Q1:× — 摩擦は電子の引っ越しを起こすだけ(電荷保存則)。ガラス棒が正になるのは電子が絹へ移ったから — 絹は同じ量だけ負に帯電している。

Q2:(a) — 電場は「+1 C の受ける力」で定義。負電荷はその逆向きに力を受ける(F = qE の q が負)— 定義は正電荷基準、と固定しておく。

Q3:○ — 電気力線は電場の「見える化」:向きは接線、強さは密度。点電荷の近くで線が集中する図が、E = kQ/r² の絵解きになっている。

Q4:(b) — 電位は高さのようなただの数(負にもなる:負電荷のまわりは V < 0)。だから合成は符号込みの足し算だけ — ベクトル合成が要る電場との最大の違い。

Q5:(a) — 正電荷にとって電位の坂を下る向きは力の向き — 電場は正の仕事をする(重力が落下で正の仕事をするのと同じ構図:W = qV)。

解答
個数 = 4.8×10⁻⁹/(1.6×10⁻¹⁹) = 3.0×10¹⁰ 個

ポイント どんな帯電も e の整数倍 — 電気量の"最小コイン"が電気素量。10¹⁰ 個という膨大な数でも、電気量としてはナノクーロン級にすぎない。

解答
移った電気量:2.0×10¹⁰×1.6×10⁻¹⁹ = 3.2×10⁻⁹ C
A:+3.2×10⁻⁹ C(電子を失った)/B:−3.2×10⁻⁹ C

ポイント 帯電はつねにペアで等量・逆符号(電荷保存則)— 「片方だけ帯電する」ことはあり得ない。符号は「電子がどちらへ動いたか」で決まる。

解答
合計(+6.0−2.0 = +4.0×10⁻⁹ C)が保存し、同じ球なので等分される:
それぞれ +2.0×10⁻⁹ C

ポイント 接触 = 電荷の合算 → 等分(同形の導体の場合)。合計が保存することと、負の電荷は引き算で効くこと — 電荷保存則の計算版。

解答
F = kq₁q₂/r² = 9.0×10⁹×2.0×10⁻⁶×3.0×10⁻⁶/0.30²
= 5.4×10⁻²/0.090 = 0.60 N の斥力

ポイント 指数の処理(9+(−6)+(−6) = −3 → 5.4×10⁻²)を落ち着いて。同符号 → 斥力の判定と、力の大きさは別々に答える(作用・反作用で両方の球に 0.60 N:第1巻・第4章)。

解答
逆2乗:距離 2 倍で 1/4。
F = 0.60/4 = 0.15 N

ポイント 逆2乗のスケーリング即答(第1巻・第8章の万有引力と同じ)— 2 倍で 1/4、3 倍で 1/9。計算し直すより構造で。

解答
kq²/r² = F より q² = Fr²/k = 0.90×0.010/(9.0×10⁹) = 1.0×10⁻¹²
q = 1.0×10⁻⁶ C

ポイント 力の測定から電気量を逆算 — クーロンが実際にねじり秤で行った測定の型。q² を出してから √、の2段を丁寧に。

解答
E = F/q = 8.0×10⁻³/(2.0×10⁻⁶) = 4.0×10³ N/C

ポイント 電場 = 「+1 C あたりの力」(定義そのもの)。試験電荷 q を取り除いても、その場所には E が"待機"している — 場という考え方の入口。

解答
F = |q|E = 4.0×10⁻⁶×5.0×10² = 2.0×10⁻³ N、電場と逆向き

ポイント 負電荷は電場と逆向きに押される(F = qE の符号の意味)。大きさと向きを分けて処理する — 向きの一言を落とすと減点。

解答
F = eE = 1.6×10⁻¹⁹×3.0×10⁴ = 4.8×10⁻¹⁵ N、電場と逆向き

ポイント 極小の力に見えるが、電子の質量(約 9×10⁻³¹ kg)で割れば巨大な加速度(B4)— 電気の世界では「小さい力 × 極小の質量 = 猛烈な運動」が日常。

解答
E = kQ/r² = 9.0×10⁹×4.0×10⁻⁶/0.20² = 3.6×10⁴/0.040
= 9.0×10⁵ N/C、電荷から遠ざかる向き(外向き)

ポイント 点電荷の電場 E = kQ/r² — クーロンの法則から q を1つ外した形(F = qE と照合 ○)。正電荷なら放射状に外向き、が電気力線の絵。

解答
図示:正電荷からは遠ざかる向き(x 正)、負電荷へは近づく向き(これも x 正)— 同じ向きに加算。
各電荷の寄与:E₀ = 9.0×10⁹×4.0×10⁻⁶/0.30² = 4.0×10⁵ N/C
合成:E = 2×4.0×10⁵ = 8.0×10⁵ N/C、x 軸の正の向き

ポイント 重ね合わせの第一手は「各電荷の矢印を別々に描く」— 異符号の中点では2本が同じ向きを向き、強め合う。矢印なしの計算は事故のもと。

解答
2本の矢印は互いに逆向きで同じ大きさ — 打ち消し合う。
E = 0

ポイント 同符号の中点は電場ゼロの「凪」— ただし電位はゼロではない(A5-3)。「E = 0 と V = 0 は別事件」という本章最大の落とし穴の前半分。

解答
V = kQ/r = 9.0×10⁹×6.0×10⁻⁶/0.30 = 1.8×10⁵ V

ポイント 点電荷の電位 V = kQ/r — 電場(r²)と違い r の 1 乗。電場は「坂の傾き」、電位は「高さ」:同じ地形の2つの読み方で、式の r の次数が 1 つずれる。

解答
U = qV = 2.0×10⁻⁶×1.8×10⁵ = 0.36 J

ポイント U = qV(電位は「+1 C あたりの位置エネルギー」の定義そのまま)。mgh に対応する電気の"高さのエネルギー" — 以後のエネルギー保存の部品になる。

解答
各電荷の寄与(スカラー):
正電荷から:+kQ/r = 9.0×10⁹×4.0×10⁻⁶/0.30 = +1.2×10⁵ V
負電荷から:−1.2×10⁵ V
和:V = 0

ポイント 同じ点で E = 8.0×10⁵ N/C(A4-2)なのに V = 0 — 「電場ゼロと電位ゼロは別事件」の後半分。電位は矢印なしの符号込み足し算だけ、という気楽さも味わう。

解答
W = qV = 2.0×10⁻⁶×100 = 2.0×10⁻⁴ J

ポイント W = qV(電気量 × 下った電位差) — 「q クーロンが V ボルト落ちると qV ジュール」。mgh の完全な相似形(m ↔ q、gh ↔ V)。

解答
外力の仕事 = 位置エネルギーの増加 = qV = +2.0×10⁻⁴ J
電場のする仕事 = −2.0×10⁻⁴ J

ポイント 「坂を押し上げる」構図(第1巻・第5章の位置エネルギーと同じ)— 外力と電場の仕事は符号が逆で、絶対値は等しい(ゆっくり = 運動エネルギー変化なし)。

解答
K = eV = 1.6×10⁻¹⁹×500 = 8.0×10⁻¹⁷ J

ポイント 「電位差 V で加速 → 運動エネルギー qV」— 加速器・ブラウン管・X線管、すべてこの1行。単位 eV(電子ボルト)の由来でもある(第7章で再会)。

解答
E = V/d = 100/(2.0×10⁻²) = 5.0×10³ V/m

ポイント E = V/d — 電場は「1 m あたり何ボルト下がるか」= 電位の坂の傾き。単位 V/m は N/C と同じもの(A7-3 で確認)。

解答
V = Ed = 4.0×10²×0.30 = 1.2×10² V

ポイント 一様な電場では「距離に比例して電位が下がる」— 傾き一定の坂。電気力線の向きに進むほど電位は低くなる(下り坂の向き)。

解答
F = qE = 2.0×10⁻⁶×5.0×10³ = 1.0×10⁻² N
単位:V/m = (J/C)/m = (N·m/C)/m = N/C ○

ポイント 単位の分解(V = J/C、J = N·m)で 2 つの顔が同一と示せる — 「力の地図(N/C)」と「坂の傾き(V/m)」が同じ E であることの、単位による証明。

解答
静電誘導:金属内の自由電子が棒に引かれて棒側へ移動し、近い側が負、遠い側が正に帯電する。
近い側の負電荷が受ける引力の方が、遠い側の正電荷が受ける斥力より強い(距離が近いほど強い:クーロンの法則)ため、全体として引き寄せられる。

ポイント 「近い側の異種が勝つ」— 逆2乗則の距離差が引力の正体。中性のままでも引かれる、静電気の不思議の種明かし。

解答
はくは開く。
自由電子が棒に引かれて上部(金属板)へ移動し、下のはくは正に帯電する。2 枚のはくが正どうしで斥け合うため開く。

ポイント はく検電器は静電誘導の可視化装置 — 「電子がどちらへ動いたか」を上下で追えば、はくの符号と開閉が読める。棒を遠ざければ元に戻る(電子が帰る)ことも確認。

解答
紙は不導体で自由電子はないが、誘電分極:分子の中で電荷の配置がわずかに偏り、帯電体に近い側に異種の電荷が顔を出す。
近い側の引力が勝って吸いつく — 引かれる理屈(近い側の異種が勝つ)は導体と同じで、電荷が「移動する」(静電誘導)か「偏るだけ」(誘電分極)かが違い。

ポイント 導体 = 引っ越し、不導体 = 姿勢を変えるだけ — どちらも表面に異種電荷が現れる点は共通。この分極の考えが第2章(コンデンサーの誘電体)へ直結する。

解答
原点から x の位置(0 < x < L)。+4Q からの斥力(x 正の向き)と +Q からの斥力(x 負の向き)がつり合う:
k×4Qq/x² = kQq/(L−x)²
2/x = 1/(L−x) → 2(L−x) = x
x = 2L/3(強い +4Q から遠い側に寄る)

ポイント 平方根をとって 2/x = 1/(L−x) と1次式に落とすのが手筋。つり合い点は「強い電荷から遠く」— 4:1 の強さ差が距離の 2:1(の2乗)で相殺されている。

解答
① 図示:糸の傾きから r = 2Lsinθ
② 各球のつり合い(張力 T、重力 mg、クーロン力 F):
水平:Tsinθ = F/鉛直:Tcosθ = mg
割って F = mg tanθ
③ クーロンの法則 F = kq²/r² に代入:
kq²/(2Lsinθ)² = mg tanθ
q = 2Lsinθ×√(mg tanθ/k)

ポイント 第1巻・第3章(角度のあるつり合い)にクーロン力が参加しただけ — 力学の型がそのまま電気の測定式になる。tanθ = F/mg の関係は電車内の振り子とも同型。

解答
比 = ke²/(Gm_p m_e)(距離 r² は分母子で消える)
分子:9.0×10⁹×(1.6×10⁻¹⁹)² ≒ 2.3×10⁻²⁸
分母:6.7×10⁻¹¹×1.7×10⁻²⁷×9.1×10⁻³¹ ≒ 1.0×10⁻⁶⁷
比 ≒ 2×10³⁹ 倍(クーロン力が圧倒的)

ポイント 原子の世界で重力は完全に無視できる(39 桁差!)— 原子・分子の構造はすべて電気の仕事。逆に天体で電気が効かないのは、正負が打ち消し合って中性だから — 2 つの逆2乗則の役割分担。

解答
図示:各電荷からの電場は大きさ E₀ = kQ/a² で、それぞれの電荷から遠ざかる向き — 2 本の矢印のなす角は 60°。
対称性より合成は二等分線方向(三角形の外向き):
E = 2E₀cos30° = √3×kQ/a²、2 つの電荷を結ぶ辺の垂直二等分線に沿って外向き

ポイント ベクトル合成は「矢印 2 本 → 対称軸に射影」(第1巻・第3章)。cos30° の 30° は「矢印と対称軸のなす角」— なす角 60° の半分、と図で確認。

解答
図示:P から見て、+Q の電場は +Q から遠ざかる向き、−Q の電場は −Q へ向かう向き — y 成分は打ち消し、x 成分(+ から − へ)が加算される。
各電場の大きさ:E₀ = kQ/(a²+y²)、その x 成分:E₀×a/√(a²+y²)
E = 2kQa/(a²+y²)^(3/2)、x 軸の正の向き(+Q から −Q へ向かう向き)

ポイント 対の電荷(電気双極子)の中垂線上の電場 — 「打ち消す成分と生き残る成分」を最初に見切るのが時短の鍵。y → 0 で E = 2kQ/a²(2 本が並ぶ A4-2 の形)○。

解答
① 同符号(+4Q と +Q):間の点でだけ 2 本の電場が逆向き — B1-1 と同じ計算で
原点から 2L/3 の点
② 異符号(+4Q と −Q):間では 2 本が同じ向き(0 にならない)。外側では逆向きになり、弱い −Q に近い側の外でつり合う:
k×4Q/(L+x')² = kQ/x'²(x':x = L から外への距離)
2x' = L+x' → x' = L
x = 2L の点(−Q の外側、L だけ離れた点)

ポイント 「電場 0 の点はどちら側か」— 同符号なら間、異符号なら弱い方の外側、とまず定性で当たりをつけてから計算する。①②とも「√ をとって 1 次式」の同じ手筋。

解答
同符号(+Q、+Q)の中点:電場は逆向きで打ち消し E = 0。しかし電位は同符号の和で V = 2kQ/r ≠ 0。
異符号(+Q、−Q)の中点:電位は +kQ/r−kQ/r = 0。しかし電場は同じ向きに加算され E ≠ 0。
— 電場(ベクトル)は向きで消え、電位(スカラー)は符号で消える:消える条件が別物だから、一方が 0 でも他方は 0 とは限らない ∎

ポイント A4-3・A5-3 の対比を一般論に — 「ベクトルは向き、スカラーは符号」という消え方の違いが本質。共テの正誤問題の常連。

解答
等電位面に沿って電荷を動かしても、電位が変わらないので仕事は 0(W = qΔV = 0)。
もし電場(力)が面に沿った成分をもてば、その向きの移動で仕事が生じて矛盾する。
よって電場は等電位面に垂直な成分しかもてない — 電気力線と等電位面は直交する ∎

ポイント 「仕事 0 ⇔ 力と移動が垂直」(第1巻・第5章)からの背理法 — 地図の等高線と最大傾斜の向き(川の流れ)の直交と同じ幾何。

解答
W = q(V_A−V_B) = q(kQ/r_A−kQ/r_B)
W = kqQ×(1/r_A−1/r_B)(r_B > r_A なので W > 0:斥力が遠ざける向きに正の仕事)

ポイント 仕事は「電位差 × 電気量」の一手 — 途中の道筋によらない(静電気力は保存力:第1巻・第5章の思想)。r_B → ∞ で W = kqQ/r_A:無限遠まで送り出す仕事 = はじめの位置エネルギー ○。

解答
① 運動方程式 ma = qE より a = qE/m(電場の向き)
② v = at = qEt/m
③ 距離 = (1/2)at² = qEt²/(2m)

ポイント F = qE が決まれば、あとは第1巻・第2章の等加速度公式がそのまま走る — 電磁気の運動問題は「力の出どころが電気になった力学」。

解答
エネルギー:qV = (1/2)mv²
v = √(2qV/m)

ポイント 「電位差で加速 → qV が運動エネルギーに」(A6-3 の文字版)。時間や距離を聞かれなければ、運動方程式よりエネルギーが最短(第1巻・第5章の使い分けと同じ)。

解答
電場と垂直な方向:等速 — 通過時間 t = L/v₀
電場方向:初速 0・加速度 qE/m の等加速度 —
ずれ y = (1/2)×(qE/m)×(L/v₀)²

ポイント 水平投射(第1巻・第2章)と完全に同型 — 「垂直は等速、電場方向は落下」。重力 g を qE/m に置き換えただけで、放物線の物語が再演される(ブラウン管・インクジェットの偏向の原理)。

解答
電荷 q を電場に沿って d 運ぶとき、電場(力 qE)がする仕事は W = qEd。
一方、電位差 V の定義から W = qV。
2 つを等しいとおいて qEd = qV → V = Ed ∎

ポイント V = Ed は「同じ仕事の 2 通りの表現」の橋 — 力の言葉(qEd)とエネルギーの言葉(qV)の辞書。一様な場(E 一定)でだけ成り立つ点も添える。

解答
V/m = (J/C)/m = (N·m/C)/m = N/C ○
「電場は電位の傾き」:E = V/d は「距離 1 m あたり電位が何 V 下がるか」— 電位を高さとみなした地形図で、E は坂の勾配、電気力線は水の流れる向き(最大傾斜の下り)にあたる。

ポイント 単位の分解は定義の分解 — J = N·m の 1 行が 2 つの顔を接続する。「E は V の傾き」という見方は、グラフ問題(B5-3)の読解装置になる。

解答
① 平行板間:V は距離に比例して一直線に下がる(傾き −E の直線)— 傾き一定 = 電場一定。
② 点電荷のまわり:V = kQ/r の曲線(近くで急、遠くで緩やか)— 接線の傾きが急な近距離ほど電場が強い(E = kQ/r²)。

ポイント 「V-グラフの傾き = 電場」— 直線なら一様、曲線なら場所ごとに違う。グラフの形から装置(平行板か点電荷か)を逆に当てる設問も定番。

解答
正の棒を近づける → 自由電子が金属板側へ引き寄せられ、はくは正に帯電して開く。
指で触れる(接地)→ 地面から電子が流れ込み、はくの正電荷が中和されてはくは閉じる(棒側の負電荷は棒に引き止められて残る)。
指を離し、棒を遠ざける → 残った負電荷が全体に広がり、はくは負どうしで再び開く。
最終状態:はく検電器は負に帯電して開いている。

ポイント 誘導帯電の3幕劇 — 「開く → 閉じる → また開く」。各幕で電子の出入りだけを追えば、符号は間違えない(正電荷は動かない:動くのは電子)。

解答
近づけた帯電体と逆の符号に帯電する。
理由:帯電体に引かれた(または押された)電子の移動を、接地が"固定"するため — 正の棒なら電子が流れ込んで負に、負の棒なら電子が逃げて正になる。

