Sₙ₋₁ は n ≧ 2 でないと意味をもたないから。本問は n = 1 も統合できたが、Sₙ に定数項があると統合できない(a₁ だけ別)のが定番の出題ポイント。

解答
a₁ = S₁ = 1+3+1 = 5。
n ≧ 2 のとき aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = (n²+3n+1)−{(n−1)²+3(n−1)+1} = 2n+2。
n = 1 のとき 2n+2 = 4 ≠ 5 = a₁ なので、統合できない。
よって a₁ = 5、n ≧ 2 のとき aₙ = 2n+2。

ポイント A7-1 と違い Sₙ に定数項 +1 があるため a₁ だけ別扱いになる典型例。Sₙ = Sₙ₋₁+aₙ の関係は n ≧ 2 でしか使えないので、a₁ は必ず S₁ から直接求める。「n = 1 で一致しない → 場合分けして答える」まで書き切る。

解答
① 公差 3 の等差数列:aₙ = 2+(n−1)×3 = 3n−1
② 公比 3 の等比数列:aₙ = 5×3ⁿ⁻¹

ポイント 漸化式は「隣どうしの関係式」— まず「+定数なら等差、×定数なら等比」の2大基本形を瞬時に見分ける。すべての漸化式攻略は、この2形(と階差型)への帰着が目標になる(B4 へ)。

解答
aₙ₊₁−aₙ = 2n だから、階差数列が bₙ = 2n の階差型。
n ≧ 2 のとき aₙ = a₁+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2k = 1+2×(n−1)n/2 = 1+n(n−1) = n²−n+1。
n = 1 のとき n²−n+1 = 1 = a₁ となり成立。よって aₙ = n²−n+1。

ポイント aₙ₊₁ = aₙ+(n の式)は階差型(A6 と同じ処理)。「+定数」なら等差だが「+2n」のように n を含むと階差数列になる — A8-1 の2大基本形に対し、こちらは階差への帰着。漸化式は「どの型か」の見極めがすべて。

解答
aₙ = 50+(n−1)×(−4) = 54−4n
aₙ > 0 ⇔ 54−4n > 0 ⇔ n < 13.5
よって a₁₃ = 2 > 0、a₁₄ = −2 < 0 — 第13項までが正。
Sₙ が最大となるのは n = 13 のときで
S₁₃ = 13×(50+2)/2 = 13×26 = 338

ポイント 「Sₙ を n の2次式にして頂点」でも解けるが(Sₙ = −2n²+52n、軸 n = 13)、項の符号で判断する方が速く、意味も明快(「負の項を足したら減るだけ」)。n は自然数なので頂点が整数かの確認も本来必要 — 符号方式ならその心配がない。

解答
aₙ = −30+(n−1)×4 = 4n−34。
aₙ < 0 ⇔ 4n−34 < 0 ⇔ n < 8.5 だから、第8項までが負(a₈ = −2 < 0、a₉ = 2 > 0)。
Sₙ が最小となるのは n = 8 のときで
S₈ = 8×(−30+(−2))/2 = 8×(−16) = −128。

ポイント 「公差が正 → 負の項を足す間は和が減り続ける → 正に転じる直前が最小」。B1-1(公差負・最大)と完全に対称。境目 aₙ = 0 の前後を1項ずつ確認する丁寧さが要。

解答
1/{k(k+1)} = 1/k−1/(k+1) と分解できる(通分して確認)。
Σₖ₌₁ⁿ 1/{k(k+1)} = (1/1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))
途中がすべて打ち消し合い、最初と最後だけが残って
= 1−1/(n+1) = n/(n+1)

ポイント 分解の作り方は第1章 A5-2(部分分数分解)そのもの — 恒等式の技術が数列で回収される。「残るのは両端だけ」を必ず数項書き出して視覚的に確認(k = 1、2 と k = n を書けば十分)。検算:n = 1 で 1/2 ○。

解答
1/{(2k−1)(2k+1)} = (1/2){1/(2k−1)−1/(2k+1)} と分解できる。
Σₖ₌₁ⁿ = (1/2){(1/1−1/3)+(1/3−1/5)+…+(1/(2n−1)−1/(2n+1))}
= (1/2){1−1/(2n+1)} = (1/2)×2n/(2n+1) = n/(2n+1)。

ポイント B2-1(隣接2数)との違いは、差が 2 なので分解に 係数 1/2 が付くこと(通分すると分子が (2k+1)−(2k−1) = 2 になるため)。望遠鏡和で途中が消える構造は同じ。検算 n = 1 で 1/3 ○。

解答
S = 1×1+2×2+3×2²+…+n×2ⁿ⁻¹
両辺に公比 2 を掛けて
2S = 1×2+2×2²+…+(n−1)×2ⁿ⁻¹+n×2ⁿ
辺々引くと(桁をそろえて縦に引く)
S−2S = (1+2+2²+…+2ⁿ⁻¹)−n×2ⁿ
−S = (2ⁿ−1)−n×2ⁿ
S = n×2ⁿ−2ⁿ+1 = (n−1)×2ⁿ+1

ポイント 引き算のとき指数の等しい項どうしが縦に並ぶようにずらして書くのが事故防止の要 — 残るのは「等比数列の和」と「最後の項」だけ。検算:n = 2 で S = 1+4 = 5、(2−1)×4+1 = 5 ○。

解答
S = 1+3x+5x²+…+(2n−1)xⁿ⁻¹
xS = x+3x²+…+(2n−3)xⁿ⁻¹+(2n−1)xⁿ
辺々引くと
S−xS = 1+2x+2x²+…+2xⁿ⁻¹−(2n−1)xⁿ
(1−x)S = 1+2(x+x²+…+xⁿ⁻¹)−(2n−1)xⁿ
x+x²+…+xⁿ⁻¹ = x(1−xⁿ⁻¹)/(1−x) を代入し、両辺に 1−x を掛けて整理すると
(1−x)²S = (1−x)+2x(1−xⁿ⁻¹)−(2n−1)xⁿ(1−x)
= 1+x−(2n+1)xⁿ+(2n−1)xⁿ⁺¹
よって S = {1+x−(2n+1)xⁿ+(2n−1)xⁿ⁺¹}/(1−x)²
(検算:n = 1 では分子 = 1−2x+x² = (1−x)² となり S = 1 ○。x = 2、n = 2 では S = 1+3×2 = 7、式でも (3−20+24)/1 = 7 ○)

ポイント B3-1 は公比が具体値 2 だったが、本問は文字 x。手順(S−xS をずらして引く)は不変で、途中の等比数列の和を公式で処理し、分母が (1−x)² になる形まで整理するのが標準(等比の和の分母 1−x がもう一度掛かるため2乗が現れる)。なお x = 1 のときは S = 1+3+…+(2n−1) = n²(B5-1 の等式)— 場合分けの先がつながっている。

解答
特性方程式 α = 2α+1 を解いて α = −1。
漸化式から辺々引くと
aₙ₊₁−(−1) = 2{aₙ−(−1)} すなわち aₙ₊₁+1 = 2(aₙ+1)
よって数列 {aₙ+1} は初項 a₁+1 = 2、公比 2 の等比数列:
aₙ+1 = 2×2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ
aₙ = 2ⁿ−1

ポイント 変形の検算:aₙ₊₁+1 = 2aₙ+2 = 2(aₙ+1) ○(展開して元の漸化式に戻るか)。答えの検算:a₁ = 1、a₂ = 3、a₃ = 7 を漸化式(2×1+1 = 3、2×3+1 = 7)と一般項の両方で ○。「おき換えた数列 {aₙ+1} の初項は a₁+1」 — 初項の変換忘れが最頻出ミス。

解答
特性方程式 α = 3α−4 を解いて α = 2。
漸化式から辺々引くと aₙ₊₁−2 = 3(aₙ−2)。
よって {aₙ−2} は初項 a₁−2 = 0、公比 3 の等比数列。
初項が 0 なので、すべての n で aₙ−2 = 0、すなわち aₙ = 2(定数列)。