ポイント 「触れずに、逆符号に帯電させる」— 誘導帯電の要点は非接触と逆符号の 2 語。摩擦帯電(接触・電子の直接移動)との対比で整理。

解答
静電誘導(導体):自由電子が物体の中を大きく移動し、両端に正負が分かれる。
誘電分極(不導体):電子は分子から離れられず、分子の中で配置が偏るだけ。
共通点:どちらも帯電体に近い側に異種の電荷が現れ、逆2乗則により「近い側の引力 > 遠い側の斥力」となって、全体として引き寄せられる。

ポイント 違いは「引っ越し」か「姿勢の偏り」か、共通点は「近い側の異種が勝つ」— A8 の3問をこの 2 行に圧縮して携帯する。

解答
① 各電荷の寄与:E₀ = 9.0×10⁹×4.0×10⁻⁶/0.30² = 4.0×10⁵ N/C — 中点では 2 本とも x 正の向きで加算:
E = 8.0×10⁵ N/C(ア = 8、イ = 0)
② 電位は +1.2×10⁵+(−1.2×10⁵) = 0 V(ウ = 0)
③ 線分上では、正電荷から遠ざかる向きと負電荷へ向かう向きがつねに同じ向き(x 正)で、打ち消し合う場所がない:(b) 存在しない(エ = (b))
④ F = qE = 2.0×10⁻⁶×8.0×10⁵ = 1.6 N(オ = 1、カ = 6)
⑤ 中点を通り x 軸に垂直な面は、2 電荷から等距離 — どこでも V = 0 の等電位面。等電位面に沿った移動の仕事は 0:(b)(キ = (b))

ポイント
• ①②が「E ≠ 0 なのに V = 0」の実例(B3-1)— 逆(同符号の中点)とセットで携帯する。
• ⑤は「垂直二等分面 = 等電位面」という対称性の読み — 計算せずに仕事 0 と断定できるのが等電位面の御利益。

解答
① E = V/d = 200/(4.0×10⁻²) = 5.0×10³ V/m(ア = 5、イ = 0)
② F = qE = 3.2×10⁻¹⁹×5.0×10³ = 1.6×10⁻¹⁵ N(ウ = 1、エ = 6)
③ W = qV = 3.2×10⁻¹⁹×200 = 6.4×10⁻¹⁷ J(オ = 6、カ = 4)
④ 一様な電場なので:(c) どこでも同じ(キ = (c))
⑤ 仕事がすべて運動エネルギーに:K = W = 6.4×10⁻¹⁷ J(ク = 6、ケ = 4)

ポイント
• ③の検算:W = Fd = 1.6×10⁻¹⁵×4.0×10⁻² = 6.4×10⁻¹⁷ J ○ — 「qV」と「力 × 距離」の2ルートが同じ値を指す(V = Ed の実演)。
• ⑤は「電位差 V で加速 → qV」(A6-3)の再現 — 距離 d も E も経由せずに一撃で出るのがエネルギーの強み。

解答
① 糸の傾きの幾何より r = 2Lsinθ
② 図示:重力 mg(下)、張力 T(糸の方向)、クーロン力 F(水平・外向き)。
水平:Tsinθ = F/鉛直:Tcosθ = mg
③ 2 式を割って F = mg tanθ
④ クーロンの法則 kq²/r² = mg tanθ に r = 2Lsinθ を代入:
q = 2Lsinθ×√(mg tanθ/k)
⑤ F = mg tan45° = 1.0×10⁻²×9.8×1 = 9.8×10⁻² N
q = r√(F/k) = 3.0×10⁻²×√(9.8×10⁻²/(9.0×10⁹))
= 3.0×10⁻²×3.3×10⁻⁶ ≒ 1.0×10⁻⁷ C

ポイント
• ②の図示が答案の得点源 — 3 力の閉じた三角形(第1巻・第3章)がそのまま tanθ = F/mg を生む。
• ⑤の √(9.8×10⁻²/9.0×10⁹) は「≒ √(1.1×10⁻¹¹) = √11×10⁻⁶ ≒ 3.3×10⁻⁶」— ×10 の偶数乗をくくり出す平方根の見積もり(第2巻から続く技)。0.1 μC という答えの規模感(静電気の典型値)も持ち帰る。

Q1:○ — Q = CV:比例定数 C が「器の大きさ」。電圧 2 倍で電荷も 2 倍、が Q-V グラフの原点を通る直線になる(Q5 の伏線)。

Q2:(a) — C = ε₀S/d:d が分母。極板が近いほど正負の電荷が引き合って安定 → 同じ電圧でも多くたまる。

Q3:○ — 並列は「極板の面積を広げた」のと同じ(C = C₁+C₂)。直列は逆に「間隔を広げた」ので 1/C の和 — 抵抗とは形が入れ替わる。

Q4:(b) — 切り離すと極板の電荷に逃げ道がない → Q 一定。つないだままなら電池が電圧を保証して V 一定 — 「何が一定か」がこの章の全操作問題の入口。

Q5:(b) — 電荷を運ぶ間、電圧は 0 から V へ成長する(平均 V/2)— だから (1/2)QV。QV だと「最初から満額の電圧で運んだ」ことになり過大。

解答
Q = CV = 2.0×10⁻⁶×100 = 2.0×10⁻⁴ C

ポイント Q = CV はこの章の憲法。μF → 10⁻⁶ F の換算を最初に済ませる — 単位の直し忘れが最多の事故。

解答
C = Q/V = 6.0×10⁻⁵/30 = 2.0×10⁻⁶ F = 2.0 μF

ポイント 容量の逆算 — C は「1 V あたり何 C たまるか」という器の指標(単位 F = C/V の読み下しそのもの)。

解答
V = Q/C = 2.0×10⁻⁴/(4.0×10⁻⁶) = 50 V

ポイント Q = CV は 3 文字のどれについても解ける 1 本の関係式 — 「2 つ分かれば残り 1 つ」(v = fλ と同じ 3 点セットの型)。

解答
C ∝ 1/d:間隔半分で 2 倍 → 6.0 μF

ポイント C = ε₀S/d の比例・反比例で即答 — S に比例、d に反比例。数値を作り直すより構造で(第1巻から続くスケーリングの型)。

解答
C = ε₀S/d = 8.9×10⁻¹²×2.0×10⁻²/(1.0×10⁻³) = 1.8×10⁻¹⁰ F

ポイント 手のひらサイズの極板でも 10⁻¹⁰ F(0.18 nF) — 実用の μF がいかに大容量か。市販のコンデンサーが「薄い膜を巻いて S を稼ぐ」構造である理由。

解答
C' = εr×C = 4.0×1.8×10⁻¹⁰ = 7.1×10⁻¹⁰ F

ポイント 誘電体は分極(第1章 A8-3)して極板の電荷を部分的に打ち消し、内部の電場を弱める — 同じ Q でも V が下がる = C が上がる。εr は「何倍ためやすくなるか」。

解答
E = V/d = 200/(2.0×10⁻³) = 1.0×10⁵ V/m

ポイント 極板間は一様な電場(第1章 A7)— コンデンサーは「一様電場の製造装置」でもある。荷電粒子の実験(第1章 B4-3)の舞台はここ。

解答
Q = CV = 2.0×10⁻⁶×100 = 2.0×10⁻⁴ C
E = V/d = 100/(1.0×10⁻³) = 1.0×10⁵ V/m

ポイント Q は「C 経由」、E は「d 経由」— 同じ V から2 系統の計算が枝分かれする。回路量(Q、C、V)と場の量(E、d)の橋が V。

解答
① 切り離し → Q 一定(1 倍)
② C が半分なので V = Q/C は 2 倍
③ E = V/d = 2 倍/2 倍 = 1 倍(変わらない)

ポイント E が変わらないのがこの操作の名所 — 極板間の電場は E = Q/(ε₀S)(電荷だけで決まる:B1)なので、Q 一定なら間隔によらない。「V は倍、E は不変」のセットで記憶。

解答
C = C₁+C₂ = 5.0 μF

ポイント 並列 = 足すだけ(面積の合体)。並列の合言葉は「電圧が共通」— 次問で使う。

解答
どちらも 100 V:
2.0 μF 側:Q₁ = 2.0×10⁻⁴ C/3.0 μF 側:Q₂ = 3.0×10⁻⁴ C
合計 Q = 5.0×10⁻⁴ C(= 合成 5.0 μF×100 V ○)

ポイント 並列は「同じ V、Q は容量に比例して分配」。合成容量で出した全体の Q と、各々の和が一致 — 二重の計算が互いの検算になる。

解答
Q は容量の比 2:3 で分配:
2.0 μF 側:4.0×10⁻⁴ C/3.0 μF 側:6.0×10⁻⁴ C

ポイント 「合計から比で割り戻す」逆算 — V = Q/C が共通、という並列の性質を比の言葉で使う。分配の比は容量に正比例(直列の電圧分配とは逆:A5-2)。

解答
1/C = 1/2.0+1/3.0 = 5/6 [1/μF]
C = 1.2 μF

ポイント 直列は 1/C の和(間隔を広げた効果)— 合成はどの容量よりも小さくなる(1.2 < 2.0)。「和分の積」C₁C₂/(C₁+C₂) = 6/5 でも同じ。

解答
直列は Q が共通:Q = CV = 1.2×10⁻⁶×100 = 1.2×10⁻⁴ C(両方とも)
各電圧:V₁ = Q/C₁ = 60 V、V₂ = Q/C₂ = 40 V(和 100 V ○)
2.0 μF に 60 V、3.0 μF に 40 V

ポイント 直列の合言葉は「Q が共通、V は容量の逆比」— 小さい容量ほど大きな電圧を引き受ける(器が小さいほど水位が上がる)。和が電源電圧に戻るかの検算を忘れずに。

解答
同容量 2 個の直列:C = 3.0/2 = 1.5 μF
解釈:直列は間隔 d を 2 倍にしたのと同じ(C ∝ 1/d)— 2 つのコンデンサーの間の導体部分は電場に寄与せず、実質的に隙間が 2d になる。

ポイント 「n 個直列 = C/n、n 個並列 = nC」。合成則を幾何(S と d)の言葉に翻訳できると、公式が構造として腑に落ちる。

解答
U = (1/2)CV² = (1/2)×2.0×10⁻⁶×100² = 1.0×10⁻² J

ポイント C と V が分かっているときは (1/2)CV² — 3 つの顔から「手持ちの文字」で選ぶ。10⁻² J:小さく見えるが一瞬で放出できる(カメラのフラッシュの原理)。

解答
U = Q²/(2C) = (2.0×10⁻⁴)²/(2×2.0×10⁻⁶) = 4.0×10⁻⁸/(4.0×10⁻⁶) = 1.0×10⁻² J ○

ポイント (1/2)QV・(1/2)CV²・Q²/(2C) は Q = CV でつながった同一人物の 3 変装 — 場面(何が一定か:A7)に応じて衣装を選ぶ練習。

解答
充電の途中、電圧は 0 から V まで成長していく — 電荷 ΔQ を運ぶのに必要な仕事はそのときの電圧 × ΔQ で、グラフの直線の下の三角形の面積が総仕事:
U = (1/2)×Q×V ∎(平均の電圧 V/2 で Q を運んだ、と読んでもよい)

ポイント 「グラフの面積 = 仕事」(第1巻 F-x、第2巻 P-V に続く面積シリーズ)。QV は「最初から満額 V で運んだ」誤り — ばねの (1/2)kx² と同じ"成長する相手"の 1/2。

解答
① 電池が保証:V 一定(1 倍)
② C が半分 → Q = CV は 1/2 倍(差額は電池へ戻る)
③ E = V/d = 1 倍/2 倍 = 1/2 倍

ポイント V 一定では Q と E が動く — Q 一定(A3-3:V と U が動き、E 不変)と結果が全部入れ替わる。まず「何が一定か」を書いてから表を埋める。

解答
Q 一定、C は 1/2:U = Q²/(2C) は 2 倍
増加分は、引き合う極板を引き離した外力の仕事から来た。

ポイント エネルギー収支の「出どころ」まで言うのが完答 — 極板は引き合っている(B5)ので、離すには正の仕事が要る。それがそのまま U に貯金される。

解答
① C は 2.0 倍
② V 一定なので Q = CV も 2.0 倍 — 増加分は電池から新たに流れ込んだ。

ポイント V 一定の操作では、電池が電荷の出納係 — Q の増減は必ず電池との出入り。Q 一定(切り離し)で誘電体を入れれば、逆に V が半分に下がる(比較表は B4-3)。

解答
接続前の電気量:Q₀ = 2.0×10⁻⁶×100 = 2.0×10⁻⁴ C
接続後は電荷が保存し、並列(V 共通):
V = Q₀/(C₁+C₂) = 2.0×10⁻⁴/(5.0×10⁻⁶) = 40 V

ポイント 切り離された島では電気量の合計が保存 — 「たまった水を 2 つの器に分け合う」構図。合成容量 5.0 μF に Q₀ が入り直した、と読む。

解答
共通の 40 V で:
2.0 μF 側:Q₁ = 8.0×10⁻⁵ C/3.0 μF 側:Q₂ = 1.2×10⁻⁴ C
(和 2.0×10⁻⁴ C = Q₀ ○:電荷保存の検算)

ポイント 分配は容量比 2:3(並列の性質:A4-3)。和が元の Q₀ に戻ることを必ず確かめる — 電荷保存が答案の検算装置。

解答
前:U = (1/2)×2.0×10⁻⁶×100² = 1.0×10⁻² J
後:U' = (1/2)×5.0×10⁻⁶×40² = 4.0×10⁻³ J
6.0×10⁻³ J 減少 — 接続の瞬間に流れた電流により、導線のわずかな抵抗でジュール熱(および一部は電磁波)として失われた。

ポイント 電荷は保存するがエネルギーは保存しない、有名な"消えたエネルギー"問題 — 減少は必然(B3-3 で一般証明)。「どこへ行ったか」まで一言添えるのが記述の作法。

解答
極板間の電圧:V = Ed = Qd/(ε₀S)
Q = CV と比べて C = Q/V = ε₀S/d ∎

ポイント 部品は「E = Q/(ε₀S)(電荷が場を作る)」と「V = Ed(場が電位差を作る)」の 2 つ — Q → E → V の因果の鎖をたどると C が正体を現す。

解答
①面積 S を広げる — 電荷の置き場が増える。
②間隔 d を狭める — 正負が強く引き合い、同じ電圧で多くたまる。
③誘電体(εr)で満たす — 分極が電場を弱め、同じ Q でも V が下がる(= C 増)。

ポイント 実物のコンデンサー(薄い誘電体フィルムを電極ではさんで巻く)は、この 3 方法の全部乗せ — 式が製品の設計図になっている。

解答
Q = CV より F = C/V。
式:C = ε₀S/d より ε₀ = Cd/S — 単位は F×m/m² = F/m ∎

ポイント 単位は定義の要約 — 「1 V あたり 1 C ためられて 1 F」。ε₀ = 8.9×10⁻¹² F/m の小ささが、真空が"ためにくい"ことを語っている。

解答
並列では両方に同じ電圧 V。
全体の電気量:Q = Q₁+Q₂ = C₁V+C₂V = (C₁+C₂)V
Q = CV と比べて C = C₁+C₂ ∎

ポイント 「V 共通・Q は和」を式にしただけ — 合成則は暗記でなく、共通量の宣言から 2 行で再建できる。

解答
直列の中間部分(2 つのコンデンサーをつなぐ島)は外部から孤立しており、はじめ中性 — 一方の極板に −Q が現れれば、隣の極板には +Q が現れるしかない:電気量は共通。
電圧の和:V = V₁+V₂ = Q/C₁+Q/C₂
V = Q/C と比べて 1/C = 1/C₁+1/C₂ ∎

ポイント 「なぜ Q が共通か」= 間の島の電荷保存(B6-3)— 直列の性質は約束事ではなく保存則の帰結。ここを言えると記述で一段上。

解答
直列部分:2.0 μF×2 個 → 1.0 μF
これと 2.0 μF の並列:C = 1.0+2.0 = 3.0 μF

ポイント 直並列は「内側から順に畳む」— 回路図を描き、まとまった部分を 1 つの箱に置き換えていく(第3章の抵抗でも同じ手順)。

解答
横軸 V・縦軸 Q のグラフで、充電の道筋は原点から (V、Q) への直線(Q = CV)。
微小電荷 ΔQ を運ぶ仕事は「そのときの電圧 × ΔQ」— 積み上げると直線の下の三角形の面積:
U = (1/2)QV ∎

ポイント 「相手が成長するときの 1/2」— ばねの (1/2)kx²、等加速度の (1/2)at² と同族。面積 = 仕事シリーズの最終メンバー。

解答
Q = CV を代入して:
U = (1/2)(CV)V = (1/2)CV²/U = (1/2)Q(Q/C) = Q²/(2C)
V 一定の操作 → V を含む (1/2)CV²/Q 一定の操作 → Q を含む Q²/(2C) が便利(一定量を固定して C の変化だけ追える)。

ポイント 「一定の文字を含む顔を選ぶ」— A7 の場合分けとエネルギーの 3 表現が、ここで 1 つの作戦に統合される。

解答
接続前:U_before = (1/2)C₁V₀²
接続後:電圧 V = C₁V₀/(C₁+C₂)(B6-1)で
U_after = (1/2)(C₁+C₂)V² = C₁²V₀²/{2(C₁+C₂)}
減少量:ΔU = U_before−U_after = (1/2)C₁V₀²×{1−C₁/(C₁+C₂)}
ΔU = C₁C₂V₀²/{2(C₁+C₂)}

ポイント C₂ > 0 である限り必ず減る(式が正)— 電荷の再配置には"手数料"が避けられない。行き先は導線の抵抗のジュール熱(抵抗がどんなに小さくても、失う総量はこの式で同じ、が有名な深掘り)。

解答
Q 一定、C → C/2(d が 2 倍)。
電圧:V = Q/C → 2 倍/電場:E = Q/(ε₀S) → 1 倍(不変)/エネルギー:U = Q²/(2C) → 2 倍
増加分は、引き合う極板を引き離した外力の仕事による。

ポイント Q 一定の世界では E が絶対不変(電荷だけが場を決める)— V は「E×距離」なので距離に比例して伸びるだけ、と因果で読む。

解答
V 一定、C → C/2。
電気量:Q = CV → 1/2 倍(半分は電池へ帰る)/電場:E = V/d → 1/2 倍/エネルギー:U = (1/2)CV² → 1/2 倍