ポイント 特性方程式の解 α = 2 がちょうど初項 a₁ = 2 と一致するため、{aₙ−2} がすべて 0 の等比数列になり、数列は定数列。「a₁ = α のときは定数列になる」という特別ケース — 検算:3×2−4 = 2 ○(確かに 2 のまま)。B4-1 と同じ手順で、初項の値次第でこうなることを確認。

解答
《証明》
(i) n = 1 のとき:左辺 = 1、右辺 = 1² = 1 で成り立つ。
(ii) n = k のとき成り立つ、すなわち
1+3+5+…+(2k−1) = k² …(※)
と仮定する。n = k+1 のとき、左辺は
1+3+5+…+(2k−1)+(2k+1) = k²+(2k+1)((※)を用いた)
= (k+1)²
となり、右辺と一致する。よって n = k+1 のときも成り立つ。
(i)、(ii)より、すべての自然数 n について等式は成り立つ。∎

ポイント (ii) の核心は「仮定(※)をどこで使ったかを明示する」こと — 使っていなければ帰納法になっていない。ゴール (k+1)² を先に見据えて、k²+2k+1 への変形を逆算する。締めの「(i)、(ii)より…」の一文まで含めて定型フォーマット。

解答
《証明》
(i) n = 1 のとき:左辺 = 1、右辺 = 1×2×3/6 = 1 で成り立つ。
(ii) n = k のとき成り立つ、すなわち 1²+…+k² = k(k+1)(2k+1)/6 …(※) と仮定する。
n = k+1 のとき、左辺は
1²+…+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)² ((※)を用いた)
= (k+1){k(2k+1)+6(k+1)}/6 = (k+1)(2k²+7k+6)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6
これは右辺の n に k+1 を代入した (k+1)(k+2)(2k+3)/6 と一致する。
よって n = k+1 のときも成り立つ。
(i)、(ii)より、すべての自然数 n について等式は成り立つ。∎

ポイント B5-1 より変形が重いが骨格は同じ。核心は (k+1) でくくってから 2k²+7k+6 = (k+2)(2k+3) と因数分解し、目標の形(n → k+1)に一致させること。ゴールを先に書き出しておくと変形の着地点が明確になる。

解答
① a₁+2d = 8、a₁+6d = 20 → d = 3、a₁ = 2
aₙ = 3n−1(ア = 3、イ = 1)
② Sₙ = n{2×2+(n−1)×3}/2 = n(3n+1)/2(ウ = 3、エ = 1)
③ bₙ = 2^(3n−1)。b₁ = 2² = 4
bₙ₊₁/bₙ = 2^(3n+2)/2^(3n−1) = 2³ = 8 — 初項 4、公比 8 の等比数列(オ = 4、カ = 8)
④ 等比数列の和の公式より
Σₖ₌₁ⁿ bₖ = 4(8ⁿ−1)/(8−1) = 4(8ⁿ−1)/7(キ = 7)

ポイント
• ③の一般法則:「{aₙ} が等差(公差 d)⇔ {r^(aₙ)} は等比(公比 r^d)」— 指数が足し算を掛け算に変える(第5章の対数と表裏の関係)。
• 検算:b₂ = 2⁵ = 32 = 4×8 ○。④は n = 1 で 4 = 4(8−1)/7 ○。

解答
① a₂ = 2×3−2 = 4、a₃ = 2×4−2 = 6(ア = 4、イ = 6)
② 特性方程式 α = 2α−2 より α = 2。
bₙ = aₙ−2 とおくと
bₙ₊₁ = aₙ₊₁−2 = (2aₙ−2)−2 = 2(aₙ−2) = 2bₙ
b₁ = a₁−2 = 1(ウ = 2、エ = 2、オ = 1)
③ {bₙ} は初項 1、公比 2 の等比数列だから bₙ = 2^(n−1)
よって aₙ = 2ⁿ⁻¹+2(カ = 1、キ = 2)
④ Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ (2^(k−1)+2) = (2ⁿ−1)+2n = 2ⁿ+2n−1(ク = 1)