ポイント V 一定では電池が出納係 — Q の減少分は電池に戻り、U の減少分も(外力の仕事とともに)電池のエネルギー勘定に入る。「どの量が誰に支配されるか」の整理。

解答
(基準を 1 として)
| 操作 × 条件 | Q | V | E | U | |---|---|---|---|---| | 間隔 2 倍・V 一定 | 1/2 | 1 | 1/2 | 1/2 | | 間隔 2 倍・Q 一定 | 1 | 2 | 1 | 2 | | 誘電体 εr・V 一定 | εr | 1 | 1 | εr | | 誘電体 εr・Q 一定 | 1 | 1/εr | 1/εr | 1/εr |

ポイント 16 マスは暗記しない — 一定量を書き、C の変化を出し、残りを Q = CV・E = V/d・U(適切な顔)で埋める、の 3 手で毎回その場生成する。

解答
極板間の電場 E は、正負両方の極板が半分ずつ(E/2 ずつ)作っている。
一方の極板(電気量 Q)が受ける力は、相手の極板が作る場 E/2 による力 — 自分の作る場からは力を受けない:
F = Q×(E/2) = QE/2 ∎

ポイント 「自分の場では自分を押せない」— F = QE としない理由がこの一点。E/2 の由来(重ね合わせの半分)まで言えれば論述完成。

解答
E = Q/(ε₀S) を代入して
F = QE/2 = Q²/(2ε₀S)

ポイント 引力は Q² に比例、S に反比例 — 符号によらず必ず引力(±Q が引き合う)。d を含まない(一様場は距離で減衰しない)点も特徴。

解答
Q 一定で d → d+Δd:U = Q²d/(2ε₀S) より ΔU = Q²Δd/(2ε₀S)
外力の仕事 = ΔU:FΔd = Q²Δd/(2ε₀S)
F = Q²/(2ε₀S) — B5-2 と一致 ○

ポイント 「力の直接計算」と「エネルギーの傾き」の 2 ルートが同じ答えを指す — 第2巻・実戦3-3(ばねつきピストン)と同じ二重帳簿の思想。エネルギー法は"E/2 の議論"を経由せずに済む強みがある。

解答
切り離された正極側の島の電荷が保存:C₁V₀ = (C₁+C₂)V
V = C₁V₀/(C₁+C₂)

ポイント 分母は「合成容量」、分子は「元の電気量」— V = (総電荷)/(総容量) と読める。第2巻・気体の 2 容器接続(mol 保存 → 加重平均)と同じ顔の式。

解答
同符号どうしの接続:総電荷 C₁V₁+C₂V₂ が保存 —
V = (C₁V₁+C₂V₂)/(C₁+C₂)(容量を重みにした加重平均)
逆向き(正極と負極)の接続:電荷が打ち消し合い —
V = |C₁V₁−C₂V₂|/(C₁+C₂)(C₁V₁ = C₂V₂ なら電圧 0:完全中和)

ポイント 保存するのは符号込みの電気量 — 逆接続は「+の水と−の水を混ぜる」。差だけが生き残る、という電荷の代数。

解答
2 つのコンデンサーの間の島(導体部分)は外部と絶縁されており、電気量の合計が保存する。
はじめ中性(合計 0)なら、接続後も(−Q₁)+(+Q₂) = 0、すなわち Q₁ = Q₂ — 直列の 2 つのコンデンサーの電気量は等しい ∎

ポイント 「島を見つけて合計を書く」— 直列 Q 共通(B2-2)の根拠であり、初めから帯電した島(合計 ≠ 0)の応用問題への入口。島の囲い方が電荷保存の使い方のすべて。

解答
① Q = CV = 4.0×10⁻⁶×50 = 2.0×10⁻⁴ C(ア = 2、イ = 0)
② U = (1/2)CV² = (1/2)×4.0×10⁻⁶×2500 = 5.0×10⁻³ J(ウ = 5、エ = 0)
③ Q 一定、C は 1/2(2.0 μF)→ V = Q/C = 100 V(オカキ = 100)
④ E = Q/(ε₀S) は Q だけで決まる:(c) 変わらない(ク = (c))
(検算:E = V/d = 2 倍/2 倍 = 1 ○)
⑤ U' = Q²/(2C') = (2.0×10⁻⁴)²/(2×2.0×10⁻⁶) = 1.0×10⁻² J(ケ = 1、コ = 0)
増加分 5.0×10⁻³ J は (b) 外力の仕事(サ = (b))

ポイント
• ④は 2 ルート(E = Q/ε₀S 不変/E = V/d = 2/2)の一致で確信をもって選べる — 一様場の E は「電荷の量」だけが決める。
• ⑤の選択肢 (a) は切り離した時点で退場済み — 操作の時系列(いつ切ったか)が解答の分かれ目。

解答
① 1/C = 1/2.0+1/3.0 = 5/6 → C = 1.2 μF
② 直列は共通:Q = CV = 1.2×10⁻⁶×100 = 1.2×10⁻⁴ C(両方)
③ V₁ = Q/C₁ = 60 V、V₂ = Q/C₂ = 40 V(和 100 V ○)
④ U₁ = (1/2)QV₁ = 3.6×10⁻³ J、U₂ = (1/2)QV₂ = 2.4×10⁻³ J
和 = 6.0×10⁻³ J = (1/2)×1.2×10⁻⁴×100 ○
⑤ 並列部:C₂+C₃ = 6.0 μF。直列合成:1/C = 1/2.0+1/6.0 = 4/6 → C = 1.5 μF
新しい共通電気量:Q' = 1.5×10⁻⁶×100 = 1.5×10⁻⁴ C
C₁ の電圧:V₁' = Q'/C₁ = 75 V(並列部は 25 V:和 100 ○)

ポイント
• ③の「小さい容量に大きい電圧」(60 > 40)— 直列の逆比を体感する数字。④のエネルギーも同じ比 3:2 で分配((1/2)QV の Q が共通だから)。
• ⑤で C₁ の電圧が 60 → 75 V に上がった — 相方の容量が増えるほど、直列の相手はより多くの電圧を背負う。変化の向きの吟味まで。

解答
① Q₀ = C₁V₀
② 孤立した正極側の島で電荷保存:C₁V₀ = (C₁+C₂)V
V = C₁V₀/(C₁+C₂)
③ Q₁ = C₁V = C₁²V₀/(C₁+C₂)、Q₂ = C₂V = C₁C₂V₀/(C₁+C₂)(和 = Q₀ ○)
④ ΔU = (1/2)C₁V₀²−(1/2)(C₁+C₂)V²
ΔU = C₁C₂V₀²/{2(C₁+C₂)}
⑤ V = 2.0×100/5.0 = 40 V
ΔU = 2.0×3.0×10⁻¹²×10⁴/(2×5.0×10⁻⁶) = 6.0×10⁻³ J
失われた分は、接続の瞬間の電流が導線の抵抗で発生させたジュール熱(一部は電磁波)になった。

ポイント
• ④は「差をとって共通因数でくくる」だけだが、結果が必ず正(C₁C₂ > 0)であることが物理の主張 — 電荷のお引っ越しに無料はない。
• ⑤の数値が A8 の 3 問と完全に一致 — 文字の一般式と数値の各論が同じ物語の 2 つの解像度であることを、章の最後に確認する設計。

Q1:× — 電流の向きは正電荷の流れる向きという約束(歴史的事情)。実際に動く電子は負なので逆向き — 「矢印と電子は逆」を最初に固定する。

Q2:(a) — R = ρL/S:L に比例(長い水道管ほど流れにくい)。太さ 2 倍(S 2 倍)なら半分、と対で覚える。

Q3:○ — 並列は「通り道が増える」ので必ず流れやすくなる(合成 < 最小の抵抗)。コンデンサーの直列(必ず小さくなる)と対になる関係。

Q4:(c) — V = E−rI:内部抵抗の値引き。電流を流すほど端子電圧は下がる — 古い電池で豆電球が暗い理由。

Q5:(b) — 分岐点に電荷はたまらない(たまれば電位が変わってしまう)— 電荷の保存が第 1 法則の正体。第 2 法則の正体は「電位の 1 周の帳尻」= エネルギーの保存。

解答
I = Q/t = 4.0/2.0 = 2.0 A

ポイント 電流は「毎秒何クーロン」— 単位 A = C/s の読み下しが定義そのもの。川の流量(毎秒何 m³)のイメージ。

解答
通過する電気量:Q = It = 1.6 C
個数 = 1.6/(1.6×10⁻¹⁹) = 1.0×10¹⁹ 個

ポイント 1 A オーダーの電流でも毎秒 10¹⁹ 個 — 電子 1 個の電気量の小ささが、天文学的な個数で補われている。

解答
Q = It = 0.50×600 = 3.0×10² C
電子は負電荷なので、電流の向きと逆向きに移動している。

ポイント 時間の単位(分 → 秒)の換算を忘れずに。「矢印(電流)と中身(電子)は逆」— 回路のどの問題でも前提になる約束。

解答
I = V/R = 100/20 = 5.0 A

ポイント V = RI — 3 文字の三角形(どの 1 つも他の 2 つで書ける)。R は「流れにくさ」:同じ電圧なら R が大きいほど I は小さい。

解答
R = V/I = 12/0.30 = 40 Ω

ポイント 抵抗の測定 = 「電圧 ÷ 電流」— 実験でオームの法則を"使って"未知の R を決める、逆算の基本形。

解答
R = V/I = 5.0/0.20 = 25 Ω
グラフの傾きは I/V = 1/R(抵抗の逆数) — 傾きが急なほど流れやすい(低抵抗)。

ポイント I-V グラフが原点を通る直線 = オームの法則に従う証拠。傾きの意味(1/R か R か)は軸の取り方で変わる — 軸の確認が第一手(第2巻のグラフ読みと同じ作法)。

解答
R = ρL/S = 1.1×10⁻⁶×2.0/(1.0×10⁻⁶) = 2.2 Ω

ポイント R = ρL/S — 「材質(ρ)× 形(L/S)」の分業。ニクロム(電熱線)の ρ は銅の約 70 倍:わざと流れにくくして熱を作る材料。

解答
R ∝ L/S:2 倍 ÷ (1/2) = 4 倍

ポイント 比例・反比例の掛け合わせで即答。「引き伸ばす」(体積一定で L を 2 倍 → S は自動で半分)なら 4 倍 — 針金を伸ばすと抵抗が急増する理由。

解答
ρ = RS/L = 0.17×1.0×10⁻⁶/10 = 1.7×10⁻⁸ Ω·m

ポイント ρ の逆算 → 材質の推定(1.7×10⁻⁸ Ω·m は銅の値)。第2巻の比熱測定(数値から物質を当てる)と同じ、「測って個性を特定する」型。

解答
① R = 20+30 = 50 Ω
② I = 100/50 = 2.0 A
③ V₁ = 20×2.0 = 40 V、V₂ = 30×2.0 = 60 V(和 100 V ○)

ポイント 直列は「I 共通、V は抵抗に比例して分配」— コンデンサーの直列(V は容量に反比例:第2章)と逆なので、章をまたいだ混同に注意。

解答
① 1/R = 1/20+1/30 = 5/60 → R = 12 Ω
② I = 60/12 = 5.0 A
③ 20 Ω:I₁ = 60/20 = 3.0 A/30 Ω:I₂ = 60/30 = 2.0 A(和 5.0 A ○)

ポイント 並列は「V 共通、I は抵抗に反比例」— 小さい抵抗に大きい電流(水は広い道へ)。「和分の積」20×30/50 = 12 の時短も常備。

解答
① 並列部:30×20/50 = 12 Ω。全体:8.0+12 = 20 Ω
② I = 100/20 = 5.0 A
③ 並列部の電圧:V = 12×5.0 = 60 V
30 Ω:2.0 A/20 Ω:3.0 A(和 5.0 A ○)

ポイント 直並列は「内側から畳む → 外から電圧・電流を配り直す」の往復 — 畳んで I を出し、開いて分配する。各段の検算(和が合うか)を挟みながら進む。

解答
P = VI = 100×2.0 = 2.0×10² W
熱量:Q = Pt = 200×300 = 6.0×10⁴ J

ポイント P = VI(毎秒のエネルギー)× 時間 = 熱量。分 → 秒の換算(5.0 分 = 300 s)を先に — 第2巻・第1章の Q = mcΔT とつなげば「何 ℃ 上がるか」まで届く。

解答
P = V²/R より R = V²/P = 10⁴/200 = 50 Ω
I = P/V = 200/100 = 2.0 A

ポイント 定格表示は「この電圧で使えばこの電力」という約束 — V²/R の顔が定格計算の主役。(点灯中の値:実際の抵抗は温度で変わる — A2-3 の直線からのずれ、B6-3 へ)

解答
① 直列:R = 100 Ω → P = V²/R = 10⁴/100 = 1.0×10² W
② 並列:R = 25 Ω → P = 10⁴/25 = 4.0×10² W(直列の 4 倍)

ポイント 同じ電源なら P = V²/R:合成抵抗が小さいほど大電力 — 並列は"食いしん坊"。もし電流源(I 共通)なら P = RI² で逆転する — 「何が共通か」で顔を選ぶ思想はここでも。

解答
回路全体:I = E/(R+r) = 1.6/(3.5+0.50) = 0.40 A
端子電圧:V = E−rI = 1.6−0.50×0.40 = 1.4 V(= RI = 3.5×0.40 ○)

ポイント 内部抵抗は「電池の中の直列抵抗」として回路図に描き込む — E と r をセットで箱に入れる図が全て。V = E−rI = RI の両側からの一致が検算。

解答
電流を流さないときの端子電圧 = 起電力:E = 1.6 V
V = E−rI より r = (1.6−1.4)/0.40 = 0.50 Ω

ポイント 開放電圧 = 起電力(rI の値引きがゼロ)— E と r の測定は「流さないで 1 回、流して 1 回」の 2 点で決まる(グラフ版は実戦3-2)。

解答
I = E/r = 1.6/0.50 = 3.2 A
理由:大電流のジュール熱(P = rI² = 5.1 W)が電池内部で発生し、発熱・破損の恐れがあるため。

ポイント 短絡電流は内部抵抗だけが抑えている上限値 — r が小さい電池ほど危険。「電池を導線で直結してはいけない」の物理的な根拠。

解答
第 1 法則:流入 = 流出
3.0 = 1.8+I → I = 1.2 A

ポイント 分岐点に電荷はたまらない — 収支は常にゼロ(概念チェック Q5)。矢印の向きを図に描いてから足し引きする。

解答
1 周:E = rI+RI → 6.0 = (0.50+2.5)I
I = 2.0 A、端子電圧 V = RI = 5.0 V

ポイント 第 2 法則は「起電力(昇り)= 電圧降下(下り)の合計」— 電位の山を 1 周すると必ず元の高さに戻る、というエネルギーの帳尻。A6 の式はこの法則の最小例。

解答
1 周:6.0−2.0 = 2.0×I
I = 2.0 A、6.0 V の電池が流そうとする向き(2.0 V の電池は逆向きに電流を流される = 充電される向き)

ポイント 逆向きの起電力は引き算 — 強い方が回路を支配し、弱い方は「充電される」側に回る(充電器の原理)。起電力の符号は「電流がその電池を +→− に通るか −→+ か」で決める。

解答
① 電流計:測りたい部分に直列。内部抵抗が小さく作られており、回路の電流をほとんど乱さない。
② 電圧計:測りたい部分に並列。内部抵抗が大きく、余計な電流をほとんど吸い取らない。

ポイント 「直列の A は低抵抗、並列の V は高抵抗」— つなぎ方と内部抵抗はセットの設計思想:計器は"いないふり"をするのが理想。逆につなぐと計器を壊す(電流計の並列は短絡)。

解答
最大時:電流計に 1.0 A、分流器に残り 9.0 A。並列なので電圧が等しい:
9.0×1.0 = R×9.0 → R = 1.0 Ω

ポイント 分流器は「電流のバイパス」— 9/10 を逃がすには電流比 1:9、並列(V 共通)だから抵抗は逆比で r/9。一般式 R = r/(n−1) も「n 倍計」として携帯。

解答
最大時、電圧計に 10 V、倍率器に残り 40 V。直列なので電流が共通 — 電圧は抵抗に比例:
R:2.0 kΩ = 40:10 → R = 8.0 kΩ

ポイント 倍率器は「電圧の肩代わり」— 4/5 を背負わせるには直列(I 共通)で抵抗 4 倍。一般式 R = (n−1)r_V。分流器(並列・逆比)との対で整理。

解答
1 秒間に断面を通過するのは、断面の後方長さ v の円柱(体積 vS)の中にいた電子 — 個数は n×vS。
運ぶ電気量は e×nvS。よって I = envS ∎

ポイント 「1 秒で通る箱(体積 vS)の中身を数える」— この箱の絵が導出のすべて。第2巻・分子運動論(壁に当たる分子の勘定)と同じ数え方の型。

解答
v = I/(enS) = 6.8/(1.6×10⁻¹⁹×8.5×10²⁸×1.0×10⁻⁶)
= 6.8/(1.36×10⁴) = 5.0×10⁻⁴ m/s

ポイント 電子の行進は毎秒 0.5 mm — 歩くよりはるかに遅い。「電流は速いのに電子は遅い」の数値的な衝撃を、次問で解決する。

解答
導線の中にはあらかじめ自由電子がぎっしり詰まっている。スイッチを入れると、電場(押せの合図)がほぼ光の速さで導線全体に伝わり、各地の電子が一斉に動き出す — 遠くの電子が届くのを待つ必要はない。
(ホースに水が満ちていれば、蛇口を開けた瞬間に先端から水が出るのと同じ)

ポイント 「信号は速く、担い手は遅い」— 玉突きのイメージ。電流の速さと電子の速さは別物、という区別が B1 三部作の結論。

解答
直列では電流 I が共通。全体の電圧は
V = R₁I+R₂I = (R₁+R₂)I
V = RI と比べて R = R₁+R₂ ∎

ポイント 「I 共通・V は和」の 2 行 — 長い導線をつなぎ足す(L が伸びる:R = ρL/S)ことと同じ、と幾何でも読める。

解答
並列では電圧 V が共通。全体の電流は
I = V/R₁+V/R₂ = V(1/R₁+1/R₂)
I = V/R と比べて 1/R = 1/R₁+1/R₂、すなわち R = R₁R₂/(R₁+R₂) ∎