ポイント
• ①の具体値は最終検算の物差し:③の一般項で a₂ = 2+2 = 4 ○、a₃ = 4+2 = 6 ○、④で n = 2 のとき S₂ = 4+4−1 = 7 = 3+4 ○ — マーク式は各段で数値検算を回すのが最強の防御。
• ④は「等比部分の和 2ⁿ−1」+「定数部分の和 2n」に分けて足す — Σ の線形性(A5)の実戦適用。

解答
分布表:

X	0	1	2
P	1/4	1/2	1/4

(確率の合計 = 1 ○)
E(X) = 0×1/4+1×1/2+2×1/4 = 1
E(X²) = 0+1×1/2+4×1/4 = 3/2
V(X) = E(X²)−{E(X)}² = 3/2−1 = 1/2
σ(X) = √(1/2) = √2/2

ポイント 「分布表 → 合計1の検算 → E → V = E(X²)−(E(X))²」の一本道。分散の公式は第1巻第5章と同一 — 「データの平均」が「確率の重みつき平均」に変わっただけ。

解答
各目 1〜6 が確率 1/6 で出る。
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2
E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6
V(X) = E(X²)−{E(X)}² = 91/6−49/4 = 182/12−147/12 = 35/12
σ(X) = √(35/12) = √105/6

ポイント さいころの目の期待値 7/2、分散 35/12 は基本値(第1巻第6章の期待値とも接続)。手順は A1-1 と同じ「E → E(X²) → V = E(X²)−(E(X))²」。通分を丁寧に。

解答
E(Y) = 3×5−4 = 11
σ(Y) = |3|×2 = 6
V(Y) = 6² = 36

ポイント 平均は式にそのまま代入、散らばりは「×a」だけが効く(+b は無関係)、分散は a² 倍 — 第1巻第5章 B1 の3点セットが確率変数でもそのまま成立。

解答
E(Y) = −2×10+5 = −15
V(Y) = (−2)²×9 = 4×9 = 36
σ(Y) = |−2|×√9 = 2×3 = 6

ポイント A2-1 と同型。分散は a² 倍(負の a でも正)、標準偏差は |a| 倍。+5 は平均だけに効き、散らばりには無関係 — 符号 a = −2 が分散では消える点を確認。

解答
① E(X+Y) = 2+3 = 5
② 独立なので V(X+Y) = 1+4 = 5
③ 独立なので E(XY) = 2×3 = 6

ポイント 期待値の和は無条件、分散の和と期待値の積は「独立」が条件 — この差が最重要。答案では「X と Y は独立だから」の一言を添えてから②③の公式を使う。

解答
E(Z) = E(X)−E(Y) = 4−1 = 3
Z = X+(−Y) と見る。V(−Y) = (−1)²V(Y) = 3。X と Y は独立だから
V(Z) = V(X)+V(−Y) = 2+3 = 5

ポイント 差でも分散は「足す」(引くのではない)— V(X−Y) = V(X)+V(Y)。理由は −Y の分散が (−1)² 倍で V(Y) のままだから。A3-1 の「独立なら分散は和」を差の場合に適用する頻出型。

解答
X は二項分布 B(180, 1/6) に従う。
E(X) = 180×1/6 = 30
V(X) = 180×(1/6)×(5/6) = 25
σ(X) = √25 = 5

ポイント 「同じ試行を n 回、確率 p で起こる回数」と読めたら B(n, p) — 公式 np、npq に当てはめるだけで、第1巻の反復試行の計算(₁₈₀C₃₀…)を一切せずに平均と散らばりが分かる。これが分布で考えるご利益。

解答
X は二項分布 B(100, 0.8) に従う(q = 0.2)。
E(X) = 100×0.8 = 80
V(X) = 100×0.8×0.2 = 16
σ(X) = √16 = 4

ポイント A4-1 と同型で np、npq に代入するだけ。V = npq の q = 1−p = 0.2 を忘れない。0.8×0.2 = 0.16、×100 = 16 と、標準偏差が整数になるよう作られている(B(n, p) の定番設定)。

解答
Z = (X−50)/10 と標準化する。
① X = 50 のとき Z = 0、X = 70 のとき Z = 2
P(50 ≦ X ≦ 70) = P(0 ≦ Z ≦ 2) = 0.4772
② P(X ≧ 70) = P(Z ≧ 2) = 0.5−0.4772 = 0.0228