ポイント 「V 共通・I は和」— 道が増えれば流れやすい。和分の積は計算の時短だけでなく、「必ず最小の抵抗より小さい」ことの確認にも使える。

解答
| 接続 | 抵抗 | コンデンサー | |---|---|---| | 直列 | I 共通・V は和 → R は和 | Q 共通・V は和 → 1/C の和 | | 並列 | V 共通・I は和 → 1/R の和 | V 共通・Q は和 → C は和 | 理由:単純な和になるのは「V と並んで和をとる量の係数」— 抵抗は V = RI(V が R に比例)、コンデンサーは Q = CV(Q が C に比例)。V を分け合う直列で足されるのは R、V を共有する並列で足されるのは C — 比例の相手(I か Q か)が逆だから、式が入れ替わる。

ポイント 丸暗記の危険地帯を、「何が共通で何が和か」の表 1 枚で永久解決 — 第2章 B2 との相互参照で二度と迷わない。

解答
回路式:E = (R+r)I → I = E/(R+r)、V = RI = E−rI
V-I グラフ(横軸 I):切片(I = 0)が起電力 E、傾きが −r(内部抵抗) — 右下がりの直線。

ポイント 電池の"身分証"は V-I 直線 — 測定 2 点で E と r が決まる(実戦3-2)。理想の電池(r = 0)は水平線、という極端も添えて。

解答
P = RI² = E²R/(R+r)²

ポイント R → 0 でも R → ∞ でも P → 0(短絡は r が全部食い、開放は流れない)— 間のどこかに山がある、と形から予感する。

解答
変形:P = E²/{(√R−r/√R)²+4r}
分母の (√R−r/√R)² ≧ 0 は、√R = r/√R すなわち R = r のとき 0(分母最小)。
よって R = r(外部抵抗 = 内部抵抗)のとき P は最大、最大値 P = E²/(4r)。

ポイント 「負荷を電源に合わせる」(インピーダンス整合)の直流版 — スピーカーとアンプ、アンテナと受信機まで続く設計原理の原型。平方完成で微分いらず、も収穫。

解答
手順:①各枝の電流に向きを仮定して文字を置く(I₁、I₂、…)②分岐点で第 1 法則(独立な点だけ)③ループごとに第 2 法則:「起電力の和 = RI の和」— 電池は電流が −極 → +極 に通るとき正、抵抗はループを回る向きと電流が同じとき +RI ④連立を解き、負の解は「仮定と逆向き」と読み替える。
注意:ループの数だけ第 2 法則、符号は回る向きを 1 つ決めて機械的に。

ポイント 符号規約を最初に宣言すれば、あとは写経 — 迷いは向きの仮定を絵に描いていないときに起こる。負の答えは失敗ではなく情報。

解答
共有抵抗 R₃ を流れる電流を I₃ = I₁+I₂(第 1 法則)として、
ループ 1(12 V 側):12 = 2.0I₁+2.0(I₁+I₂)
ループ 2(6.0 V 側):6.0 = 2.0I₂+2.0(I₁+I₂)
整理:12 = 4I₁+2I₂/6.0 = 2I₁+4I₂
解いて I₂ = 0、I₁ = 3.0 A、I₃ = 3.0 A

ポイント I₂ = 0 の種明かし:R₃ の電圧 = 2.0×3.0 = 6.0 V がちょうど E₂ と等しい — 押し合いが完全につり合い、6.0 V の電池は"傍観者"になる。答えの物理的な読みまでが解答。

解答
式:12 = 4I₁+2I₂/3.0 = 2I₁+4I₂
解いて I₁ = 3.5 A、I₂ = −1.0 A、I₃ = 2.5 A
I₂ < 0 の意味:仮定と逆向きに 1.0 A — 3.0 V の電池には、起電力の向きと逆に電流が流れ込んでいる(充電されている)。

ポイント 負の解の読み替えの実演 — 中央の電圧(2.0×2.5 = 5.0 V)が E₂ = 3.0 V を上回ったため、弱い電池が押し戻された。B4-2(拮抗)との比較で、回路の"力関係"が見える。

解答
検流計に電流が流れない ⇔ 検流計の両端(ブリッジの中点どうし)が同電位。
このとき各枝の電流はそのまま素通り(R₁ → R₂ に I、R₃ → R₄ に I')。
同電位の条件:R₁ の電圧降下 = R₃ の電圧降下、かつ R₂ = R₄ 側も等しい:
条件式:R₁I = R₃I'/R₂I = R₄I'
割り算して R₁/R₂ = R₃/R₄(たすき掛け R₁R₄ = R₂R₃)∎

ポイント 平衡の言い換え「中点が同電位 → 橋に流れない」が導出の心臓。割り算で電流(I、I')が消えるので、電源の電圧によらない条件になる — ブリッジの強みの源泉。

解答
条件:2.0/3.0 = 4.0/R₄ → R₄ = 6.0 Ω

ポイント 「比の 4 点セット」— どこか 1 つが未知でも比例式 1 本。たすき掛け 2.0×R₄ = 3.0×4.0 でも同じ。

解答
検流計が検出しているのは電流の値ではなく「電流がゼロかどうか」— ゼロ点の検出は、目盛りの精度や電源の変動に左右されにくい。
平衡条件も電源電圧を含まないため、既知抵抗の精度だけで未知抵抗が決まる — だから精密測定に向く。

ポイント 「測るより消す方が正確」— ゼロ位法という測定思想。第2巻の共鳴実験(差で補正を消す)と並ぶ、実験設計の知恵の系譜。

解答
十分時間がたつと充電が完了し、コンデンサーの枝には電流が流れない(I = 0)。
→ その枝を切り取った回路として電流を解き、コンデンサーの電圧は「並列にあたる部分の電圧」(枝の両端の電位差)として読む。Q = CV で電気量へ。

ポイント 「満水のダムには流れ込めない」— 定常状態のコンデンサーは電流的には不在、電圧的には健在。切って解き、電位差で戻る、の 2 手。

解答
直後は電荷がまだ 0 なので コンデンサーの電圧は 0 — その瞬間だけただの導線と同じにふるまう。
→ コンデンサーを導線に置き換えた回路で初期電流を求める。

ポイント 「直後は導線、十分後は断線」— コンデンサーの二つの極限の顔。この 2 状態をおさえれば、途中経過(徐々に充電)も定性的に描ける。

解答
電球の電流と電圧の関係は、測定された特性曲線(温度上昇で抵抗が増えるため、上に凸に寝ていく曲線)で与えられる。
一方、回路(電池 E・抵抗 R と直列)からは V = E−RI という直線(条件式)が成り立つ。
実際の動作点は、両方を同時に満たす点 = 特性曲線と直線の交点 — グラフ上で交点を読めばよい。

ポイント 「式が使えない相手には、グラフの交点で連立する」— 非直線素子の標準解法。直線 V = E−RI は B3-1 の電池の直線そのもの:部品ごとの"言い分"の交わる点が答え。

解答
① 並列部:60×30/90 = 20 Ω。全体:20+20 = 40 Ω(アイ = 40)
② I = 120/40 = 3.0 A(ウ = 3、エ = 0)
③ 並列部の電圧:V = 20×3.0 = 60 V → R₃:I₃ = 60/30 = 2.0 A(オ = 2、カ = 0)
(R₂ は 1.0 A、和 3.0 A ○)
④ P₁ = R₁I² = 20×3.0² = 180 W(キクケ = 180)
⑤ 並列は V 共通(60 V)なので P = V²/R:抵抗の小さい R₃ の方が大きい:(b)(コ = (b))
(P₂ = 60 W、P₃ = 120 W)

ポイント
• 全体の検算:P 合計 = 120×3.0 = 360 W = 180+60+120 ○ — 電力の帳簿が 1 周で閉じることまで確かめる。
• ⑤の判断根拠は「共通なのは V」— もし直列(I 共通)なら P = RI² で大きい抵抗が勝つ:共通量で顔を選ぶ思想の試金石。

解答
① V = E−rI
② 右下がりの直線 — 縦軸切片(I = 0)が起電力 E、傾きの大きさが内部抵抗 r。
③ 傾き:r = (1.5−1.1)/(0.60−0.20) = 1.0 Ω
切片:E = 1.5+1.0×0.20 = 1.7 V
④ V = 1.7−1.0×0.50 = 1.2 V、外部抵抗 R = V/I = 2.4 Ω
⑤ 短絡(V = 0):I = E/r = 1.7 A

ポイント
• ③の検算:もう 1 点でも E = 1.1+1.0×0.60 = 1.7 ○ — 両方の測定点に戻すのが直線決定の作法。
• ⑤は直線を V = 0 まで延長した横軸切片 — グラフの両端(切片)に E と短絡電流が住んでいる、という図の読み。

解答
① 直後:コンデンサーの電圧 0 → R₂ は短絡され、回路は R₁ のみ:
I₀ = 12/2.0 = 6.0 A
② 十分後:コンデンサーの枝は電流 0 → R₁ と R₂ の単純な直列:
I = 12/(2.0+4.0) = 2.0 A
③ コンデンサーの電圧 = R₂ の電圧:V_C = 4.0×2.0 = 8.0 V
④ Q = CV_C = 3.0×10⁻⁶×8.0 = 2.4×10⁻⁵ C
⑤ U = (1/2)CV_C² = (1/2)×3.0×10⁻⁶×64 = 9.6×10⁻⁵ J

ポイント
• ①→②で電流が 6.0 → 2.0 A へ減衰していくのが充電の物語 — 2 つの極限を先に押さえれば、途中は「その間を滑らかにつなぐ」だけ。
• ③の「コンデンサーの電圧 = 並列相手の電圧」が章またぎの接続点 — 回路(第3章)で電圧を決め、蓄電(第2章)で Q と U に翻訳する分業。

Q1:○ — エルステッドの発見(1820):電流のまわりに、右ねじの向きの同心円の磁場。電気と磁気が初めて握手した歴史的事実。

Q2:(c) — 電磁力は両方に垂直(フレミング左手の親指)。「電流の向きに押される」でも「磁場の向きに押される」でもない、3 次元の直交がこの章の空間感覚。

Q3:○ — 相手の電流が作る磁場の中で力を受ける、の連鎖 — 向きを追うと同向きは引力、逆向きは斥力(恋敵の逆:B3-2)。

Q4:(c) — ローレンツ力はつねに速度と垂直(f = qv×B の構造)— 垂直な力は仕事をしない(第1巻・第5章)。だから磁場は粒子の向きだけ変え、速さは変えない。

Q5:(c) — T = 2πm/(qB):速さも半径も入っていない。速い粒子は大きい円を同じ時間で回る — サイクロトロン(加速器)が成立する魔法の一行。

解答
右ねじ:親指を電流(上)に向けると、指の巻く向きは上から見て反時計回り。
真東の点では 北向き。

ポイント 右ねじは「親指 = 電流、巻く指 = 磁場」— 図を上から見た同心円(反時計回り)を描けば、東西南北のどこでも即答できる。

解答
(a)(b)(c) すべて正しい

ポイント 電気力線(第1章)と同じ文法 — 「出る極・入る極」「交わらない」「密 = 強い」。ただし磁力線は必ず閉じた輪になる(N だけ・S だけの磁石は存在しない)点が電気との違い。

解答
右ねじ:電流(北向き)のまわりの磁場は、導線の真下では西向き。
N 極は西へ振れる。

ポイント エルステッドの実験の再現 — 「導線の下」の磁場の向きを右ねじで拾う練習。磁針は地磁気(北向き)との合成磁場を向くので、実際は西寄りに傾く。

解答
H = I/(2πr) = 3.14/(2×3.14×0.50) = 1.0 A/m

ポイント 直線電流の磁場は 1/r で減衰(逆2乗ではない! 点電荷の E = kQ/r² と混同しない)。分母の 2πr は「半径 r の円周」— 磁場が円周に沿って広がる形の反映。

解答
r = I/(2πH) = 6.28/(2×3.14×2.0) = 0.50 m

ポイント 距離の逆算 — H ∝ 1/r なので「電流 2 倍・磁場 2 倍なら同じ距離」という比例の読みでも検算できる(A2-1 との比較)。

解答
B = μ₀H = 4π×10⁻⁷×1.0 = 1.256×10⁻⁶ ≒ 1.3×10⁻⁶ T

ポイント B = μH が H と B の換算式(空気中は μ₀)。地磁気が約 3×10⁻⁵ T — 数 A の電流が 0.5 m 先に作る磁場は地磁気の 1/20 ほど、という量感。

解答
H = I/(2r) = 2.0/(2×0.10) = 10 A/m

ポイント 円形電流の中心は I/(2r) — 直線(2πr)と違い π がない。「直線は円周で割る、円の中心は直径で割る」と対で記憶。

解答
H = N×I/(2r) = 50×10 = 5.0×10² A/m

ポイント N 巻きは同じ電流が N 本重なったのと同じ — 磁場は単純に N 倍(重ね合わせ)。少ない電流で強い磁場を得る、コイルの存在理由。

解答
H = nI = 1000×2.0 = 2.0×10³ A/m
B = μ₀H = 4π×10⁻⁷×2.0×10³ ≒ 2.5×10⁻³ T

ポイント ソレノイドの内部はほぼ一様な磁場(棒磁石の内蔵版)— n は「総巻数」でなく「1 m あたり」である点が最頻出の事故。電磁石・MRI の心臓部。

解答
F = IBL = 2.0×0.50×0.30 = 0.30 N

ポイント F = IBL(I ⊥ B のとき)— 「電流の川」が磁場から受ける水圧のような力。3 文字の積、単位は A·T·m = N。

解答
フレミングの左手:中指(電流)を北、人差し指(磁場)を上に向けると、親指は東。
東向き

ポイント 左手の指の割り当て(中指から I・B・F = 電・磁・力)を固定して体に覚えさせる — 向きの問題は公式でなく手で解く。

解答
1 m あたり:F = μ₀I₁I₂/(2πd) = (4π×10⁻⁷×10×10)/(2π×0.20)
= 2×10⁻⁷×100/0.20 = 1.0×10⁻⁴ N/m の引力

ポイント μ₀/(2π) = 2×10⁻⁷ をひとかたまりで使うと速い。同じ向きは引力 — 「相手の作る磁場の中で左手」の 2 段推論の結果(導出は B3)。

解答
F = IBLsinθ = 5.0×0.40×0.50×sin30° = 1.0×0.50 = 0.50 N

ポイント 斜めのときは sinθ(垂直な成分だけが効く) — θ = 90° で最大、θ = 0°(平行)で 0。力の分解(第1巻・第3章)の磁気版。

解答
θ = 0 なので F = 0(力を受けない)

ポイント 磁場に沿って流れる電流は"素通り" — 電磁力は横切る成分にしか働かない。ソレノイド内の軸方向の導線が力を受けない、などの判定に使う。

解答
つり合い:IBL = mg
I = mg/(BL) = 4.0×10⁻³×9.8/(0.98×0.20) = 3.92×10⁻²/0.196 = 0.20 A

ポイント 電磁力 vs 重力のつり合い(第1巻・第3章の型に F = IBL が参加)— リニアモーターカーの浮上の最小モデル。図示(上向き IBL、下向き mg)から 1 行。

解答
f = qvB = 1.6×10⁻¹⁹×2.0×10⁶×0.50 = 1.6×10⁻¹³ N

ポイント f = qvB — 電流の力 F = IBL の"1 粒版"(つながりは B6-1)。極小の力だが、粒子の質量も極小なので加速度は巨大。

解答
左手(中指 = 速度の向き:東、人差し指 = 磁場:上)→ 親指:南向き
電子(負電荷)は逆向き:北向き

ポイント ローレンツ力の向きは「正電荷の速度を電流とみなして左手」— 負電荷は答えを裏返す。この 1 手順で全パターンを処理。

解答
仕事をしない — ローレンツ力はつねに速度と垂直だから(垂直な力の仕事は 0:第1巻・第5章)。
よって運動エネルギーは変わらず、速さは一定に保たれる(向きだけが変わる)。

ポイント 「曲げるが速めない」がローレンツ力の性格 — 等速円運動(A7)の資格そのもの。磁場で粒子を加速することはできない(加速は電場の仕事:第1章)。

解答
向心力の式:qvB = mv²/r
r = mv/(qB) = 1.6×10⁻²⁷×1.0×10⁶/(1.6×10⁻¹⁹×0.10) = 0.10 m

ポイント r = mv/(qB) — 「重い・速いほど大回り、電気量・磁場が強いほど小回り」。導出はローレンツ力 = 向心力の 1 行(第1巻・第7章)。

解答
T = 2πr/v = 2πm/(qB) = 2×3.14×1.6×10⁻²⁷/(1.6×10⁻¹⁹×0.10)
= 6.3×10⁻⁷ s

ポイント 途中で v が消える(r ∝ v だから)— 周期は粒子の種類(m/q)と磁場だけで決まる。概念チェック Q5 の計算版。

解答
① r ∝ v:2 倍(0.20 m)
② T は v によらない:変わらない(6.3×10⁻⁷ s)

ポイント 「大きい円を同じ時間で」— この性質がサイクロトロン(一定周期の電圧で粒子を加速し続ける装置)を可能にした。周期一定は磁場中円運動の指紋。

解答
2 辺は電流が逆向きなので、逆向きで同じ大きさの力を受ける — この対が回転(偶力)を生む。
そのまま半回転すると力の向きが回転を戻す向きになってしまうため、整流子で半回転ごとに電流を反転させ、つねに同じ向きに回し続ける。

ポイント モーター = 「F = IBL × 2 + タイミング係(整流子)」。第5章の発電機(逆の変換)と表裏の関係にある装置。

解答
B = F/(IL) = 6.0×10⁻²/(3.0×0.10) = 0.20 T

ポイント 力の測定から B を逆算 — 「電流天秤」による磁束密度の測定原理。F = IBL は B の定義式(1 A・1 m あたり 1 N の力なら 1 T)でもある。

解答
磁場に垂直な速度成分は、ローレンツ力によって円運動になる。
磁場に平行な速度成分は、力を受けず(θ = 0)等速のまま。
2 つの重ね合わせで、粒子は磁力線のまわりを回りながら磁力線に沿って進む(らせん運動) — 磁力線を"レール"にして極域へ導かれる。

ポイント 「垂直は円・平行は素通り」の分解(B5-1)— らせんは円運動と等速直線運動の合成。地磁気は宇宙線から地球を守る"見えないシールド"でもある。

解答
中間点で、2 本の電流が作る磁場は大きさが等しく(距離 d/2)、右ねじで向きを調べると互いに逆向き。
合成磁場は 0

ポイント 同じ向きの平行電流のあいだでは磁場が打ち消し合う — 電場(第1章 A4-3:同符号の中点で 0)と同じ「対称の凪」。

解答
逆向きの電流では、中間点の磁場が同じ向きにそろう。
各電流の寄与:H₀ = I/(2π×d/2) = I/(πd)
合成:H = 2I/(πd)

ポイント 「同向き電流は間で消え、逆向き電流は間で強め合う」— 電荷(異符号の中点で加算:第1章 A4-2)と対応が逆になるのが面白い。毎回右ねじで確認する価値。

解答
導線の磁場は、片側では外部磁場 H₀ と逆向きになる(右ねじで判定)。その側の、
条件:I/(2πr) = H₀ → r = I/(2πH₀) の距離の直線上で磁場 0

ポイント 「打ち消せる側はどちらか」の判定(右ねじ)→ 大きさの方程式、の 2 段 — 電場 0 の点(第1章 B2-3)と同じ手筋の磁気版。

解答
直線:H = I/(2πr)/円の中心:H = I/(2r)/ソレノイド:H = nI
共通:H は電流 I に比例(2 倍で 2 倍)。
長さの効き方:直線・円は r に反比例(2 倍で半分)、ソレノイドは r を含まず n に比例(巻きを密に = 1/n を半分 → 2 倍)。

ポイント 3 公式は「I に比例」で一枚岩 — 違いは幾何(どの長さで割るか)だけ。表 1 枚に圧縮して携帯する。

解答
関係:B = μH(空気中は μ₀)。
鉄は透磁率 μ が μ₀ の数百〜数千倍 — 同じ H(同じ電流・巻数)でも B が桁違いに大きくなるため、鉄心入りソレノイドは強力な電磁石になる。

ポイント 「H は電流が決める骨格、B は媒質(μ)が増幅した実力」— 鉄心はコイルの"ブースター"。モーター・変圧器に鉄心が入っている理由。

解答
ソレノイドの内部では、各巻きの円形電流が作る磁場(軸方向)が全巻きで同じ向きに重なり合う。
中央付近ではどの位置でも「前後の巻きからの寄与」がほぼ同じだけ足されるため、磁場は場所によらずほぼ一定(一様)になる。端では片側の巻きが欠けるぶん弱まる。

ポイント 一様性の理由は「寄与の対称性」— 平行板コンデンサーの一様電場(第1章)の磁気版。だからソレノイド内部は"磁場の実験室"になる。

解答
導線 1 が距離 d に作る磁束密度:B₁ = μ₀I₁/(2πd)
導線 2 の長さ 1 m が受ける力:F = I₂B₁×1
F = μ₀I₁I₂/(2πd)(1 m あたり) ∎

ポイント 「1 が磁場を作り、2 がその中で力を受ける」の 2 段推論 — 電磁気の相互作用はつねにこの分業(直接の遠隔力ではなく、場を仲介)。

解答
同じ向き(ともに上向きの電流、左右に並ぶ)の場合:導線 1 の磁場は導線 2 の位置で紙面の裏向き。左手(電流:上、磁場:裏)→ 力は導線 1 へ向かう向き — 引力。
逆向きなら磁場は同じでも電流が逆 → 力が反転して斥力 ∎

ポイント 結論の暗記より「右ねじ → 左手」のリレーを 1 度自分の手で通すこと — 電流の組み合わせが変わっても同じ 2 手で必ず出る。

解答
F = 2×10⁻⁷×1×1/1 = 2×10⁻⁷ N/m
かつての 1 A の定義:「1 m 離した平行導線に等しい電流を流したとき、1 m あたり 2×10⁻⁷ N の力がはたらく電流」— この式がそのまま単位の土台だった。

ポイント μ₀ = 4π×10⁻⁷ が"きれいな数"なのは、定義の側を合わせた歴史の名残 — 定数の出どころを知ると、公式の景色が変わる。

解答
ローレンツ力が向心力:qvB = mv²/r
r = mv/(qB)
周期:T = 2πr/v = 2πm/(qB)(v によらない)∎

ポイント 第1巻・第7章「向心力の式に力を代入する」の磁気版 — 円運動の型は力の正体が変わっても不変。T から v が消える約分は答案でも見せ場。

解答
r = mv/(qB) を変形して
q/m = v/(rB)

ポイント 比電荷 q/m は「曲がりやすさ」の指標 — J.J. トムソンが電子で測定し(第7章)、電子の発見につながった歴史的な量。v・r・B はどれも実験で測れる。

解答
r = mv/(qB) ∝ m(v、q、B 共通)
水素:ヘリウム = m:4m = 1:4(ヘリウムが 4 倍の大回り)
同じ条件で入射しても質量ごとに別の円を描く — 到達位置の違いで質量を仕分けられる(質量分析)。

ポイント 「磁場は質量のふるい」— 半径の違いが質量の違いを空間の違いに翻訳する。同位体の分離・分析の原理(B5-3 で完成)。

解答
磁場に平行な成分 vcosθ:力を受けず等速直線運動。
磁場に垂直な成分 vsinθ:ローレンツ力で等速円運動(半径 mvsinθ/(qB)、周期 T = 2πm/(qB))。
合成するとらせん運動 — ピッチは 1 周期に平行方向へ進む距離:
ピッチ = vcosθ×T = 2πmvcosθ/(qB)

ポイント 「平行は素通り・垂直は円」の分解(A8-3)を式に — 周期が θ にも v にもよらない(Q5)ので、ピッチは平行成分だけで決まる。

解答
直進する条件:電気力と磁気力がつり合う
qE = qvB → v = E/B

ポイント q が約分される — どんな電気量・質量の粒子でも、速さ E/B のものだけが直進して選ばれる。E と B のつまみで"速度の関所"を作れる。

解答
選択後の速さ v = E/B。磁場 B' 中の円運動:r = mv/(qB') より
m = qrB'/v = qrBB'/E

ポイント 速度選択器(B5-2)+ 円運動(B4)の直列 — 未知の m が、すべて測れる量(q、r、B、B'、E)で書けた。質量分析器の完成形:同位体の発見・化学分析の主力装置。

解答
導線内の電子数:N = n×SL。1 個の受ける力:f = evB。
合計:F = N×evB = nSL×evB = (envS)×BL
かっこの中は電流 I(第3章 B1-1)なので F = IBL ∎

ポイント 「導線が受ける力」の正体は「中の電子たちが受けるローレンツ力の総和」— F = IBL と f = qvB は別の法則ではなく、マクロとミクロの同じ 1 つの力。

解答
磁場中を流れるキャリアはローレンツ力で導体の片側に寄せられ、そちら側が帯電して側面間に電圧(ホール電圧)が生じる。
キャリアが正か負かで寄る側の符号が逆になる(同じ電流でも運動の向きが逆だから)— 生じた電圧の正負を測れば、キャリアの符号が判定できる ∎

ポイント 電流だけ見ても正のキャリアが右へ行くのと負が左へ行くのは区別できない — 磁場が"中身"をあぶり出す。半導体(第3巻の外だが)の p 型・n 型の判定にも使われる現役の測定。

解答
一定の力 F = IBL による等加速度運動(第1巻・第2章):
加速度 a = IBL/m、静止から時間 t 後:
v = at = IBLt/m

ポイント リニアモーターの最小モデル — ただし実際は棒が動くと誘導起電力(第5章!)が生まれて電流が減っていく。「無視する」とした仮定こそが次章の主役、という架け橋。

解答
① H = I/(2πr) = 6.28/(2×3.14×0.50) = 2.0 A/m(ア = 2、イ = 0)
② 右ねじ(電流:北)— 導線の東側では磁場は鉛直下向き:(c)(ウ = (c))
③ B = μ₀H = 4π×10⁻⁷×2.0 ≒ 2.5×10⁻⁶ T(エ = 2、オ = 5)
④ F = I₂BL = 10×2.51×10⁻⁶×1.0 ≒ 2.5×10⁻⁵ N(カ = 2、キ = 5)
⑤ 同じ向きの平行電流は引き合う:(a) 西向き(ク = (a))
(左手:電流 北・磁場 下 → 力 西 ○)

ポイント
• ②は「上から見て反時計回りの同心円」を描けば、東側 = 下向きが図から読める — 東西南北 × 上下の 3 次元は、上から見た図と横から見た図の 2 枚で処理する。
• ④は公式 μ₀I₁I₂/(2πd) の直接代入(2×10⁻⁷×62.8/0.50)でも一致 ○ — 2 段推論と公式の両輪。

解答
① はたらく力:重力 mg(下)、導線の張力 T(導線の方向)、電磁力 F = IBL(水平、棒と磁場の両方に垂直) — 3 力を棒の断面図に矢印で描く。
② 水平:Tsinθ = IBL/鉛直:Tcosθ = mg
③ 2 式を割って tanθ = IBL/(mg)
④ tanθ = 2.0×0.49×0.20/(2.0×10⁻²×9.8) = 0.196/0.196 = 1.0
θ = 45°
⑤ 電磁力の向きが反転し(左手で確認)、反対側へ同じ 45° 傾いて静止する。

ポイント
• ③の tanθ = F/(mg) は、帯電球(第1章)・電車内の振り子(第1巻)と同じ「水平力 ÷ 重力」— 力の出どころが替わっても幾何は 1 つ。
• ⑤は「電流の向き → 力の向き」の連動を問う仕上げ — 大きさは変えず向きだけ裏返る、という対称性の確認。

解答
① f = qvB。左手(速度:右、磁場:裏から表)→ 大きさ qvB、紙面内で上向き
② ローレンツ力はつねに速度と垂直で、大きさ qvB が一定(速さが変わらないため)— 「一定の大きさで進路に直角」の力は向心力の資格そのもので、粒子は等速円運動をする。
③ 向心力の式:qvB = mv²/r → r = mv/(qB)
④ T = 2πr/v = 2πm/(qB) — r ∝ v により v が約分され、周期は速さによらない。
⑤ r = 1.6×10⁻²⁷×2.0×10⁵/(1.6×10⁻¹⁹×0.20) = 1.0×10⁻² m(1.0 cm)
T = 2×3.14×1.6×10⁻²⁷/(1.6×10⁻¹⁹×0.20) = 3.1×10⁻⁷ s

ポイント
• ②の論述は「垂直(→ 速さ不変)」と「大きさ一定」の2 点セットで初めて円が保証される — どちらか片方では足りない、と言えるのが理解の証明。
• ⑤の r = 1 cm・T = 0.3 μs:実験室スケールの磁場で素粒子が手のひらサイズの円を描く — 霧箱写真・加速器の設計感覚につながる数値。

Q1:× — 誘導を起こすのは磁束の変化(ΔΦ)。どんなに強い磁石でも、止まっていれば ΔΦ = 0 で電流は 0 — 「変化だけが電圧を生む」がこの章の第一原理。

Q2:(b) — V = NΔΦ/Δt:変化の速さが主役。同じ磁石でも、速く動かすほど大きな電圧(A6 系)。

Q3:○ — レンツの法則。自然は変化に"抵抗"する — その正体はエネルギー保存(B3-1)。

Q4:(b) — 近づく N 極を押し返す(コイルの手前が N 極になる向きに電流)— 「妨げる」は磁束の言葉でも力の言葉でも同じ結論になる。

Q5:(b) — U = (1/2)LI²:コンデンサーの (1/2)CV² と同型(電流を 0 から育てる間の仕事の積算)。コイルは電流の形でエネルギーをたくわえる。

解答
Φ = BS = 0.20×0.30 = 6.0×10⁻² Wb

ポイント 磁束 = 「面を貫く磁力線の総量」— B(密度)× S(面積)。単位 Wb = T·m² の構造がそのまま定義。

解答
Φ = BScos60° = 6.0×10⁻²×0.50 = 3.0×10⁻² Wb

ポイント 数えるのは面を貫く成分だけ(cosθ)— 面を磁場と平行にすれば(θ = 90°)貫く磁束は 0。回転コイル(B6)の伏線。

解答
ΔΦ = (0.50−0.20)×0.30 = 9.0×10⁻² Wb

ポイント 誘導の主役は Φ そのものでなく ΔΦ(変化量) — 「あと・まえ」の差をとる癖を、ここで式の形にしておく。

解答
V = ΔΦ/Δt = 6.0×10⁻²/0.20 = 0.30 V

ポイント 起電力 = 磁束の変化の速さ(毎秒何 Wb 変わるか)。Wb/s = V — 単位がそのまま法則を語る。

解答
V = NΔΦ/Δt = 50×0.30 = 15 V

ポイント N 巻きは「同じ起電力の電池を N 個直列」— 1 巻きごとの起電力が足し上がる。発電機・変圧器が多数巻きである理由。

解答
Δt = NΔΦ/V = 100×2.0×10⁻³/4.0 = 5.0×10⁻² s

ポイント 同じ ΔΦ でも短時間ほど高電圧 — 「ゆっくり抜けば小さく、さっと抜けば大きく」。時間の逆算で法則の構造(Δt が分母)を確認。

解答
下向きの磁束が増える → それを妨げる上向きの磁場を作る向き:右ねじより
上から見て反時計回り

ポイント 判定は 3 手:「①貫く磁束の向き・増減 → ②打ち消す磁場の向き → ③右ねじで電流」。「コイルの上面が N 極になって磁石を押し返す」(Q4)と力で読んでも同じ結論。

解答
下向きの磁束が減る → 減少を補う下向きの磁場を作る向き:
上から見て時計回り(コイルの上面が S 極になり、去る N 極を引き止める)

ポイント 「増えれば押し返し、減れば引き止める」— どちらも現状維持の向き。近づけ・遠ざけで答えが反転する対を、必ずセットで練習。

解答
磁石を少し近づけると、コイルが磁石を引き込む向きに力を及ぼし、磁石は勝手に加速 — 磁束変化はさらに増え、電流も増え…と、外から仕事をしないのに運動エネルギーと電気エネルギーが増え続ける(永久機関)ことになり、エネルギー保存則に反する。
よって誘導電流は変化を妨げる向きでなければならない。

ポイント レンツの法則 = エネルギー保存の門番 — 「妨げる」は自然の意地悪ではなく、帳簿が合うための必然。発電に必ず仕事が要る理由でもある。

解答
V = vBL = 5.0×0.40×0.50 = 1.0 V

ポイント V = vBL — 動く棒は「化学反応の代わりに運動で電荷を押し上げる電池」。3 つが互いに垂直、が適用条件。

解答
棒内の正電荷の速度は右向き、磁場は裏向き — ローレンツ力(左手)は上向き。
正電荷が上端 P に寄せられ、P が高電位。

ポイント 高電位側の判定は「中の正電荷がローレンツ力でどちらへ運ばれるか」— 棒は内部で + を汲み上げるポンプ。電池の +極にあたる側が P。

解答
棒は Δt に vΔt 進み、面積は ΔS = LvΔt 増える。
磁束変化:ΔΦ = BΔS = BLvΔt
起電力:V = ΔΦ/Δt = vBL ∎

ポイント ローレンツ力(A4-2)と磁束変化(本問)の2 ルートが同じ式に着地 — 電磁誘導の 2 つの顔が 1 つの現象であることの、教科書級の確認。

解答
I = V/R = 1.0/2.0 = 0.50 A

ポイント 動く棒 = 起電力 vBL の電池、レール+抵抗 = 外部回路 — 回路図に描き直すと、第3章のオームの法則がそのまま使える。

解答
F = IBL = 0.50×0.40×0.50 = 0.10 N
向き:レンツの法則より、棒の運動を妨げる向き(運動と逆向き)

ポイント 誘導電流の流れる棒は必ずブレーキをかけられる — 「妨げる」が力の言葉に翻訳された姿。左手で確認しても同じ向きになる(なるはず、が検算)。

解答
外力 = ブレーキ力と同じ 0.10 N(等速)。
仕事率:P = Fv = 0.10×5.0 = 0.50 W
電力:I²R = 0.50²×2.0 = 0.50 W — 一致 ○

ポイント 「手の仕事率 = 回路の発熱」がこの舞台のエネルギー保存 — 発電とは「力学的仕事を電気に転写する」ことだと、数値の一致が語る。

解答
磁束が減るので、もとの磁束と同じ向きの磁場を作る向き(減少を補う向き)に流れる。

ポイント 「引き抜き = 減少 = 引き止め」— A3-2 と同じ判定。増減さえ言えれば、装置がコイルでも棒でも判定手順は 1 つ。

解答
入るとき:磁束が増える — 一定の誘導電流(妨げる向き)。
完全に中:磁束は一定(ΔΦ = 0)— 電流は 0。
出るとき:磁束が減る — 入るときと逆向きの一定電流。

ポイント 「縁を横切るときだけ電流が流れる」— 中では 0、が盲点。電流の時間グラフは「山 → 0 → 谷」の 3 段(共テ頻出のグラフ選択)。

解答
どちらも、変化する磁場(または磁場中の運動)によって金属内に渦電流が誘導されることが原因。
IH:高速で変化する磁場が鍋底に渦電流を流し、鍋自身の抵抗でジュール熱が発生(鍋が発熱体)。
銅板:落下(磁束変化)を妨げる向きの渦電流が流れ、ブレーキの力を受けてゆっくり落ちる(電磁ブレーキ)。

ポイント 渦電流 = 「かたまりの金属に流れる誘導電流」— 加熱(IH・電磁調理)にもブレーキ(新幹線・ジェットコースター)にも化ける、レンツの法則の実用形。

解答
V = LΔI/Δt = 0.20×50 = 10 V
向き:電流の増加を妨げる向き(電流と逆向きに押し返す向き)

ポイント 自己誘導 = コイルが自分の磁束の変化に反応する現象 — コイルは「電流の慣性」をもち、急な変化に逆らう(質量が速度変化に逆らうのと同じ役回り)。

解答
L = V×Δt/ΔI = 6.0×0.30/0.90 = 2.0 H

ポイント L の測定式 — 「電流を毎秒 1 A 変えたとき何 V 出るか」が L の定義そのもの(V = LΔI/Δt の読み下し)。

解答
U = (1/2)LI² = (1/2)×2.0×3.0² = 9.0 J

ポイント コイルは電流の形でエネルギーをためる((1/2)LI²)— コンデンサーの (1/2)CV²(電圧の形)と双子の式。スイッチを切ると、この 9.0 J が行き場を求めて火花になる(A8-3)。