ポイント 正規分布の確率はすべて「標準化 → 表を読む」の2手。表は「0 から z まで」の面積なので、右すそ(≧)は 0.5 から引く、左右対称の性質で負の側も処理 — 図(釣り鐘の面積)を毎回描いて確認。

解答
Z = (X−60)/8 と標準化する。
X = 52 のとき Z = −1、X = 76 のとき Z = 2。
P(52 ≦ X ≦ 76) = P(−1 ≦ Z ≦ 2) = P(0 ≦ Z ≦ 1)+P(0 ≦ Z ≦ 2)
= 0.3413+0.4772 = 0.8185

ポイント 平均をまたぐ区間(Z = −1 から 2)は、左右に分けて足す:P(−1≦Z≦0) = P(0≦Z≦1)(対称性)と P(0≦Z≦2) の和。A5-1 の「右すそは 0.5 から引く」と合わせ、標準化後は必ず面積の図で場合を判断する。

解答
E(X̄) = 50(母平均と同じ)
σ(X̄) = 20/√100 = 2

ポイント 標本平均の要点は「中心は母平均のまま、散らばりは √n 分の 1 に縮む」— 100 個の平均をとれば偶然のブレは 1/10 になる。この縮小こそが推定・検定の土台。

解答
E(X̄) = 30(母平均と同じ)
σ(X̄) = 12/√36 = 12/6 = 2

ポイント A6-1 と同型。σ(X̄) = σ/√n で、√36 = 6 により標準偏差が 1/6 に縮む。標本サイズ n を大きくとるほど平均のブレが小さくなる — この一点が推定・検定のすべての根拠。

解答
σ(X̄) = 10/√100 = 1
信頼度 95% の信頼区間は
165−1.96×1 ≦ m ≦ 165+1.96×1
163.04 ≦ m ≦ 166.96

ポイント 公式は「x̄ ± 1.96×σ/√n」の1本。1.96 は「標準正規分布で中央 95% を切り取る幅」(0.475×2 = 0.95)から来る数 — 由来ごと覚えると信頼度 99%(2.58)への変更にも対応できる。

解答
σ(X̄) = 15/√225 = 15/15 = 1
信頼区間は 48−1.96×1 ≦ m ≦ 48+1.96×1、すなわち
46.04 ≦ m ≦ 49.96

ポイント A7-1 と同型で「x̄ ± 1.96×σ/√n」。√225 = 15 で σ/√n = 1 となる設定。区間の幅は 2×1.96 = 3.92。n を4倍にすると √n が2倍になり、区間幅が半分になる — 精度と標本数の関係も意識。

解答
X を 1 の目の回数とすると X は B(720, 1/6) に従う。
E(X) = 720×1/6 = 120、V(X) = 720×(1/6)×(5/6) = 100、σ(X) = 10
よって X は近似的に正規分布 N(120, 10²) に従う。
Z = (X−120)/10 と標準化すると、X = 100 のとき Z = −2
P(X ≦ 100) = P(Z ≦ −2) = 0.5−P(0 ≦ Z ≦ 2) = 0.5−0.4772 = 0.0228

ポイント 「回数の確率で n が数百」= 正規近似の合図(二項分布の直接計算は不可能)。平均と σ を先に確定させれば、あとは A5 と同じ標準化の作業。答えの 2.28% は「平均から 2σ 下より外」の面積 — 位置の感覚も持つ。

解答
X を発芽個数とすると X は B(400, 0.8) に従う。
E(X) = 400×0.8 = 320、V(X) = 400×0.8×0.2 = 64、σ(X) = 8。
よって X は近似的に N(320, 8²) に従う。
Z = (X−320)/8 より、X = 336 のとき Z = 2。
P(X ≧ 336) = P(Z ≧ 2) = 0.5−0.4772 = 0.0228

ポイント B1-1 と同じ3段(平均・分散を出す → 正規近似 → 標準化)。σ = √64 = 8 が整数になる設定。336 は平均 320 より 2σ(= 16)上なので、右すその 2.28% — 位置と数値が一致する。