解答
V₂ = MΔI₁/Δt = 0.50×20 = 10 V

ポイント 相互誘導 = 一次の磁束変化が鉄心などを介して二次を貫く現象 — 導線がつながっていないのに電圧が渡る、"磁束の橋"。

解答
装置:変圧器(トランス)
直流(一定電流)では ΔI/Δt = 0 なので、二次に電圧は生じない — 変圧器が交流専用である理由。

ポイント 「変化だけが電圧を生む」(Q1)の応用 — 交流(第6章)が送電の主役になった歴史的理由が、この 1 行に含まれている。

解答
スイッチを切ると電流がきわめて短時間で 0 へ向かう — ΔI/Δt が非常に大きくなり、V = LΔI/Δt の大きな誘導起電力が生じて、電流を流し続けようと接点の隙間の空気を突き破る(火花放電)。

ポイント 「コイルは急に止まれない」— たまっていた (1/2)LI² の行き先が火花。自動車の点火プラグ・蛍光灯の点灯回路は、この"暴れる電圧"をわざと利用した発明。

解答
棒とともに動く自由電子は、ローレンツ力 f = evB を受けて棒の一端に寄る — 棒の中に電荷の偏りができ、電場 E が生じる。
偏りが進むと、電場からの力 eE がローレンツ力とつり合って移動が止まる:
つり合い:eE = evB → E = vB
棒の両端の電位差:V = EL = vBL ∎

ポイント 動く棒は「ローレンツ力が電荷を汲み上げるポンプ」— つり合いに達した偏りが起電力の正体。電池の化学反応の役を、運動+磁場が演じている。

解答
棒は Δt に vΔt 進み、回路の面積が ΔS = LvΔt 増える。
磁束変化:ΔΦ = B×LvΔt
起電力:V = ΔΦ/Δt = vBL ∎

ポイント ファラデーの法則の直接適用 — 「棒が掃いた長方形」を図に塗ると ΔS が一目になる。

解答
力の見方(ローレンツ力)と磁束の見方(ファラデー)が同じ式に至る — 電磁誘導は 2 つの法則があるのではなく、1 つの現象の 2 つの記述だということ。

ポイント 問題によって速い方を選んでよい(棒 1 本なら力、コイルなら磁束)— ただし答えは必ず一致する、という安心が 2 刀流の価値。

解答
速さ v のとき:電流 I = vBL/R、棒への力 F = IBL = B²L²v/R(運動と逆向き)。
運動方程式:ma = −B²L²v/R
a = −B²L²v/(mR)
— 速いほど強いブレーキがかかる(a ∝ −v)ため、棒は減速をゆるめながらしだいに遅くなり、やがて止まる(電磁ブレーキ)。

ポイント 「a ∝ −v」は空気抵抗(第1巻)と同じ形 — 指数関数的な減衰。ブレーキの強さ B²L²/R は"電磁ブレーキの利き"を表す定数。

解答
回路の式(キルヒホッフ):E−vBL = RI → I = (E−vBL)/R
棒は F = IBL で加速するが、v が増えるほど誘導起電力 vBL が E に迫り、I → 0、力 → 0 — 加速が止まる。
終端速度:E−v∞BL = 0 より v∞ = E/(BL)

ポイント 「逆起電力が電池に追いつくまで」がモーターの加速の物語 — 終端では電流 0(理想)で、モーターが無負荷で回るときの回転数の決まり方そのもの。

解答
止まるまでに失われた運動エネルギーが、すべてジュール熱に変わる(他にエネルギーの行き先がない):
ジュール熱の総量 = (1/2)mv₀²

ポイント 途中の複雑な減衰を一切追わずに、エネルギー保存の一撃で総量が出る — 「過程は複雑、収支は単純」(第1巻・第5章の思想)の電磁気版。

解答
磁石を近づけると、誘導電流は磁石を押し返す向きに流れる(レンツ)— 近づけ続けるには外から仕事が必要で、その仕事が電気エネルギー(→ ジュール熱)に変わる:帳簿が合う。
もし助ける向きなら、磁石は勝手に引き込まれて加速し、電流も増え続ける — 仕事の入力なしにエネルギーが湧き出す永久機関となり、エネルギー保存則に反する。
よって「妨げる向き」はエネルギー保存の必然 ∎

ポイント レンツの法則は独立の新法則ではなく、保存則の門番 — 「発電にはただ飯がない」ことの向きへの翻訳。

解答
磁石が近づくときは押し返され、遠ざかるときは引き止められる — どちらの局面でも運動を妨げられるため、磁石は自由落下より遅く落ちる。
コイルに発生したジュール熱の出どころは、磁石の重力による位置エネルギー(自由落下なら運動エネルギーになるはずだった分の一部が熱に化けた)。

ポイント 「行き(押し返し)も帰り(引き止め)もブレーキ」— レンツは常に現状維持側。エネルギーの追跡(位置 → 運動+熱)まで書いて完答。

解答
パイプ:磁石が落ちると、パイプの各部分が連続した円形回路として渦電流を流し、レンツの法則により落下を妨げる — ゆっくり落ちる。
スリット入り:縦の切れ目が電流の輪を断ち切るため、渦電流がほとんど流れられず、ブレーキ力が激減 — 速く落ちる。

ポイント 「電流は閉じた輪でしか流れない」— スリット実験は渦電流の実在を裏から証明する対照実験。変圧器の鉄心が薄板の積層(渦電流対策)である理由にも直結。

解答
コイル自身の電流 I が作る磁束は I に比例:Φ = LI(L の定義)。
電流が変化すると Φ も変化し、ファラデーの法則より
V = ΔΦ/Δt = Δ(LI)/Δt = L×ΔI/Δt ∎(向きは変化を妨げる向き)

ポイント 自己誘導はファラデーの法則の自分自身への適用 — 新しい原理ではない。L は「電流 1 A あたり何 Wb 自分を貫くか」という自己結合の強さ。

解答
横軸 I・縦軸 Φ(= LI)のグラフは原点を通る直線。
電流を少し増やす間に電源がコイルの逆起電力に抗してする仕事は「そのときの Φ の変化 × I」に相当し、積み上げると直線の下の三角形の面積:
U = (1/2)×I×Φ = (1/2)×I×LI = (1/2)LI² ∎

ポイント コンデンサーの Q-V 三角形(第2章)と完全に同型 — 「成長する相手に逆らって積む仕事は 1/2」。C ↔ L、V ↔ I、Q ↔ Φ の対応表が 2 つの素子を橋渡しする。

解答
直後:コイルは電流の急変を妨げる — I = 0 のまま(コイルは一瞬"断線"のようにふるまう)。
十分後:電流が一定になれば ΔI/Δt = 0 で起電力なし — ただの導線となり、I = E/R。
対比:コンデンサーは「直後:導線/十分後:断線」— コイルと完全に真逆。

ポイント | 素子 | 直後 | 十分後 |
|---|---|---| | コンデンサー | 導線(V = 0) | 断線(I = 0) | | コイル | 断線(I = 0) | 導線(V = 0) | この 2×2 表が過渡現象の全地図 — 「急に変えられない量」(C は電圧、L は電流)を言えれば導ける。

解答
二次コイルを貫く磁束は一次電流に比例:Φ₂ = MI₁。
ファラデーの法則より
V₂ = ΔΦ₂/Δt = M×ΔI₁/Δt ∎

ポイント 自己誘導(B4-1)と同じ 2 行 — 貫かれる相手が自分(L)か隣人(M)かの違いだけ。M は 2 つのコイルの"磁束の結びつき"の強さ。

解答
共通の鉄心により、1 巻きあたりの磁束変化 ΔΦ/Δt は両コイルで共通。
一次:V₁ = N₁×ΔΦ/Δt/二次:V₂ = N₂×ΔΦ/Δt
割り算して V₁:V₂ = N₁:N₂ ∎

ポイント 変圧の原理は「1 巻きあたりの電圧が共通」の一言 — 巻数はその電圧を何個直列に積むかの個数。昇圧も降圧も巻数比だけで自在。

解答
電力保存 V₁I₁ = V₂I₂ より、電圧を 10 倍に上げると電流は 1/10 になる。
送電線(抵抗 r)での発熱は P = rI² — 電流が 1/10 なら発熱は 1/100 に激減する。
同じ電力を送るなら、高電圧・小電流の方が損失が圧倒的に少ない — これが高電圧送電(数十万 V)の理由。

ポイント 「電圧 10 倍 → 損失 1/100」の 2 乗の御利益 — 変圧器(交流)が電力網の主役になった決定的な経済学。家庭の 100 V へは変電所で段階的に降圧。

解答
面の法線と磁場のなす角が ωt になるので
Φ = BScosωt(N 巻きなら NBScosωt)

ポイント 回転が cos に化ける — 等速円運動の射影 = 単振動(第1巻・第8章)の再演。磁束が振動すれば、その"変化の速さ"も振動する(次問)。

解答
Φ = NBScosωt は「振幅 NBS の単振動」の形。
単振動では、変位 Acosωt の変化の速さ(速度)は最大 Aω の −Aω sinωt — 同じ対応で、磁束の変化の速さは最大 NBSω:
V = NBSω×sinωt(振幅 V₀ = NBSω) ∎

ポイント 「cos の変化の速さは振幅 ω 倍の sin」— 微分を知らなくても、単振動の変位 ⇔ 速度の関係(x_max = A、v_max = Aω)の輸入で導ける。磁束が 0 を横切る瞬間(変化が最速)に電圧が最大、という位相のずれも読める。

解答
振幅 V₀ = NBSω を大きくする 4 法:
①巻数 N を増やす ②磁場 B を強くする ③コイルの面積 S を広げる ④回転を速くする(ω 増)

ポイント 発電機の設計変数が式に全部並んでいる — 実際の発電所は「強い電磁石(B)+多数巻き(N)+大型(S)+一定回転(ω:周波数 50/60 Hz を守る)」。第6章(交流)への引き継ぎ式。

解答
① 下向き磁束が増加 → 上向きの磁場で妨げる → (a) 反時計回り(ア = (a))
② 下向き磁束が減少 → 下向きの磁場で補う → (b) 時計回り(イ = (b))
③ 磁束が変化しない(ΔΦ = 0)→ (c) 電流は流れない(ウ = (c))
④ 同じ ΔΦ を短時間で → V = ΔΦ/Δt 大 → (a) 大きくなる(エ = (a))
⑤ 近づくときも遠ざかるときも運動を妨げられる → (b) 自由落下より遅い(オ = (b))

ポイント
• ③が本丸 — 「強い磁石がある」ことと「磁束が変化する」ことは別(概念チェック Q1)。静止 = ΔΦ = 0 = 電流 0。
• ⑤は B3-2 の共テ版 — コイルの発熱の分だけ、磁石の落下は必ず遅れる(エネルギーの帳簿)。

解答
① V = vBL
② I = vBL/R — 向きは、回路を貫く上向きの磁束の増加を妨げる向き(上から見て時計回りになる向き)。
③ F = IBL = B²L²v/R — レンツの法則より、棒の運動と逆向き。
④ 等速なので力のつり合い:外力 = B²L²v/R(運動の向き)
⑤ 外力の仕事率:P = Fv = B²L²v²/R
消費電力:I²R = (vBL/R)²×R = B²L²v²/R — 一致 ○
⑥ V = 3.0×0.50×0.40 = 0.60 V
I = 0.60/0.30 = 2.0 A
外力 F = IBL = 2.0×0.50×0.40 = 0.40 N
仕事率 P = Fv = 0.40×3.0 = 1.2 W(= I²R = 4.0×0.30 = 1.2 W ○)

ポイント
• ⑤の一致が「発電 = 力学的仕事の電気への転写」の証明書 — 手が 1.2 W 押し、抵抗が 1.2 W 温まる。途中に貯金なし(等速・磁束エネルギー一定)。
• ②の向きは「妨げる」の一言に、何(どの磁束の増加)を妨げるかを添える — 対象を明示した答案が満点の型。

解答
① V = vBL
② I = vBL/R
③ F = IBL = B²L²v/R — 落下(下向きの運動)を妨げる上向き。
④ 下向きを正として:ma = mg−B²L²v/R
⑤ 終端では a = 0:mg = B²L²v_f/R
v_f = mgR/(B²L²)
⑥ 終端速度では、位置エネルギーの減少率 = mgv_f。
一方、ジュール熱の発生率 = I²R = (v_fBL)²/R = v_f×(B²L²v_f/R) = v_f×mg(⑤より)
両者はともに mgv_f で等しい ○ — 落ちた分がそのまま熱になる定常状態。
⑦ v_f = 0.10×9.8×0.49/(0.70²×1.0²) = 0.480/0.49 = 0.98 m/s
(検算:I = v_fBL/R = 1.4 A、力 IBL = 0.98 N = mg ○)

ポイント
• ⑤の終端速度は「ブレーキが重力に追いつく速さ」— 力のつり合い(mg = B²L²v/R)と、⑥のエネルギー収支(mgv_f = I²R)は同じ 1 つの状態の 2 つの読み。
• ⑦の検算 2 連(力 0.98 N = mg、発熱率 0.96 W = mgv_f)まで回せば、答えの信頼度は桁違い — レール問題は検算ルートの宝庫。

Q1:× — 100 V は実効値。最大値は 100√2 ≒ 141 V — 瞬間的には ±141 V の間を毎秒 50〜60 往復している。

Q2:(a) — 高周波ほど ΔI/Δt が大きく、自己誘導の逆起電力が強くなる(第5章)— コイルは「速い変化が苦手」。

Q3:○ — 極板の間を電荷が渡るのではなく、充電と放電の繰り返しが回路に電流を往復させる。向きが変わり続ける交流だからこそ流れ続けられる。

Q4:(c) — L も C もエネルギーを蓄えては返すだけ((1/2)LI²・(1/2)CV² の出し入れ)— 熱にするのは抵抗だけ。電力会社が「無効電力」と呼ぶ正体。

Q5:(c) — 電波もγ線も真空中では同じ c — 違うのは f と λ の組み合わせ(c = fλ)だけ。「光は電磁波の一種」というマクスウェルの統一の帰結。

解答
① T = 1/f = 1/50 = 2.0×10⁻² s
② ω = 2πf = 2×3.14×50 = 3.1×10² rad/s

ポイント f・T・ω は単振動(第1巻・第8章)と同じ 3 点セット — 交流は「電圧の単振動」。1 秒に 50 回、向きが往復している。

解答
V_e = V₀/√2 = 141/1.41 = 1.0×10² V

ポイント √2 で割ると実効値 — 家庭の 100 V の"素顔"が 141 V。√2 ≒ 1.41 とのペアで、100 ⇔ 141 の往復を即答できるように。

解答
① ω = 100π より f = ω/2π = 50 Hz
② V_e = 141/√2 = 1.0×10² V

ポイント 式から読む練習 — sin の中身の係数が ω(第1巻・第8章の型)。「式 → f・T・実効値」の翻訳が交流のグラフ・式問題の入口。

解答
① I_e = V_e/R = 100/50 = 2.0 A
② P̄ = I_eV_e = 2.0×100 = 2.0×10² W

ポイント 実効値どうしなら直流と同じ計算 — これが実効値の存在理由。「交流の式に見えない」ことこそが設計の勝利。

解答
I₀ = √2×I_e = 1.41×2.0 = 2.8 A

ポイント 逆向きの換算(実効値 → 最大値は √2 倍)。ヒューズやスイッチの定格は瞬間の最大にも耐える必要がある — 最大値の出番。

解答
交流の瞬間の電力は絶えず変動するが、実効値を使うと平均電力が直流とまったく同じ形(P̄ = I_eV_e = I_e²R)で書けるから。
実効値は「同じ発熱をする直流に換算した値」— 電力の勘定に最も便利な"代表値"である。

ポイント 定義の由来(2 乗平均の平方根:B1)より先に、ご利益(直流の式が使える)で理解する — 実用が先、由来が後、の順で腑に落ちる概念。

解答
X_L = ωL = 2πfL = 2×3.14×50×0.50 = 1.6×10² Ω

ポイント X_L = ωL — 単位は Ω(電流の妨げとしては抵抗と同格)。ただし正体は自己誘導の逆起電力で、熱は出さない(A5)。

解答
I_e = V_e/X_L = 100/157 = 0.64 A

ポイント 形はオームの法則(V = XI)— リアクタンスは「交流版の抵抗」として大きさの計算に使える。位相のずれ(π/2 遅れ)は別枠で管理。

解答
① X_L = ωL ∝ f:2 倍(3.1×10² Ω)
② I_e = V_e/X_L:1/2 倍
位相:電流は電圧より π/2(1/4 周期)遅れる

ポイント 「コイルは高周波の関所」— 周波数に比例して締まる。低音だけ通すスピーカーの回路(ローパスフィルタ)の原理。遅れの理由は B2 で。

解答
X_C = 1/(ωC) = 1/(2×3.14×50×10×10⁻⁶) = 1/(3.14×10⁻³) = 3.2×10² Ω

ポイント X_C = 1/(ωC) — ω が分母:コイルと逆の周波数応答。式の形(逆数)ごと対で記憶する。

解答
I_e = V_e/X_C = 100/318 = 0.31 A

ポイント 「直流は通さない(X_C → ∞)のに、交流なら 0.3 A 流れる」— 充放電の往復(Q3)が電流の正体。極板間を電荷は渡っていない。

解答
① X_C ∝ 1/f:1/2 倍(1.6×10² Ω)
② I_e:2 倍
位相:電流は電圧より π/2 進む

ポイント 「コンデンサーは高周波の素通し」— コイルと正反対(ハイパスフィルタ)。L と C の逆向きの応答が、周波数で信号を仕分けるすべての回路(ラジオ・オーディオ)の土台。

解答
位相:同位相(電圧が最大の瞬間に電流も最大)
平均電力:P̄ = I_eV_e(= I_e²R)を消費する

ポイント 抵抗は交流でも"素直" — V = RI が瞬間ごとに成り立つ。エネルギーを熱として一方通行で捨てる、唯一の消費役。

解答
コイルは (1/2)LI²、コンデンサーは (1/2)CV² の形でエネルギーを蓄えては電源に返すことを 1 周期に 2 回繰り返す。
瞬間の電力 P = VI は正(受け取る)と負(返す)を交互にとり、1 周期で平均すると 0 — 熱には変わらない。

ポイント L と C は「エネルギーの貯金箱」、R だけが「消費者」— 交流回路のエネルギーの役割分担。だから理想のコイル・コンデンサーは発熱しない。

解答
| 素子 | 妨げの大きさ | 周波数依存 | 電流の位相 | 平均電力 | |---|---|---|---|---| | 抵抗 R | R | よらない | 同位相 | I_eV_e(消費) | | コイル L | X_L = ωL | 高いほど大 | π/2 遅れる | 0 | | コンデンサー C | X_C = 1/(ωC) | 高いほど小 | π/2 進む | 0 |

ポイント この表 1 枚が交流回路の全地図 — 「遅れ・進み」の語呂は「コイルは慣性で出遅れ、コンデンサーは先回りして充電」。理由ごと(B2・B3)覚えれば忘れない。

解答
f = 1/(2π√(LC)) = 1/(2×3.14×√(0.10×1.0×10⁻⁴))
= 1/(6.28×3.16×10⁻³) ≒ 50 Hz

ポイント f = 1/(2π√(LC)) — ばね振り子の T = 2π√(m/k) と同族(対応:L ⇔ m、1/C ⇔ k:B5-2)。√ の中を先に計算、が事故防止。

解答
エネルギー保存:(1/2)CV₀² = (1/2)LI₀²
最大電流:I₀ = V₀√(C/L) = 10×√(1.0×10⁻⁴/0.10) = 10×3.16×10⁻² ≒ 0.32 A

ポイント 「電圧が 0 の瞬間に電流が最大」— コンデンサーの貯金が全額コイルへ移った瞬間。単振動の「変位 0 で速さ最大」の完全な相似形。

解答
f = 1/(2π√(LC)) より f を上げるには LC を小さく —
C を小さくする

ポイント 同調 = 「回路の固有振動数を電波の周波数に共振させる」(第2巻・共鳴の電気版)。バリコン(可変コンデンサー)のつまみがラジオの選局ダイヤルの正体。

解答
V₂ = V₁×N₂/N₁ = 100×50/200 = 25 V

ポイント 電圧は巻数に比例(1 巻きあたりの電圧が共通:第5章 B5-2)。降圧も昇圧も巻数比だけ — ACアダプタの中身はほぼこれ。

解答
電力保存:V₁I₁ = V₂I₂
I₂ = 100×0.50/25 = 2.0 A

ポイント 電圧を 1/4 にすれば電流は 4 倍 — 変圧器は電力を保ったまま「電圧と電流の配合」を変える装置。エネルギーはただでは増えない。

解答
① I = P/V = 100 A → 損失 rI² = 1.0×100² = 1.0×10⁴ W(送る電力と同額!)
② I = 1.0 A → 損失 rI² = 1.0 W(①の 1 万分の 1)

ポイント 「電圧 100 倍 → 損失 1/10000」— 2 乗の御利益の実額。高電圧送電と変圧器(交流)が電力網を支配した理由が、この 2 行の計算に凝縮されている。

解答
λ = c/f = 3.0×10⁸/(8.0×10⁷) = 3.8 m

ポイント c = fλ は第2巻の v = fλ の電磁波版(v がつねに光速)。FM の波長が数 m — アンテナの長さ(λ/4 ≒ 1 m 弱)の設計根拠。

解答
f = c/λ = 3.0×10⁸/0.10 = 3.0×10⁹ Hz

ポイント GHz(10⁹ Hz)帯 — 電子レンジ・無線 LAN・携帯電話が住む周波数の街。波長 ⇔ 周波数の往復を c = fλ 一本で。

解答
電波 > 赤外線 > 可視光線 > 紫外線 > X線 > γ線
共通の性質:①真空中を光速 c で伝わる ②(電場と磁場が振動する)横波である

ポイント 名前が違っても全部同じ波の親戚(波長が違うだけ)— 「光は電磁波」というマクスウェルの統一。波長順は「電・赤・可・紫・X・γ」で一気に。

解答
瞬間の電力:P = RI² = RI₀²sin²ωt
sin²ωt は 0 と 1 の間を対称に振動し、1 周期の平均は 1/2。
よって平均電力 P̄ = (1/2)RI₀² ∎

ポイント sin² の平均 1/2 は「cos² と半分ずつ分け合う(sin²+cos² = 1)」で納得できる — 交流計算の最重要定数。

解答
P̄ = (1/2)RI₀² を、直流と同じ形 P̄ = RI_e² と書きたい:
条件:RI_e² = (1/2)RI₀² → I_e = I₀/√2 ∎
「同じ発熱をする直流の値」として実効値が定義される。

ポイント √2 は sin² の平均 1/2 の平方根の顔 — 定義の中身(発熱の等価換算)が言えれば、公式は導ける。

解答
I_e² = (I² の平均) = (1/2)I₀² — すなわち I_e = √(I² の平均)。
「2 乗して → 平均して → 平方根」の手順そのものが I₀/√2 を生む:2 つの言い方は同じ定義の別表現 ∎

ポイント 「2乗平均平方根(rms)」という名前が計算手順の要約 — 符号が交互に変わる量の"実力"は、2 乗してから測るしかない。

解答
コイルは自己誘導の逆起電力 V = LΔI/Δt で電流の変化に逆らう。
周波数が高いほど、同じ振幅でも電流の変化が速く(ΔI/Δt 大)、逆起電力が大きい — 妨げは ω に比例:
X_L = ωL ∎

ポイント X_L の正体は「自己誘導の抵抗」— 熱を出す摩擦ではなく、変化への反発。∝ ω の理由を「速い変化ほど強く逆らう」の一言で言えること。

解答
電圧が最大の瞬間、V = LΔI/Δt より電流の変化率が最大 — 変化率が最大なのは、電流がちょうど 0 を横切る瞬間(単振動で速さ最大 = 変位 0 と同じ)。
つまり電圧のピークのとき電流はまだ 0 — 電流のピークは 1/4 周期あと:π/2 の遅れ ∎

ポイント 「V は I の変化率に比例」— グラフで V のピークと I のゼロ交差を重ねる図が、遅れ π/2 の一枚証明。

解答
ω → 0 で X_L → 0(ただの導線)。
直流では電流が変化しないため逆起電力が消える — RL 回路の十分時間後(第5章 B4-3:コイルは導線扱い)と完全に整合 ○

ポイント 極限チェックは章をまたいだ整合の確認装置 — 「直流の世界の答え」と「交流の ω → 0」が一致して初めて、公式が信用できる。

解答
交流では電圧の向きが周期的に反転するため、コンデンサーは充電 → 放電 → 逆向きに充電 → …を繰り返す。
そのたびに導線を電荷が行き来する — 極板の間を渡らなくても、回路には電流が流れ続ける ∎

ポイント 「コンデンサーを流れる電流」の正体は極板への出し入れ — 直流は一度満タンで終わり(第3章)、交流は永遠に積み下ろしが続く。

解答
電流は I = ΔQ/Δt = C×ΔV/Δt — 電圧の変化の速さに比例。
周波数が高いほど ΔV/Δt が大きく、同じ電圧振幅でも大きな電流が流れる:妨げは ω に反比例:
X_C = 1/(ωC) ∎

ポイント コイル(V ∝ ΔI/Δt)とコンデンサー(I ∝ ΔV/Δt)は役割が鏡写し — どちらが「変化率」を担うかの違いが、ω の位置(分子か分母か)と位相(遅れか進みか)を同時に決めている。

解答
ω → 0 で X_C → ∞(断線)。
直流では充電が完了すれば電流 0 — 「コンデンサーは直流を通さない」(第3章 B6-1:十分時間後は断線扱い)と整合 ○

ポイント B2-3 と対にして:「直流の極限で、L は導線・C は断線」— 第3章・第5章の過渡現象の結論が、交流の式の極限として再登場する。

解答
コイルでは電流が電圧より π/2 遅れるため、V と I の符号の組み合わせが 1/4 周期ごとに入れ替わる — P = VI は正(エネルギーを受け取る)と負(返す)を交互にとる。
正の期間と負の期間が対称なので、1 周期の平均は 0 ∎

ポイント 位相差 π/2 ⇔ 平均電力 0 — 「ためては返す」のリズムが、P = VI の符号交代として式に現れる。

解答
抵抗:電気エネルギーを熱に変えて回路の外へ捨てる(一方通行・不可逆)。
リアクタンス(L・C):エネルギーを磁場((1/2)LI²)や電場((1/2)CV²)の形で一時的に蓄え、そのまま電源へ返す(往復・可逆)。

ポイント 「消費」と「貸し借り」の区別 — 電力会社の言う有効電力(R が食う)と無効電力(L・C が往復させる)の物理的な中身。

解答
実際のコイルの導線には抵抗成分があり、電流が流れる以上そこでジュール熱が発生するため、平均消費電力は 0 にならない。

ポイント 「理想」と「実物」の差はいつも抵抗 — 理想 L・C の"無消費"は、抵抗ゼロという仮定の上に立っている。

解答
エネルギー保存(抵抗なし):
(1/2)CV₀² = (1/2)LI₀²
I₀ = V₀×√(C/L) ∎

ポイント 「電圧最大(電流 0)⇔ 電流最大(電圧 0)」の 2 状態を等号で結ぶだけ — 単振動の「端 ⇔ 中央」のエネルギー保存と同じ 1 行。

解答
対応表:
| 単振動 | LC 振動 | |---|---| | 変位 x | 電気量 Q | | 速度 v | 電流 I | | 質量 m(慣性) | L(電流の慣性) | | ばね定数 k(復元) | 1/C(電圧の復元) | | (1/2)mv² | (1/2)LI² | | (1/2)kx² | Q²/(2C) | ばねの T = 2π√(m/k) に対応を代入すると T = 2π√(L/(1/C)) = 2π√(LC) — 周期の形が説明できる ∎

ポイント L = 慣性、1/C = ばね — この 1 対 1 対応で、第1巻・第8章の単振動の直感(重いほどゆっくり・硬いほど速い)が丸ごと電気に輸入できる。

解答
①回路の抵抗によるジュール熱(電流が流れるたびに削られる)
②電磁波としての放射(振動する電流はアンテナとなり、エネルギーを空間へ放つ)

ポイント ②が次の主役 — 振動回路の"漏れ"こそが電波の発生原理(ヘルツの実験)。減衰は欠点ではなく、無線通信の出発点だった。

解答
電磁誘導:変化する磁場はまわりに電場を作る(第5章)。
マクスウェルはその逆 — 変化する電場もまわりに磁場を作る — を理論的に見抜いた。
すると、振動する電場が磁場を生み、その磁場の変化がまた電場を生み…という連鎖が空間を自走する — これが電磁波。媒質は不要で、速さは理論から c = 3.0×10⁸ m/s と予言され、光速と一致した(→ 光は電磁波)。

ポイント 「誘導の相互おんぶ」が波になる — 第5章の法則+その鏡像だけで、光の正体まで届いたのが 19 世紀物理の最高到達点。

解答
偏光(第2巻・光の性質)— 光が特定の振動方向だけをもつ状態を作れる(偏光板)ことは、振動が進行方向と垂直である証拠。
縦波(音)には偏りが存在しない — 偏光の存在そのものが「光 = 横波 = 電磁波」を支持する。

ポイント 「偏れる = 横波」— 現象 1 つで波の型が判定できる、波動論のきれいな論法。電場の振動方向が偏光の方向にあたる。

解答
電波:放送・通信(ラジオ・携帯電話)/赤外線:暖房・リモコン・サーモグラフィー/可視光:照明・視覚/紫外線:殺菌・日焼け/X線:レントゲン撮影・手荷物検査/γ線:がんの放射線治療・非破壊検査

ポイント 波長が短いほど光子のエネルギーが大きく(第7章 E = hν!)、透過力・作用が強くなる — 利用例の並びが、そのまま次章「光の粒子性」への滑走路になっている。

解答
① V₀ = √2×100 = 141 V(アイウ = 141)
② T = 1/50 = 0.020 s(エ〜キ = 0.020)
③ I_e = 100/50 = 2.0 A(ク = 2、ケ = 0)
④ P̄ = I_eV_e = 200 W(コサシ = 200)
⑤ 理想のコイルはエネルギーを蓄えて返すだけ:(c) 0(ス = (c))

ポイント
• ①〜④は「実効値で計算すれば直流と同じ」の実演 — 交流らしさ(√2、1/f)は①②に、直流の顔(オームの法則・P = VI)は③④に住み分けている。
• ⑤は A5-2・B4 の結論の一択化 — 「電流は流れるのに電力は 0」という違和感こそ、位相 π/2 の物理。

解答
① X_L = 2πfL = 2×3.14×50×0.50 = 1.6×10² Ω
② I_e = 100/157 ≒ 0.64 A
③ X_C = 1/(2πfC) = 1/(2×3.14×50×20×10⁻⁶) = 1/(6.28×10⁻³) ≒ 1.6×10² Ω
④ I_e = 100/159 ≒ 0.63 A
⑤ コイル:X_L ∝ f → 2 倍(約 3.1×10² Ω)/コンデンサー:X_C ∝ 1/f → 1/2 倍(約 80 Ω)
⑥ コイル:高周波ほど電流の変化が速く、自己誘導の逆起電力が強くなるから。
コンデンサー:高周波ほど電圧の変化が速く、充放電の出し入れ(I = CΔV/Δt)が激しくなるから。

ポイント
• ①③がほぼ同じ 160 Ω 前後 — この L と C の組は 50 Hz 付近に「固有の周波数」をもつ(f = 1/2π√(LC) ≒ 50 Hz:A6-1 と同じ設計)。偶然ではなく共振の入口。
• ⑤の「2 倍 と 1/2 倍」の逆走が L・C の個性 — 理由(⑥)まで書けて初めて、表(A5-3)が生きた知識になる。

解答
① U = (1/2)CV₀² = (1/2)×4.0×10⁻⁶×100 = 2.0×10⁻⁴ J
② 0 V — 電流最大の瞬間は、エネルギーがすべてコイル((1/2)LI²)に移っており、コンデンサーの電荷(電圧)は 0 になっているから。
③ (1/2)LI₀² = 2.0×10⁻⁴ より
I₀ = √(2×2.0×10⁻⁴/0.10) = √(4.0×10⁻³) ≒ 6.3×10⁻² A
④ f = 1/(2π√(LC)) = 1/(2×3.14×√(4.0×10⁻⁷))
= 1/(6.28×6.3×10⁻⁴) ≒ 2.5×10² Hz
⑤ ①回路の抵抗でジュール熱が発生する ②振動する電流が電磁波を放射する — どちらも振動のエネルギーを外へ運び出す。

ポイント
• ②〜③は「変位 0 で速さ最大」(単振動)の完全な写し — B5-2 の対応表を1問の中で使い切る。
• ④の √(4.0×10⁻⁷) = √4×√10⁻⁷ = 2×10⁻³·⁵… とせず、√(40×10⁻⁸) = 6.3×10⁻⁴ と偶数乗をくくる(第2巻からの平方根技)— 計算の型は巻をまたいで同じ。

Q1:○ — 電場でも磁場でも「負電荷」として曲がる(第1・4章の向きの判定)— 正体は電子。原子に"部品"があることの最初の証拠。

Q2:(b) — E = hν:光子の単価は振動数だけが決める。明るさは光子の個数(毎秒何個届くか)の話 — 単価と数量の分離が量子論の第一歩。

Q3:× — ν < ν₀ の光子は 1 個あたりのエネルギーが入場料 W に足りない — 何個来ても(どんなに強くても)1 個ずつでは越えられない。ここが波動説の墓標。

Q4:(a) — 強い光 = 光子が多い → 飛び出す数が増える。1 個の取り分 K_max = hν−W は変わらない(阻止電圧も不変)。

Q5:○ — λ = h/p のド・ブロイ波。電子線が結晶で干渉模様を作る(電子線回折)ことで実証済み — 「粒だと思っていたものも波」。

解答
電場・磁場で力を受けて曲がる → 電気を帯びた粒子の流れであること。
曲がる向き(電場では +極側へ、など)から、その電荷が負であることが分かる。

ポイント 「曲がる = 荷電粒子/向き = 符号」— 第1章(F = qE)と第4章(左手)の向きの判定が、そのまま電子発見の論理だった。

解答
e/m = 1.6×10⁻¹⁹/(9.1×10⁻³¹) ≒ 1.8×10¹¹ C/kg

ポイント 比電荷は「曲がりやすさ」(第4章 B4-2:e/m = v/rB)— トムソンが最初に測れたのはこの比だけ。e と m を別々に切り分けたのがミリカン(B2)。

解答
eV = (1/2)mv² より
v = √(2eV/m) = √(2×1.6×10⁻¹⁹×500/(9.1×10⁻³¹)) = √(1.76×10¹⁴)
≒ 1.3×10⁷ m/s

ポイント 第1章 B4-2 の再演 — たった 500 V で光速の 4 % に達する軽さ。この「加速 → 速さ」がブラウン管・電子顕微鏡・X線管すべての第 1 工程。

解答
E = hν = 6.6×10⁻³⁴×5.0×10¹⁴ = 3.3×10⁻¹⁹ J

ポイント E = hν — 光は hν 円玉の集まりで、振動数が"単価"。10⁻¹⁹ J という小ささが、日常で粒々に気づかない理由。

解答
E = hc/λ = 6.6×10⁻³⁴×3.0×10⁸/(6.6×10⁻⁷) = 3.0×10⁻¹⁹ J

ポイント 波長で与えられたら E = hc/λ(ν = c/λ を代入した顔)。赤(3.0)< 緑(3.3)— 波長が短いほど高単価、が色とエネルギーの対応。

解答
3.2×10⁻¹⁹/(1.6×10⁻¹⁹) = 2.0 eV

ポイント 1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J — 原子・電子の世界の"円とドル"。可視光の光子は 1.6〜3.1 eV:この換算感覚が第8章(エネルギー準位)で必需品になる。

解答
光電効果:金属の表面に光を当てると、電子(光電子)が飛び出す現象。
限界振動数:光電子が飛び出すために必要な最小の振動数 ν₀ — これ未満の光では、どんなに強い光でも電子は飛び出さない。