解答
X̄ は近似的に正規分布 N(60, 2²) に従う(σ(X̄) = 20/√100 = 2)。
Z = (X̄−60)/2 と標準化すると、X̄ = 63 のとき Z = 1.5
P(X̄ ≧ 63) = P(Z ≧ 1.5) = 0.5−0.4332 = 0.0668

ポイント 標準化の分母は σ = 20 ではなく σ/√n = 2 — 「個々の値の話か、平均の話か」で分母が変わるのが本章最大の注意点。X̄ の分布を1行書いてから Z を作る習慣で事故を防ぐ。

解答
σ(X̄) = 60/√144 = 60/12 = 5。よって X̄ は近似的に N(500, 5²) に従う。
Z = (X̄−500)/5 より、X̄ = 490 のとき Z = −2。
P(X̄ ≦ 490) = P(Z ≦ −2) = 0.5−0.4772 = 0.0228

ポイント B2-1 と同型。標準化の分母は母標準偏差 60 ではなく σ/√n = 5。√144 = 12 の設定で分母が整数に。左すそ(Z ≦ −2)は対称性で 0.5−0.4772。

解答
標本比率 p̂ = 80/100 = 0.8
√(p̂(1−p̂)/n) = √(0.8×0.2/100) = √0.0016 = 0.04
信頼度 95% の信頼区間は
0.8−1.96×0.04 ≦ p ≦ 0.8+1.96×0.04
0.8−0.0784 ≦ p ≦ 0.8+0.0784
0.72 ≦ p ≦ 0.88

ポイント √ の中は「p̂(1−p̂)÷n」— 分散 p(1−p) を n で割る(標本平均の縮小と同じ理屈)。0.8×0.2 = 0.16 のようなきれいな積になる設定が多いので、√ を恐れず計算する。区間の意味は「この方法で区間を作ると、100回中95回は真の p を含む」。

解答
標本比率 p̂ = 24/400 = 0.06。
√(p̂(1−p̂)/n) = √(0.06×0.94/400) = √(0.0564/400) = √0.000141 ≒ 0.0119。
信頼区間は 0.06±1.96×0.0119 = 0.06±0.0233、すなわち
0.037 ≦ p ≦ 0.083

ポイント B3-1 と同型で「p̂ ± 1.96×√(p̂(1−p̂)/n)」。√ の中は p̂(1−p̂)÷n。不良率のように p̂ が小さい場合も手順は不変。√ の値は試験では与えられることも多いので、与えられた数値を丁寧に代入する。

解答
帰無仮説:m = 200(対立仮説:m ≠ 200)
帰無仮説のもとで、X̄ は近似的に N(200, 0.8²) に従う(σ(X̄) = 8/√100 = 0.8)。
Z = (198−200)/0.8 = −2.5
|Z| = 2.5 > 1.96 なので、Z は棄却域に入る。 よって帰無仮説は棄却され、「内容量は表示と異なるといえる」。

ポイント 「異なるか」→ 多すぎも少なすぎも問題 → 両側検定(棄却域が両すそ)。標準化の分母はここでも σ/√n = 0.8(B2 の注意の再演)。結論は「異なるといえる」— 検定の言葉づかい(いえる/いえない)まで含めて型。

解答
帰無仮説:m = 1000(対立仮説:m ≠ 1000)。
帰無仮説のもとで X̄ は近似的に N(1000, 5²) に従う(σ(X̄) = 40/√64 = 40/8 = 5)。
Z = (1015−1000)/5 = 3。
|Z| = 3 > 1.96 なので棄却域に入り、帰無仮説は棄却される。 よって「寿命は表示と異なるといえる」。

ポイント B4-1 と同型。標準化の分母は σ/√n = 5(√64 = 8)。「異なる」なので両側(|Z| と 1.96 を比較)。Z = 3 は棄却域の内側深くにあり、判断は明確。