ポイント 「明るさでなく振動数が門番」— この一点が波動説を倒した(B3-1)。強い赤色より弱い紫外線が勝つ、という直感破りの実験事実。

解答
K_max = hν−W = 6.6×10⁻³⁴×1.0×10¹⁵−3.3×10⁻¹⁹
= 6.6×10⁻¹⁹−3.3×10⁻¹⁹ = 3.3×10⁻¹⁹ J

ポイント hν = W + K_max — 「光子の持参金 = 入場料 W + 持ち出し K」。1 個の光子が 1 個の電子に全額渡す、が式の背後の物語。

解答
K_max = 0 となる振動数:hν₀ = W
ν₀ = W/h = 3.3×10⁻¹⁹/(6.6×10⁻³⁴) = 5.0×10¹⁴ Hz

ポイント 限界振動数は「ちょうど入場料ぶん」の光(ν₀ = W/h)— 収支式に K = 0 を入れるだけで出る。金属ごとの W が ν₀ を決める(A5-3)。

解答
eV₀ = K_max より
V₀ = K_max/e = 3.2×10⁻¹⁹/(1.6×10⁻¹⁹) = 2.0 V

ポイント 阻止電圧は「一番元気な電子さえ登れない坂」— eV₀ = K_max(第1章:電位差の坂 × 電気量)。K_max を電圧で測る実験の要。

解答
K_max = eV₀ = 1.6×10⁻¹⁹×1.5 = 2.4×10⁻¹⁹ J

ポイント 逆向きの換算 — 「V₀ ボルトの阻止 = eV₀ ジュールの運動エネルギー」。eV 単位なら K_max = 1.5 eV と読むだけ、の便利さも体感。

解答
① 光子の数が 2 倍 → 光電子の数も(ほぼ)2 倍(光電流が増える)
② 1 個あたりの取り分 K_max = hν−W は不変 → 阻止電圧は変わらない

ポイント 「数は強さ、単価は振動数」— 光電効果の 2 大独立つまみ。②が波動説には絶対に説明できない急所(強くすればエネルギーも増えるはず、が外れる)。

解答
式:K_max = hν−W(ν の 1 次関数)
傾き = h(プランク定数)/縦軸切片 = −W(仕事関数の符号違い)/横軸切片 = ν₀(限界振動数)

ポイント 収支式 1 本がそのまま直線のグラフ — 3 つの読み所(傾き・2 つの切片)がそれぞれ h・W・ν₀ に対応する「1 枚で 3 度おいしい」図。

解答
傾き:h = (3.3×10⁻¹⁹−0)/(1.0×10¹⁵−5.0×10¹⁴) = 3.3×10⁻¹⁹/(5.0×10¹⁴)
= 6.6×10⁻³⁴ J·s

ポイント グラフの傾きから h を測る — ミリカン(皮肉にも光量子説に懐疑的だった)がこの方法で h を精密測定し、アインシュタインの式を裏づけた歴史の再現。

解答
傾きは変わらない(h は物質によらない普遍定数)。
W が大きいぶん直線は下(右)へ平行移動し、横軸切片(限界振動数 ν₀ = W/h)は大きくなる。

ポイント 「傾きは宇宙共通、切片は金属の個性」— 平行な直線の族、という絵で記憶。h の普遍性こそ、光量子仮説が"仮説"を卒業した決め手。

解答
高電圧で加速した電子を金属(陽極)に衝突させて発生させる。
スペクトル:連続X線(電子の減速で出る、波長が連続的な成分)と固有X線(金属の種類で決まる、特定波長の鋭い成分)。

ポイント X線 = 「電子の運動エネルギーの光子への両替」。連続(急ブレーキの光)+固有(原子の指紋)の 2 階建て、が X線スペクトルの標準の顔。

解答
電子の全エネルギーが 1 個の光子になるとき、波長が最短:
条件:eV = hc/λ_min
λ_min = hc/(eV) = 6.6×10⁻³⁴×3.0×10⁸/(1.6×10⁻¹⁹×2.0×10⁴)
= 1.98×10⁻²⁵/(3.2×10⁻¹⁵) ≒ 6.2×10⁻¹¹ m

ポイント λ_min = hc/(eV) — 「持ちエネルギー以上の光子は作れない」という上限(短波長側の崖)。加速電圧を上げるほど λ_min は短くなる。

解答
電子 1 個がもつエネルギーは eV が上限 — 発生する光子 1 個のエネルギー hc/λ は eV を超えられない。
よって hc/λ ≦ eV、すなわち λ ≧ hc/(eV):これより短い波長の X線は原理的に出ない ∎

ポイント 最短波長の存在自体が「光がエネルギー hν の粒で出てくる」証拠 — 光電効果(光の吸収)の逆過程(光の放出)として、粒子性をもう一方の側から支える。

解答
λ = h/(mv) = 6.6×10⁻³⁴/(9.1×10⁻³¹×7.3×10⁶)
= 6.6×10⁻³⁴/(6.6×10⁻²⁴) = 1.0×10⁻¹⁰ m

ポイント λ = h/(mv) = h/p — 出てきた 10⁻¹⁰ m は原子の大きさ・結晶の原子間隔と同じスケール:だから結晶が電子波の"回折格子"になれる(A8-1)。

解答
分母:√(2meV) = √(2×9.1×10⁻³¹×1.6×10⁻¹⁹×150) = √(4.37×10⁻⁴⁷) ≒ 6.6×10⁻²⁴
λ = 6.6×10⁻³⁴/(6.6×10⁻²⁴) = 1.0×10⁻¹⁰ m

ポイント 「150 V で約 1 Å(10⁻¹⁰ m)」は歴史的な基準値(デビソン・ガーマーの実験条件)— 手ごろな電圧で原子スケールの波が作れる、電子の軽さの恩恵。

解答
λ = h/(mv) = 6.6×10⁻³⁴/(0.15×40) = 6.6×10⁻³⁴/6.0 = 1.1×10⁻³⁴ m
原子核(10⁻¹⁵ m)よりさらに 20 桁も短く、干渉や回折を起こせるすき間や格子が存在しない — 波動性はあっても観測不可能なため、日常の物体は純粋な"粒"に見える。

ポイント h の小ささ(10⁻³⁴)が「量子の世界と日常の境界線」— 式は万物に成り立つが、効果が見えるのは p が小さい(軽くて遅い)ミクロの住人だけ。

解答
① 光の粒子性:光電効果(限界振動数の存在・K_max = hν−W)
② 電子の波動性:電子線回折(電子線を結晶に当てると干渉模様ができる:デビソン・ガーマーの実験)

ポイント 「波と思われていた光に粒の証拠、粒と思われていた電子に波の証拠」— 対称な 2 つの発見が二重性の両輪。証拠とセットで言えることが記述の要件。

解答
p = h/λ = 6.6×10⁻³⁴/(6.6×10⁻⁷) = 1.0×10⁻²⁷ kg·m/s

ポイント p = h/λ — 質量のない光子も運動量をもつ(コンプトン効果・光圧の源:B4)。ド・ブロイの λ = h/p は、この式を逆向きに読んだ発想だった。

解答
顕微鏡で見分けられる細かさは、使う波の波長程度が限界(それより小さいものは回折でぼやける:第2巻)。
電子波の波長(10⁻¹⁰ m 程度、加速電圧でさらに短くできる)は可視光(約 5×10⁻⁷ m)の数千分の 1 以下 — だから原子スケールまで見える。

ポイント 「分解能は波長で決まる」(第2巻・回折)に、ド・ブロイ波を差し込んだ応用 — 電子の波動性は"困った性質"ではなく、ウイルスや原子を見る道具になった。

解答
電場方向:力 eE、加速度 eE/m。通過時間 t = L/v(垂直方向は等速)。
ずれ:y = (1/2)(eE/m)(L/v)²
y = eEL²/(2mv²)

ポイント 第1章 B4-3(水平投射の型)の再演 — 陰極線の実験装置は「電子で行う放物運動の実験室」。y の測定が e/m への入口。

解答
ローレンツ力が向心力:evB = mv²/r
e/m = v/(rB)(第4章 B4-2)

ポイント 「曲がり具合(r)から比電荷」— 電場は放物線、磁場は円、と曲げ方の違いで別々の式が立つ。両方使うのが次問。

解答
速度選択(qE = qvB)より v = E/B。B1-2 に代入:
e/m = v/(rB) = E/(rB²)
— E、B、r はすべて実験で設定・測定できる量:比電荷が決定する ∎

ポイント 「未知の v を装置(E/B)で確定してから曲げる」— 第4章 B5 の速度選択器がここで歴史の主役に。トムソンはこの論法で e/m ≒ 1.8×10¹¹ C/kg を得て、電子の存在を確立した。

解答
静止(つり合い):qE = mg
q = mg/E

ポイント 第1章の「電気力 vs 重力」のつり合いそのもの — 極小の電荷を、重力という測れる相手と綱引きさせて量る発想。

解答
電気量が e = 1.6×10⁻¹⁹ C を最小単位とする、とびとびの値しか取らない —
電荷には分割できない最小の粒(電気素量)が存在し、あらゆる電気量はその整数倍である、と結論できる。

ポイント 「連続だと思っていた量が、実は粒」— 電気の量子化の発見。第1章 A1(帯電は e の整数倍)の実験的な根拠がこの実験。

解答
3 つの値は 3.2 = 2e'、4.8 = 3e'、6.4 = 4e' の形(公約数):
e ≒ 1.6×10⁻¹⁹ C

ポイント データの最大公約数を探す — 「差」(4.8−3.2 = 1.6)を見るのが実戦的な近道。測定値の列から最小単位を割り出す、量子化の検出法。

解答
①限界振動数の存在:波動説ではエネルギーは振幅(強さ)で決まるはずなのに、ν < ν₀ の光はどんなに強くても電子を出せない。
②時間遅れがない:弱い光ではエネルギーが電子にたまるまで時間がかかるはずなのに、光を当てた瞬間から光電子が出る。

ポイント 「強さが効かない・待ち時間がない」の 2 点セット — 波動説の"エネルギーは薄く広く連続的に届く"という描像が両方で破綻する。

解答
光がエネルギー E = hν の粒(光子)として 1 個ずつ届くと考えれば:
① 1 個の単価 hν が入場料 W に足りなければ、何個来ても(強くても)電子は出られない — 限界振動数 ν₀ = W/h の存在。
② 光子 1 個が当たればその場で全額を電子に渡す — 待ち時間なし。

ポイント 「分割払い不可・一括payのみ」が光子のルール — 2 つの困難が同じ 1 つの仮説で同時に解ける、理論の美しさの見本。

解答
hν:光子 1 個が持参するエネルギー(全額)
仕事関数 W:電子が金属表面から脱出するのに払う"入場料"(最低額)
K_max:表面の最も出やすい電子が手元に残す持ち出し(内部の電子は余分に払うので K は最大値)
— 収支:持参金 = 入場料 + 持ち出し ∎

ポイント K_"max" の意味(表面の電子だけが満額残せる)まで言えると一段上 — 実測の光電子には K_max 以下の分布があることの説明にもなる。

解答
光子:E = hν かつ E = pc(光のエネルギーと運動量の関係)。
等置して pc = hν → p = hν/c = h/(c/ν)
p = h/λ ∎

ポイント 質量ゼロでも運動量をもつ — 「p = mv」ではなく p = E/c が光子の運動量の顔。λ が短い(高エネルギー)ほど"押す力"も強い。

解答
X線の光子が電子に衝突すると、エネルギーと運動量の一部を電子に渡す(ビリヤードの球のように)。
散乱後の光子はエネルギーが減っており、E = hc/λ より 波長が長くなる — これがコンプトン効果 ∎

ポイント 「光子と電子の玉突き」— エネルギー保存と運動量保存(第1巻・第6章)を光子が守っている、という描像。波長の伸びは"支払った額"の記録。

解答
波動説では、散乱は「電子を揺らして同じ振動数の波を再放出させる」過程 — 波長(振動数)は変わらないはず。
実際には散乱角に応じて波長が伸びる:これは光が粒として衝突し、エネルギー・運動量をやり取りしたと考えて初めて説明できる ∎

ポイント 光電効果(吸収)・X線発生(放出)・コンプトン(衝突)— 粒子性の証拠の三本柱。「波なら波長不変のはず」という対立仮説の予言を先に言うのが論述の型。

解答
加速:eV = (1/2)mv² → mv = √(2meV)(運動量 p)
波長:λ = h/p
λ = h/√(2meV) ∎

ポイント 「加速(エネルギー)→ 運動量 → 波長」の 3 段直列 — (1/2)mv² = p²/(2m) の書き換え(p = √(2mK))は原子物理の頻出技。

解答
結晶では原子が規則正しく等間隔(約 10⁻¹⁰ m)に並んでおり、電子波にとって回折格子(第2巻・第8章)の役を果たす。
電子線が特定の方向にだけ強く反射されるのは、各原子からの波が干渉して強め合う方向だから — 干渉は波にしか起こせない現象であり、電子の波動性の直接の証拠となる ∎

ポイント 「格子間隔 ≒ 波長」のとき干渉が見える(第2巻)— A7 の λ ≒ 10⁻¹⁰ m がまさに原子間隔と一致していたことが、実験成功の鍵だった。

解答
λ = h/√(2meV) ∝ 1/√V:電圧 4 倍で
λ は 1/2 倍(半分)

ポイント √ のスケーリング即答(第1巻から続く型)— 電子顕微鏡で「高電圧ほど細かく見える」(A8-3)の定量的な根拠。

解答
加速電圧 V で電子が得るエネルギー:eV。
衝突でこの全額が 1 個の光子に変わるとき、光子のエネルギーが最大 = 波長が最短:
収支:eV = hc/λ_min → λ_min = hc/(eV) ∎

ポイント 「全額両替」が最短波長の条件 — 一部だけ光子になる(残りは熱)場合が連続X線の長波長側を埋める。

解答
光電効果:光子のエネルギー hν → 電子の運動エネルギー(hν = W+K)
X線の発生:電子の運動エネルギー eV → 光子のエネルギー(eV = hc/λ_min)
— エネルギーの流れがちょうど逆向きの、対をなす過程(逆・光電効果)∎

ポイント 2 つの式を並べて矢印の向きを見る — 「光 ⇄ 電子」の双方向の両替所、という 1 枚の絵に統合できる。

解答
最短波長:λ_min = hc/(eV) ∝ 1/V → 半分になる。
固有X線:陽極の原子の構造(エネルギー準位:第8章)で決まる波長なので、変わらない(強度は変わりうる)。

ポイント 「連続X線の崖(λ_min)は電圧が動かし、固有X線の位置は原子が決める」— スペクトルのどこが装置の性質でどこが物質の指紋か、の仕分け。第8章(エネルギー準位)への布石。

解答
① ν₀ = W/h = 3.2×10⁻¹⁹/(6.6×10⁻³⁴) ≒ 4.8×10¹⁴ Hz(ア = 4、イ = 8)
② K_max = hν−W = 6.6×10⁻³⁴×8.0×10¹⁴−3.2×10⁻¹⁹ = 5.28×10⁻¹⁹−3.2×10⁻¹⁹ ≒ 2.1×10⁻¹⁹ J(ウ = 2、エ = 1)
③ V₀ = K_max/e = 2.08×10⁻¹⁹/(1.6×10⁻¹⁹) = 1.3 V(オ = 1、カ = 3)
④ 強さは光子の数だけを変える:(c) 変わらない(キ = (c))
⑤ K_max = hν−W は ν の増加関数:(a) 大きくなる(ク = (a))

ポイント
• ③は eV 単位の暗算(2.08×10⁻¹⁹ J = 1.3 eV → 阻止電圧 1.3 V)でも一致 — eV と V の直通が阻止電圧の便利さ。
• ④⑤の対比が「数は強さ・単価は振動数」の総まとめ — 共テはこの独立性を毎年のように突いてくる。

解答
① K_max = hν−W
② 右上がりの直線 — 傾きがプランク定数 h、縦軸切片が −W(横軸切片は限界振動数 ν₀)。
③ h = (1.98×10⁻¹⁹−6.6×10⁻²⁰)/(8.0×10¹⁴−6.0×10¹⁴) = 1.32×10⁻¹⁹/(2.0×10¹⁴)
h = 6.6×10⁻³⁴ J·s
④ W = hν−K_max = 6.6×10⁻³⁴×6.0×10¹⁴−6.6×10⁻²⁰ = 3.96×10⁻¹⁹−0.66×10⁻¹⁹ = 3.3×10⁻¹⁹ J
限界振動数:ν₀ = W/h = 5.0×10¹⁴ Hz
⑤ 傾き(h)は変わらず、直線は下(右)へ平行移動 — 縦軸切片 −W が下がり、横軸切片 ν₀ が大きくなる。

ポイント
• ④の検算:もう 1 点でも W = 5.28×10⁻¹⁹−1.98×10⁻¹⁹ = 3.3×10⁻¹⁹ ○ — 直線決定は両点への差し戻しで締める(第3章と同じ作法)。
• ⑤「h は宇宙共通・W は金属の個性」— 測るたびに同じ傾きが出ることが、光量子仮説の普遍性の実験的な意味。

解答
① eV = (1/2)mv² より v = √(2eV/m)
② p = mv = √(2meV)
③ λ = h/p = h/√(2meV)
④ 分母:√(2×9.1×10⁻³¹×1.6×10⁻¹⁹×150) ≒ 6.6×10⁻²⁴
λ = 6.6×10⁻³⁴/(6.6×10⁻²⁴) = 1.0×10⁻¹⁰ m
⑤ 現象:電子線回折 — 電子が波動性をもつことを示す。
干渉・回折が起こるには、波長と同程度の間隔の"格子"が必要(第2巻・回折格子)。④の波長は 10⁻¹⁰ m — 人工の格子では細かすぎて作れず、原子が約 10⁻¹⁰ m 間隔で規則正しく並ぶ結晶だけが、この波長に見合う回折格子になれるから。

ポイント
• ②の p = √(2meV)(= √(2mK))は「エネルギーと運動量の両替式」— 原子物理で何度も使う変換。
• ⑤は「波長 ≒ 格子間隔のとき回折が見える」という第2巻の原理が、装置選び(なぜ結晶か)の理由として復活 — 波の一般論が量子の実験設計を支配している。