解答
帰無仮説:p = 1/6(対立仮説:p > 1/6)
帰無仮説のもとで、X は近似的に N(120, 10²) に従う(B1 と同じ計算)。
Z = (150−120)/10 = 3
Z = 3 > 1.64 なので、Z は棄却域に入る。
よって帰無仮説は棄却され、「1 の目が出やすいといえる」。

ポイント 両側(≠ を疑う:|Z| > 1.96)か片側(> だけを疑う:Z > 1.64)かは、問題文の主張の向きで決まる — 「異なる」なら両側、「大きい/出やすい」なら片側。第1巻第5章 B4-1(コインの表)と同じ問いが、正規分布という新しい道具で厳密に解けるようになった — 2冊をつなぐ到達点。

解答
帰無仮説:p = 0.6(対立仮説:p > 0.6)。
帰無仮説のもとで X は B(100, 0.6) に従い、
E(X) = 60、σ(X) = √(100×0.6×0.4) = √24 = 2√6。
X は近似的に N(60, (2√6)²) に従うから
Z = (72−60)/(2√6) = 6/√6 = √6 ≒ 2.45。
Z ≒ 2.45 > 1.64 なので棄却域に入り、帰無仮説は棄却される。
よって「成功率が高いといえる」。

ポイント B5-1 と同型。「高い」の一方向なので片側(Z > 1.64)。σ = 2√6 が整数にならない設定では、Z = 6/√6 = √6 と厳密値のまま約分してから近似する — 丸め誤差が入らず、6 > 1.64² = 2.69 だから √6 > 1.64 は近似なしでも確定する。棄却域との比較で結論は明確。

解答
① Z = (210−200)/5 = 2
P(X ≧ 210) = 0.5−0.4772 = 0.0228(アイウ = 228)
② σ(X̄) = 5/√100 = 0.5 g(エ = 0、オ = 5)
③ Z = (201−200)/0.5 = 2
P(X̄ ≧ 201) = 0.5−0.4772 = 0.0228 — ①と等しい ○
④ 信頼区間は 199±1.96×0.5 = 199±0.98
198.02 ≦ m ≦ 199.98(カ = 8、キ = 2、ク = 9、ケ = 8)

ポイント
• ①と③の対比が核心:個々の製品は ±10 g ずれても珍しくないが、100 個の平均が 1 g ずれるのは同じくらい珍しい(どちらも 2σ)— √n の縮小の意味を数値で体感する。
• ④の区間は 200 を含まない — もし帰無仮説 m = 200 を両側 5% で検定すれば棄却される(Z = −2、|Z| > 1.96)ことと表裏一体。「95% 信頼区間に入らない ⇔ 有意水準 5% の両側検定で棄却」という対応まで見えると一段上。

解答
(1)
① p̂ = 144/400 = 0.36(アイ = 36)
② √(p̂(1−p̂)/n) = √(0.36×0.64/400) = 0.48/20 = 0.024
信頼区間は 0.36±1.96×0.024 = 0.36±0.04704
0.31296 ≦ p ≦ 0.40704 → 小数第2位までで 0.31 ≦ p ≦ 0.41(ウエ = 31、オカ = 41)
(2) 帰無仮説:p = 0.5(対立仮説:p > 0.5)
表の回数 X は B(400, 0.5) に従い、
E(X) = 200、σ(X) = √(400×0.5×0.5) = 10
X は近似的に N(200, 10²) に従うから
Z = (224−200)/10 = 2.4(キ = 2、ク = 4)
Z = 2.4 > 1.64 なので棄却域に入り、帰無仮説は棄却される。
よって表が出やすいと「(あ) いえる」(ケ = (あ))

ポイント
• (1)② の √(0.36×0.64) = 0.6×0.8 = 0.48 — √ の中を積のまま分解すると暗算で済む(0.36 = 0.6²、0.64 = 0.8²)。
• (2) の σ = √(npq) = 10 のような「n = 400、p = 0.5」の設定は計算が整うよう作られている — 数値が汚くなったら立式を疑う、という試験場のセンサーも持っておく。両側なら 1.96 と比べても 2.4 > 1.96 で結論は同じだが、問いの向き(出やすいか)に合わせて片側を選ぶのが正式。